常微分方程第5章答案(9页).doc

-习题5.11.给定方程组x = x x= （*） a)试验证u(t)= ,v(t)= 分别是方程组（*）的满足初始条件u(0)= , v(0)= 的解. b)试验证w(t)c u(t)+c v(t)是方程组（*）的满足初始条件w(0)= 的解，其中 是任意常数. 解：a) u(0)= = u (t)= = u(t) 又 v(0)= = v (t)= = = v(t)因此 u(t),v(t)分别是给定初值问题的解.b) w(0)= u(0)+ u(0)= + = w (t)= u (t)+ v (t) = + = = = w(t)因此 w(t)是给定方程初值问题的解.2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题：a) x +2x +7tx=e ,x(1)=7, x (1)=-2b) x +x=te ,x(0)=1, x (0)=-1,x (0)=2,x (0)=0c) x(0)=1, x (0)=0,y(0)=0,y (0)=1解：a）令 x x, x = x , 得 即 又 x x(1)=7 x (1)= x (1)=-2于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：x x(1) 其中 x . b) 令 x 则得： 且 (0)=x(0)=1, = (0)=-1, (0)= (0)=2, (0)= (0)=0于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： = x(0)= , 其中 x= .c) 令w x， w ，w y，w y ，则原初值问题可化为： 且 即 w w(0)= 其中 w 3. 试用逐步逼近法求方程组 x x 满足初始条件 x(0)= 的第三次近似解. 解： 0241201 杨素玲习题5.20241202 02412031.试验证 = 是方程组x = x,x= ，在任何不包含原点的区间a 上的基解矩阵。解：令 的第一列为 (t)= ,这时 (t)= = (t)故 (t)是一个解。同样如果以 (t)表示 第二列，我们有 (t)= = (t)这样 (t)也是一个解。因此 是解矩阵。又因为det =-t 故 是基解矩阵。2.考虑方程组x =A(t)x (5.15)其中A(t)是区间a 上的连续n n矩阵，它的元素为a (t),i ,j=1,2,na)如果x (t),x (t),x (t)是(5.15)的任意n个解，那么它们的伏朗斯基行列式Wx (t),x (t),x (t) W(t)满足下面的一阶线性微分方程W =a (t)+a (t)+a (t)Wb)解上面的一阶线性微分方程，证明下面公式：W(t)=W(t )e t ,t a,b解：w (t)= + + = + = + 整理后原式变为（a +a ） =（a +a ）w(t)=（a (t)+a (t)）w(t)b)由于w (t)= a (t)+a (t) w(t),即 = a (t)+a (t)dt两边从t 到t积分ln -ln = 即w(t)=w(t )e ,t a,b3.设A(t)为区间a 上的连续n n实矩阵， 为方程x =A(t)x的基解矩阵，而x= (t)为其一解，试证：a)对于方程y =-A (t)y的任一解y= (t)必有 (t) (t)=常数；b) (t)为方程y =-A (t)y的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C，使 (t) (t)=C.解a) (t) (t) = (t)+ (t)= (t)+ (t)A(t) 又因为 =-A (t) (t)，所以 =- (t) A(t) (t) (t) =- (t) (t)A(t)+ (t) A(t) (t)=0,所以对于方程y =-A (t)y的任一解y= (t)必有 (t) (t)=常数b)“ ”假设为方程y =-A (t)y的基解矩阵，则 (t) (t) = (t) + (t) (t)=- A (t) (t) + (t) A (t) ) + (t) A(t) (t)=- (t) A (t) + (t) A (t) =0,故 (t) (t)=C“ ”若存在非奇异常数矩阵C，detc 0,使 (t) (t)=C，则 (t) (t) = (t)+ (t)=0，故 (t) (t)=- (t) (t)A(t) (t)=- (t) A(t) 所以 (t)=- (t) A(t), (t)=- (t) A (t)即 (t)为方程y =-A (t)y的基解矩阵4.