高三数学总复习优秀ppt课件（第40讲）合情推理与演绎推理（58页）.ppt
第40讲 合情推理与演绎推理,江苏省通州高级中学,主要内容,一、聚焦重点,三、廓清疑点,类比推理所得结论的真伪性.,二、破解难点,合情推理和演绎推理的应用.,理解合情推理与演绎推理.,基础知识,推理从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程.推理包含前提和结论两部分.,问题研究,如何利用归纳、类比和演绎进行推理？,聚焦重点：归纳推理及其思维特点,基础知识,归纳推理,典型例题1,例1 凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间有着怎样的数量关系？,思路分析,例1 凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间有着怎样的数量关系？,观察与计算：一些特殊多面体的面数F、顶点数V和棱数E；,分析与归纳：面数F、顶点数V和棱数E三个量之间的数量关系，提出猜想；,检验与证明：所作猜想是否正确.,思路分析,思路分析,思路分析,猜想:,F+VE=2,欧拉公式,证明:查找资料，上网检索.,回顾反思, 对有限资料进行观察、分析、归纳整理； 提出带有规律性的结论，即猜想； 检验猜想.,1. 归纳推理的一般步骤：,回顾反思,3. 归纳推理的几个特点：,聚焦重点：类比推理及其思维特点,由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）.,基础知识,类比推理,典型例题2,例2 在ABC中，ABAC，ADBC，则 将上述结论类比到空间, 你 能得到怎样的猜想？,思路分析,四面体,三侧棱两两垂直,AE底面BCD,证明猜想,证明猜想,BCAF,回顾小结, 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的 特征，从而得出一个猜想； 检验猜想.,1. 类比推理的一般步骤：,2. 类比推理的思维过程：,回顾反思,3. 类比推理的几个特点：,回顾反思,归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理. 通俗地说，合情推理就是“合乎情理”的推理.,聚焦重点：演绎推理及其思维特点,基础知识,演绎推理,根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程,称为演绎推理.,“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：,大前提已知的一般原理； 小前提所研究的特殊情况； 结 论对特殊情况做出的判断,典型例题3,例3 如图，D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，BFD= A，DEBA，求证：DE=FA.,思路分析,例3 如图，D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，BFD= A，DEBA，求证：DE=FA.,要证 DE=FA，,已知 DEFA，,只需证 AFDE.,已知 DEFA，,只需证 DFEA，,已知 BFD= A ，,所以 DFEA成立.,证明过程,证,(1)同位角相等,两直线平行(大前提),BFD= A , (小前提),(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形 (大前提),DEBA且DFEA， (小前提),(3)平行四边形的对边相等, (大前提),DE和FA为平行四边形的对边, (小前提),回顾反思,1. 本例证明连续采用了三个三段论，每一个 大前提都对应一个定理； 2. 在证明时，我们把前一个三段论的结论又 作为后一个三段论的小前提. 3. 为方便起见,大前提或小前提有时可以省略.,证明过程,证,BFD= A , (小前提),又DEBA (小前提),或写成,回顾反思,演绎推理是收敛性思维,虽缺少创造性,但却条理 清晰、令人信服,利于科学的理论化和系统化.,演绎推理的几个特点,破解难点：合情推理和演绎推理的应用,问题研究,合情推理与演绎推理在数学解题活动中各自起着怎样的作用呢？,典型例题4,思路分析,分析,猜想,思路分析,例4,思路1 不等式的左边能否设法求和？,无法实施，思维受阻！,思路2 观察不等式的右边，你会想到什么？,“裂项相消”的结果！,证明过程,例4,证明,回顾反思,（1）思维策略：特例观察，归纳共同特征； 猜想一般性结论； 通过演绎推理，证明猜想.,（2）数学方法：通过放缩，“裂项相消”.,（3）思维误区：望“文”生义，固执求和！,典型例题5,例5 已知xR， m是非零常数，且有 问：f(x)是否是周期函数？ 若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由.,思路分析,思路2 根据结构特征，联想已学函数，由具体函数的周期性，类比得到函数f(x)可能具有的性质，再作出证明.,思路1 设法求出函数解析式或作出其图象， 通过观察再作判断.,函数抽象，无法实施！