高三数学总复习优秀ppt课件（第47讲）计数原理（63页）.ppt

第47讲 计数原理,江苏省南通中学,主要内容,一、聚焦重点 两个计数原理,三、廓清疑点 排列还是组合.,二、破解难点 有条件的排列组合问题,聚焦重点：两个计数原理,基础知识,完成一件事，有 n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m 2种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m1+m 2 + +mn 种不同的方法,分类计数原理,完成一件事，需要分成 n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m1 m 2 mn 种不同的方法,分步计数原理,问题研究,应该使用哪个计数原理？,基本知识,分类计数原理：,每一个办法都可以把事件完成,分步计数原理：,每一个步骤不能独立完成事件 必须所有的步骤都完成事件才完成,经典例题1,例1 某班有男生25人，女生20人，从该班选出2人参加座谈会（要求：男女生各一名），有多少种不同的选法？,思路分析,思路 1：男生一类，女生一类，用分类计数原理， 所以共有25 +20=45种不同的选法,思路 2：要求男女生各一名，因此要分成两个步 骤完成，所以应该使用分步计数原理,只选完男生或只选完女生后，事件没有完成，使用分类计数原理错误！,例1 某班有男生25人，女生20人，从该班选出2人参加座谈会（要求：男女生各一名），有多少种不同的选法？,求解过程,解：选出男女生各1名，可以分为2个步骤： 第一步 选出1名男生，有25种不同方法； 第二步 选出1名女生，有20种不同方法； 根据分步计数原理，选出男女各一名，共有 2520=500 个不同的选法 答：选出男女生各1名的共有500种不同的选法,解答题中必不可少！,还是25202=1 000？,回顾反思,（2）思维误区：未能分清分类和分步，导致 错误使用计数原理,（1）基本策略：使用计数原理求解,（3）思维瑕点：解答题最后未作答,拓展延伸,变题 某班有男生25人，女生20人，从该班选出2人分别担任班长和团支部书记（要求：性别不同），有多少种不同的选法？,思路 1：要求男女生各一名，因此要分成两个步 骤完成，所以应该使用分步计数原理 即与上面的例1相同！,只选未排！,思路 2：要求男女生各一名并安排职务，因此要 分成三个步骤完成！,求解过程,解：完成该事件，可以分为3个步骤： 第一步 选出1名男生，有25种不同方法； 第二步 选出1名女生，有20种不同方法； 第三步 对选出的两人安排职务，有2种不同方法； 根据分步计数原理，共有 25202=1 000 个不同的选法 答：选出男女生各1名并担任班长和团支部书记共 有1 000种不同的选法,经典例题2,例2 用4种不同颜色给如图所示 的区域上色，要求相邻两块涂不同的 颜色，共有多少种不同的涂法？, ,思路分析,例2 用4种不同颜色给如图所示 的区域上色，要求相邻两块涂不同的 颜色，共有多少种不同的涂法？, ,思路1：分步计数原理：按照1-2-3-4的顺序上色, 同色呢?,思路2：分类讨论： 两处是否同色 分步计数原理：按照顺序上色,求解过程,解：完成该事件，可以分为两类： 第一类 不同色，按照1-2-3-4的顺序进行涂色，根据分步原理，共有4 3 2 2=48种不同的涂色方法； 第二类 同色，按照1-2-4的顺序进行涂色，根据分步原理，共有4 3 1 3=36种不同的涂色方法； 根据分类计数原理，共有 48+36=84种不同的涂法 答：共有 84种不同的涂法,回顾反思,（1）思想方法：分类讨论,（3）思维误区：直接用分步计数原理求解,（2）解题策略：用不同的计数原理求解涂色问题,破解难点：有条件的排列组合问题,问题研究,如何求解含有附加条件的排列组合应用问题?,基础知识,经典例题3,例3 用0到9这10个数字能组成多少个没有重复数字的三位数？,思路分析,思路1：这是排列问题，直接用排列数求解,思路2：优先考虑0,思路3：优先考虑首位数字,例3 用0到9这10个数字能组成多少个没有重复数字的三位数？,未注意0这个特殊元素,优限法优先考虑 特殊元素或特殊位置,思路4：去除首位数字为0的情形,去杂法去除不符合条件的情形,直接 求解,间接 求解,求解过程,解法1（思路2）,求解过程,解法2（思路3）,求解过程,解法3（思路4）,拓展延伸,变题 用0到9这10个数字能组成_个没有重复数字的三位偶数？,思路1 优先考虑首位，可以在1到9中选择，再考虑末位，有0，2，4，6，8这5个选择，中间一位除去首末两个数外有8个选择，所以共有958=360个选择,思路分析,变题 用0到9这10个数字能组成_个没有重复数字的三位偶数？,选了2呢？,思路2 优先考虑首位，分为两类： 第一类 首位是奇数，有5个选择，末位有5个偶数选择，中间一位有8个选择，所以共有558=200个选择； 第二类 首位是偶数，有除0外4个偶数选择，末位有含0在内剩下的4个偶数选择，中间一位有8个选择，所以共有448=128个选择； 根据分类计数原理，共有200+128=328个这样的偶数,思路分析,变题 用0到9这10个数字能组成_个没有重复数字的三位偶数？,位置优先,328,思路3 优先考虑末位，分为两类： 第一类 末位是0，则首位和中间位有98=72个选择； 第二类 末位不是0，有除0外4个偶数选择，首位有不含0和末位的剩下的8个数选择，中间一位有8个选择，所以共有488=256个选择； 根据分类计数原理，共有72+256=328个这样的偶数,思路分析,变题 用0到9这10个数字能组成_个没有重复数字的三位偶数？