设 为方程x =Ax（A为n n常数矩阵）的标准基解矩阵（即 （0）=E），证明: (t )= (t- t )其中t 为某一值. 证明：（1） , (t- t )是基解矩阵。 （2）由于 为方程x =Ax的解矩阵，所以 (t )也是x =Ax的解矩阵，而当t= t 时， (t ) (t )=E, (t- t )= （0）=E. 故由解的存在唯一性定理，得 (t )= (t- t )5.设A(t),f(t)分别为在区间a 上连续的n n矩阵和n维列向量，证明方程组x =A(t)x+f(t)存在且最多存在n+1个线性无关解。证明：设x ,x ,x 是x =A(t)x的n个线性无关解， 是x =A(t)x+f(t)的一个解，则x + , x + , x + , 都是非齐线性方程的解，下面来证明它们线性无关，假设存在不全为零的常数C ,(I=1,2,n)使得 +c =0,从而x + , x + , x + , 在a 上线性相关，此与已知矛盾，因此x + , x + , x + , 线性无关，所以方程组x =A(t)x+f(t)存在且最多存在n+1个线性无关解。6、试证非齐线性微分方程组的叠加原理： 的解，则 是方程组 的解。证明： （1） （2）分别将 代入（1）和（2）则 则 令 即证 7考虑方程组 ，其中 a)试验证 是 的基解矩阵；b)试求 的满足初始条件 的解 。证明：a)首先验证它是基解矩阵以 表示 的第一列 则 故 是方程的解如果以 表示 的第二列 我们有 故 也是方程的解从而 是方程的解矩阵又 故 是 的基解矩阵；b)由常数变易公式可知，方程满足初始条件 的解 而 8、试求 ，其中 满足初始条件 的解 。解：由第7题可知 的基解矩阵 则 若方程满足初始条件 则有 若 则有 9、试求下列方程的通解：a) 解：易知对应的齐线性方程 的基本解组为 这时 由公式得 通解为 b) 解：易知对应的齐线性方程 的基本解组为 是方程的特征根故方程有形如 的根代入得 故方程有通解 c) 解：易知对应的齐线性方程 对应的特征方程为 故方程的一个基本解组为 因为 是对应的齐线性方程的解故 也是原方程的一个解故方程的通解为 10、给定方程 其中f(t)在 上连续，试利用常数变易公式，证明：a)如果f(t)在 上有界，则上面方程的每一个解在 上有界；b)如果当 时， ，则上面方程的每一个解 （当 时）。证明：a) 上有界 存在M>0,使得 又 是齐线性方程组的基本解组 非齐线性方程组的解 又对于非齐线性方程组的满足初始条件的解x(t)，都存在固定的常数 使得 从而 故上面方程的每一个解在 上有界b) 时， 当t>N时 由a)的结论 故 时，原命题成立 11、给定方程组 （5.15）这里A(t)是区间 上的连续 矩阵，设 是（5.15）的一个基解矩阵，n维向量函数F(t,x)在 ， 上连续， 试证明初值问题： （*）的唯一解 是积分方程组 （*）的连续解。反之，（*）的连续解也是初值问题（8）的解。证明：若 是（*）的唯一解则由非齐线性方程组的求解公式 即（*）的解满足（*）反之，若 是（*）的解，则有 两边对t求导： 即（*）的解是（*）的解习题5.31、假设A是n n矩阵，试证：a)对任意常数 、 都有exp( A+ A)=exp Aexp Ab)对任意整数k,都有(expA) =expkA (当k是负整数时，规定(expA) (expA) )证明：a) （ A）（ A）（ A）（ A） exp( A+ A)= exp Aexp Ab) k>0时，(expA) expAexpAexpA exp（A+A+A） expkA k<0时，-k>0 (expA) (expA) =exp(-A) = exp(-A)exp(-A)exp(-A) exp(-A)(-k) expkA 故 k，都有(expA) =expkA2、试证：如果 是 =Ax满足初始条件 的解，那么 expA(t-t ) 证明：由定理8可知 (t)-1(t0) (t) 又因为(t)= expAt , -1(t0)=( expAt0)-1= exp(-At0), f(s)=0,又因为矩阵 （At）（- At0）=（- At0）（At）所以 expA(t-t ) 3、试计算下面矩阵的特征值及对应的特征向量a） b） c） d） 解：a）det（ EA）= =( 5)( +1)=0 =5, =1对应于 =5的特征向量u= , ( ) 对应于 =1的特征向量v= , ( )b)det（ EA）=( +1)( +2)( 2)0 1， 2， 2对应于 1的特征向量u1 ， （ 0 ）对应于 2的特征向量u2 ， （ ）对应于 2的特征向量u3 ， （ ）c）det（ EA）= ( +1)2( 3)0 1（二重）， 3对应于 1（二重）的特征向量u ， （ 0 ）对应于 3的特征向量v , （ ）d)det（ EA）= =( +3)( +1)( +2)=0 1， 2， 3 对应于 1的特征向量u1 ， （ 0 ） 对应于 2的特征向量u2 ， （ ） 对应于 3的特征向量u3 ， （ ）4、试求方程组 =Ax的一个基解矩阵，并计算expAt，其中A为：a） b） c） d） 解：a）det（ EA）=0得 ， 对应于 的特征向量为u ， （ 0 ）对应于 的特征向量为v ， （ ）u ，v 是对应于 ， 的两个线性无关的特征向量(t)= 是一个基解矩阵 ExpAt= b)由det（ EA）=0得 5， 1解得u ，v 是对应于 ， 的两个线性无关的特征向量则基解矩阵为(t) (0) 1(0) 则expAt(t) 1(0) c） 由det（ EA）=0得 2， 2， 1 解得基解矩阵(t) 1(0) 则expAt(t) 1(0) d）由det（ EA）=0得 3， 2 ， 2 解得基解矩阵(t) 则expAt(t) 1(0) 5、试求方程组 =Ax的基解矩阵，并求满足初始条件 解：a）由第4题（b）知，基解矩阵为 所以 b）由第4题（d）知，基解矩阵为 (t) 所以 c)由3（c）可知，矩阵A的特征值为 3， 1（二重） 对应的特征向量为u1 ，u2 解得 6、求方程组 =Axf（t）的解 ： 解：a）令 =Ax的基解矩阵为(t) 解得(t) ， 则1(t) 1(0) 求得 b）由det（ EA）=0得 1， 2， 3 设 对应的特征向量为v1，则 （ EA）v1=0，得v1 取v1 ，同理可得v2 ，v3 则(t) 从而解得 c）令 =Ax的基解矩阵为(t)由det（ EA）=0得 1， 2解得对应的基解矩阵为(t) 1(t) 从而1(0) 7、假设m不是矩阵A的特征值。试证非齐线性方程组 有一解形如 其中c，p是常数向量。 证：要证 是否为解，就是能否确定常数向量p 则p（mEA）c由于m不是A的特征值故 mEA存在逆矩阵那么pc（mEA）1 这样方程就有形如 的解8、给定方程组 a）试证上面方程组等价于方程组u=Au,其中u ，A= b）试求a）中的方程组的基解矩阵c）试求原方程组满足初始条件x1(0)=0, x1(0)=1, x2(0)=0的解。 证：a）令 则方程组化为 即u u=Au 反之，设x1=u1,x1=u2,x2=u3 则方程组化为 b）由det（ EA）=0得 0， 1， 2由 得 同理可求得u2和u3取 则 是一个基解矩阵c）令 ，则化为等价的方程组且初始条件变为 而满足此初始条件的解为： 于是根据等价性，满足初始条件的解为式9、试用拉普拉斯变换法解第5题和第6题。证明：略。10、求下列初值问题的解： 解：a)根据方程解得 ， t ， t 0 1 1 t1 0 0 0 t综上： t1 tb）对方程两边取拉普拉斯变换，得 解得 c）对方程两边取拉普拉斯变换，得 11、假设y 是二阶常系数线性微分方程初值问题 的解，试证 是方程 的解，这里f（x）为已知连续函数。 证明：y y -第 9 页-