,例5,思考1 从结构特征看:在你所学习过的常见函数中，是否存在具有类似性质的函数？,思路分析,y=tanx,思考2 在这里，函数y=tanx的类似性质是什么？,思考3 函数y=tanx是周期函数吗？周期是多少？,思考4 那么，如果f(x)是周期函数，你觉得它的一个周期可能是_.,4m,例5,思路分析,周期函数,T=4m,y=tanx,周期函数,证明过程,证明,事实上，,所以，f(x)是以4m为周期的周期函数.,回顾反思,（1）思维策略：观察结构，联想类比；,（2）数学方法：“回到定义去”.,（3）思维盲区：积累匮乏，联系“中断”！,（4）思维误区：企图求出具体解析式，最终 因梦想破灭，无功而返; 以特殊代替一般，认定f(x) 就是正切函数.,廓清疑点：类比推理所得结论的真伪性,问题研究,与归纳推理一样，类比推理也具有发现功能，但由类比作出的猜想未必是真实的.那么，如何判断其真伪性呢？,典型例题6,已知椭圆,例6 设斜率为 k 的直线 l 交椭圆 (ab0)于A、B两点，线段AB中点为M. 证明当直线 l 平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上.,思路分析,已知椭圆,思路1 以直线l的纵截距m为参数，通过联立方程组，求出中点M的坐标，证明其坐标满足一条经过原点的直线方程.,思路2 本题为“中点弦”问题，也可采用“点差法”.,例6 设斜率为 k 的直线 l 交椭圆 (ab0)于A、B两点，线段AB中点为M. 证明当直线 l 平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上.,证明过程,已知椭圆,探究1 双曲线是否也有上述椭圆类似的几何性质？,典型例题6,已知椭圆,例6 设斜率为 k 的直线 l 交椭圆 (ab0)于A、B两点，线段AB中点为M. 证明当直线 l 平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上.,等价结论：椭圆的一组平行弦的中点都在一条经过椭圆中心的定直线上.,类 比：双曲线的一组平行弦的中点都在一条经过双曲线中心的定直线上.,结论正确,探究2 抛物线中的类似几何性质是什么？,典型例题6,已知椭圆,例6 设斜率为 k 的直线 l 交椭圆 (ab0)于A、B两点，线段AB中点为M. 证明当直线 l 平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上.,等价结论：椭圆的一组平行弦的中点都在一条经过椭圆中心的定直线上.,证明过程,所以，动点M在一条平行于y轴的定直线上.,回顾反思,（1）思维策略：根据相似性，进行类比推理; 利用演绎推理，判别真伪.,（2）思维误区：只注意了类比的“发现”功能， 而忽略了演绎的调控作用.,（3）体验感悟：数学研究中，得到一个新结论之 前，合情推理常常帮助我们猜测和发现结论; 证明一个数学结论之前，合情推 理又常常为我们提供证明的思路和方向.,总结提炼,1. 从思维特点看： 归纳是由特殊到一般的推理； 类比是由特殊到特殊的推理； 演绎是由一般到特殊的推理.,2. 从所得结论看： 合情推理的结论未必正确,有待证明； 演绎推理得到的结论一定正确.,总结提炼,3. 从所起作用看： 演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程； 数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.然而，数学发现活动是一个探索创造的过程，这是一个不断的提出猜想、验证猜想的过程. 在这一过程中，合情推理和演绎推理相辅相成、相互为用，共同推动着发现活动的进程.,再 见,同步练习,1. 长方形的对角线与过同一个顶点的两边所成的角 分别为x、y，则 cos2x+cos2y=1 . 将长方体与长方形进行类比，可猜测的结论为_.,2.已知nN，Sn=1222+3242+ +(1)n1n2. 计算S1， S2， S3 ，S4 ； 由 猜想Sn的计算结果； 证明你的猜想是正确的.,同步练习,3.如图有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上： 每次只能移动1个金属片; 较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测：把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?,参考答案,若长方体的对角线与过同一个顶点的三条棱所成的角分别为x、y、z，则 cos2x+cos2y+cos2z=1 .,2. Sn=(1)n1n（n+1）/2.,若长方体的对角线与过同一个顶点的三侧面所成的角分别为x、y、z，则 cos2x+cos2y+cos2z=2 .,3. an=2n1.,