,位置优先,元素优先,328,拓展延伸2,变题 五个人排成一排，其中甲不排头且乙不排尾的不同排列方法为_种,思路1 先将5人全排列，然后去除甲排头的情况，再去除乙排尾的情况,思路分析,变题 五个人排成一排，其中甲不排头且乙不排尾的不同排列方法为_种,A,B,思路2 先将5人全排列，然后去除甲排头的情况，再排出乙排尾的情况，再加上甲排头且乙排尾的情况即可,思路分析,变题 五个人排成一排，其中甲不排头且乙不排尾的不同排列方法为_种,78,思路3 优先考虑元素甲，可以分为下面几类： 第一类 甲在第2-4位，则乙可以在第1-4位的剩余位置，除甲乙以外的人全排列；,思路分析,变题 五个人排成一排，其中甲不排头且乙不排尾的不同排列方法为_种,第二类 甲在末位，则乙可以在第1-4位的 任何位置，除甲乙以外的人全排列； 再根据分类计数原理求出最后答案,78,回顾反思,（1）思想方法：分类讨论思想，补集思想,（2）解题策略：特殊位置、特殊元素优先，去除不符合条件的排列的策略,（3）思想误区：出现重复或者遗漏,经典例题4,例4 3名女生和4名男生排成一排，其中女生必须排在一起的不同排法共有多少种？,思路分析,例4 3名女生和4名男生排成一排，其中女生必须排在一起的不同排法共有多少种？,女生未排！,女生内部未排！,思路分析,例4 3名女生和4名男生排成一排，其中女生必须排在一起的不同排法共有多少种？,捆绑法！,求解过程,回顾反思,（1）思想方法：整体思想,（2）解题策略：有必须相邻的元素，可以将它们捆绑起来，看为一个整体求解,（3）思维误区：对被捆绑的元素未排序,经典例题5,例5 3名女生和4名男生排成一排，其中任意两个女生都不相邻的不同排法共有多少种？,思路分析,例5 3名女生和4名男生排成一排，其中任意两个女生都不相邻的不同排法共有多少种？,对立事件？,插空法！,求解过程,例5 3名女生和4名男生排成一排，其中任意两个女生都不相邻的不同排法共有多少种？,回顾反思,（1）解题策略：有不相邻的元素，可以将它们插到其他元素的中间或两头,（2）思维误区：将相邻事件看成是不相邻的对立事件,经典例题6,例6 3名女生和4名男生排成一排，其中3个女生的顺序一定的不同排法共有多少种？,思路分析,例6 3名女生和4名男生排成一排，其中3名女生的顺序一定的不同排法共有多少种？,思路1 由于3名女生的顺序一定，所以将她们捆绑，然后和4名男生一起排列即可,不一定相邻！,思路2 由于3名女生的顺序一定，所以将她们和4名男生一起全排列，对排列的结果可以按照3名女生的顺序分为6类，6类的排列个数相同，将全排列除以6即可,思路分析,例6 3名女生和4名男生排成一排，其中3名女生的顺序一定的不同排法共有多少种？,思路3 由于3名女生的顺序一定，所以将她们在7个位置中的位置选定，然后再将她们按照顺序安排到相应的位置，然后再将4名男生全排列后依次安排到剩余的位置,先组合后排列！,求解过程,例6 3名女生和4名男生排成一排，其中3名女生的顺序一定的不同排法共有多少种？,求解过程,例6 3名女生和4名男生排成一排，其中3个女生的顺序一定的不同排法共有多少种？,回顾反思,（2）解题策略：先选择后排列的求解策略,（3）思维误区：“顺序一定”理解为“一定相邻且顺序一定”,（1）思想方法：分类思想,廓清疑点：排列还是组合？,问题研究,怎样从实际问题的情景中甄别“有序”还是“无序”，从而确定是排列问题还是组合问题,经典例题7,例7 从10名学生中选出4名按照由高到低的顺序排列，则有_种不同的排列方法,思路分析,例7 从10名学生中选出4名按照由高到低的顺序排列，则有_种不同的排列方法,思路1 从10名学生中选出4名进行排列,思路2 从10名学生中选出4名，由于这4名学生一旦选定，由高到低的顺序就已经确定了，因此他们是无序的，只需选出即可,组合问题,求解过程,例7 从10名学生中选出4名按照由高到低的顺序排列，则有_种不同的排列方法,210,经典例题8,例8 某医院要同时派出三个医疗小组，每个小组都由一名医生和一名护士构成现在3名医生和3名护士都已经选定，则有_种不同的医疗小组组成方式,思路分析,例8 某医院要同时派出三个医疗小组，每个小组都由一名医生和一名护士构成现在3名医生和3名护士都已经选定，则有_种不同的医疗小组组成方式,思路1 一个小组一个医生一个护士，因此将医生分到三个小组，再将护士分到三个小组，运用分步计数原理就可以求出,重复！,组合？,有序,思路分析,例8 某医院要同时派出三个医疗小组，每个小组都由一名医生和一名护士构成现在3名医生和3名护士都已经选定，则有_种不同的医疗小组组成方式,思路2 一个小组一个医生一个护士，不同的小组在于医生和护士的组合方式不同，因此医生固定不动，仅需将护士排列就可以得到不同的分组方法,排列！,求解过程,回顾反思,（1）解题策略： 弄清问题的实质后求解,（2）解题方法： 要认真分析元素“有序”还是“无序”（按照某种自然顺序进行的排列应该是组合问题，改变组合中的元素位置结论就不同，这就是排列问题）,（3）思维误区：直接从字面上认定问题的类型,总结提炼,知识与内容,一、聚焦重点 两个计数原理,三、廓清疑点 排列还是组合?,二、破解难点 有条件的排列组合问题,思想与方法,分类讨论思想，补集思想,再见,同步练习,同步练习,参考答案,