【3年高考2年模拟】课标版文科数学一轮第四节 直接证明与间接证明.pptx
文数 课标版,第四节直接证明与间接证明,1.直接证明,教材研读,2.间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一种常用的间接证明方法. (1)反证法的定义:假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立的证明方法. (2)用反证法证明的一般步骤:(i)反设假设命题的结论不成立;(ii)归谬根据假设进行推理,直到推出矛盾为止;(iii)结论断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立.,判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)综合法是直接证明,分析法是间接证明.() (2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的必要条件. () (3)反证法是将条件和结论同时否定,推出矛盾.() (4)用反证法证明结论“ab”时,应假设“a<b”.(),1.命题“对任意角,cos4-sin4=cos 2”的证明:“cos4-sin4=(cos2- sin2)(cos2+sin2)=cos2-sin2=cos 2”过程应用了() A.分析法 B.综合法 C.综合法、分析法综合使用 D.间接证明法 答案B因为证明过程是“从左往右”,即由条件结论,故选B.,2.用分析法证明时出现:欲使AB,只需C<D,这里是的() A.充分条件B.必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案B由题意可知,应用,故是的必要条件.,3.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”,假设正确的是() A.假设三个内角都不大于60度 B.假设三个内角都大于60度 C.假设三个内角至多有一个大于60度 D.假设三个内角至多有两个大于60度 答案B根据反证法的定义,假设是对原命题结论的否定,故假设三个内角都大于60度.故选B.,4.下列条件:ab0,ab0,b0,a0, 即a与b同号,故均能使+2成立.,5.已知点An(n,an)为函数y=图象上的点,Bn(n,bn)为函数y=x图象上的 点,其中nN*,设cn=an-bn,则cn与cn+1的大小关系为. 答案cncn+1 解析由题意知,an=,bn=n, cn=-n=. 显然,cn随着n的增大而减小, cncn+1.,考点一综合法的应用 典例1(2016湖北武汉模拟)已知函数f(x)=(x+1)ln x-x+1. (1)若=0,求f(x)的最大值; (2)若曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线与直线x+y+1=0垂直,证明:0. 解析(1)f(x)的定义域为(0,+), 当=0时, f(x)=ln x-x+1. 则f (x)=-1,令f (x)=0,解得x=1. 当00,f(x)在(0,1)上是增函数; 当x1时, f (x)<0,f(x)在(1,+)上是减函数. 故f(x)在x=1处取得最大值,为f(1)=0.,考点突破,(2)证明:由题意可得, f (x)=lnx+-1. 由题设条件,得f (1)=1,即=1, f(x)=(x+1)ln x-x+1. 由(1)知,ln x-x+10,且x1). 当00. 当x1时, f(x)=ln x+(xln x-x+1)=ln x-x0,0. 综上可知,0.,方法技巧 用综合法证题是从已知条件出发,逐步推向结论,综合法的适用范围: (1)定义明确的问题,如判定函数的单调性、奇偶性;(2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型,在使用综合法证明时,易出现的错误是因果关系不明确,逻辑表达混乱.,1-1设f(x)=ax2+bx+c(a0),若函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称,求证:f为偶函数. 证明由函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称,可知f(x+1)=f(-x).将x换成x-代入上式可得f=f,即f=f,由偶函数 的定义可知f为偶函数.,方法技巧 (1)分析法采用逆向思维,当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑用分析法.(2)应用分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可逆的,它的常用书面表达形式为“要证只需要证”或“”.注意用分析法证明时,一定要严格按照格式书写.,2-1已知m0,a,bR,求证:. 证明m0,1+m0, 要证原不等式成立, 只需证明(a+mb)2(1+m)(a2+mb2),即证m(a2-2ab+b2)0,即证(a-b)20, 而(a-b)20显然成立, 故原不等式得证.,考点三反证法的应用 典例3设an是公比为q的等比数列. (1)推导an的前n项和公式; (2)设q1,证明数列an+1不是等比数列. 解析(1)设an的前n项和为Sn, 当q=1时,Sn=a1+a1+a1=na1; 当q1时,Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1, qSn=a1q+a1q2+a1qn, -得,(1-q)Sn=a1-a1qn, Sn=,Sn=,易错警示 用反证法证明不等式要把握三点:(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面;(2)必须从结论的反面出发进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推证;(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知条件矛盾,有的与假设矛盾,有的与基本事实矛盾等,且推导出的矛盾必须是明显的.,3-1已知数列an的前n项和为Sn,且满足an+Sn=2. (1)求数列an的通项公式; (2)求证:数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列. 解析(1)n=1时,a1+S1=2a1=2,则a1=1. 又an+Sn=2, 所以an+1+Sn+1=2, 两式相减得an+1=an, 所以an是首项为1,公比为的等比数列, 所以an=. (2)证明:假设存在三项按原来顺序成等差数列,记为ap+1,aq+1,ar+1(p<q<r,且,p,q,rN*), 则2=+, 所以22r-q=2r-p+1.(*) 又因为p<q<r,p,q,rN*, 所以r-q,r-pN*, 所以(*)式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立. 所以假设不成立,原命题得证.,
