【3年高考2年模拟】课标版理科数学一轮第三节 变量间的相关关系、统计案例.pptx
理数 课标版,第三节变量间的相关关系、统计案例,1.两个变量的线性相关 (1)正相关 在散点图中,点散布在从左下角到右上角的区域,对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关. (2)负相关 在散点图中,点散布在从左上角到右下角的区域,对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为负相关. (3)线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.,教材研读,(4)最小二乘法 求回归直线,使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法. (5)回归方程 方程=x+是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2), ,(xn,yn)的回归方程,其中,是待定参数.,2.回归分析 (1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法. (2)样本点的中心 对于一组具有线性相关关系的数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),我们知道= (,)称为样本点的中心. (3)相关系数:. 当r0时,表明两个变量正相关; 当r<0时,表明两个变量负相关.,r的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强.r的绝对 值越接近于0,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常 |r|大于或等于0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性.,3.独立性检验 (1)分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这 类变量称为分类变量. (2)列联表:列出两个分类变量的频数表,称为列联表.假设有两个 分类变量X和Y,它们的可能取值分别为x1,x2和y1,y2,其样本频数列联表(称为22列联表)为,则可构造一个随机变量K2=,其中n= a+b+c+d为样本容量. (3)独立性检验 利用独立性假设、随机变量K2来确定是否有一定把握认为“两 个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.,1.观察下列各图: 其中两个变量x,y具有线性相关关系的图是() A.B.C.D. 答案C由散点图知中x,y具有线性相关关系.,2.四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论: y与x负相关且=2.347x-6.423; y与x负相关且=-3.476x+5.648; y与x正相关且=5.437x+8.493; y与x正相关且=-4.326x-4.578. 其中一定不正确的结论的序号是() A.B.C.D. 答案D由回归直线方程=x+,知当0时,y与x正相关;当<0时,y 与x负相关.一定错误.故选D.,3.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是() A.若K2的观测值为k=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病 B.如果由独立性检验可知,有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么我们说某人吸烟,他有99%的可能患有肺病 C.若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系,则说明还有5%的可能性使得推断出现错误 D.以上三种说法都不正确 答案C有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系,只能说明这个推断正确的可能性较大,这个推断还有5%的可能性是错误的.,4.调查了某地若干户家庭的年收入x(单位:万元)和年饮食支出y(单位:万元),调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系,并由调查数据得到回归直线方程:=0.254x+0.321,由回归直线方程可知,家庭年收入 每增加1万元,年饮食支出平均增加万元. 答案0.254 解析由题意知回归直线的斜率为0.254,故家庭年收入每增加1万元,年饮食支出平均增加0.254万元.,5.为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系,现随机抽取50名学生,得到如下22列联表:,已知P(K23.841)0.05,P(K25.024)0.025.根据表中数据,得到K2的观测值k=4.844.则认为选修文科与性别有关系出 错的可能性为. 答案5% 解析K2的观测值k4.844,这表明小概率事件发生. 根据假设检验的基本原理,应该断定“是否选修文科与性别之间有关 系”成立,并且这种判断出错的可能性约为5%.,考点一相关关系的判断,考点突破,典例1某公司的科研人员在7块并排、形状和大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响的试验,得到如下表所示的一组数据(单位:kg): (1)画出散点图; (2)判断施化肥量x与产量y是否具有相关关系.,解析(1)散点图如图所示: (2)由散点图知,各组数据对应点大致都在一条直线附近,所以施化肥量x与产量y具有线性相关关系.,方法技巧 对两个变量的相关关系的判断有两种方法:一是根据散点图,若具有很强的直观性,则可直接得出两个变量是正相关或负相关;二是计算相关系数,这种方法能比较准确地反映其相关程度,相关系数的绝对值越接近于1,相关性就越强,相关系数就是描述相关性强弱的.,1-1某公司在2016年上半年的收入x(单位:万元)与月支出y(单位:万元)的统计资料如下表所示:,根据统计资料,则() A.月收入的中位数是15,x与y有正线性相关关系 B.月收入的中位数是17,x与y有负线性相关关系 C.月收入的中位数是16,x与y有正线性相关关系 D.月收入的中位数是16,x与y有负线性相关关系 答案C月收入的中位数是=16,收入增加支出增加,故x与y有 正线性相关关系.,1-2对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,10),得散点图(1);对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,10),得散点图(2).由这两个散点图可以判断 () A.变量x与y正相关,u与v正相关B.变量x与y正相关,u与v负相关 C.变量x与y负相关,u与v正相关D.变量x与y负相关,u与v负相关 答案C由题图(1)可知y随x的增大而减小,各点整体呈下降趋势,故变量x与y负相关,由题图(2)知v随u的增大而增大,各点整体呈上升趋势,故变量v与u正相关.,考点二回归方程的求法及回归分析 典例2(2016课标全国,18,12分)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图. (1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;,(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注: 参考数据:yi=9.32,tiyi=40.17,=0.55,2.646. 参考公式:相关系数r=, 回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:= ,=-.,解析(1)由折线图中数据和附注中参考数据得 =4,(ti-)2=28, =0.55, (ti-)(yi-)=tiyi-yi=40.17-49.32=2.89, r0.99.(4分) 因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.(6分) (2)由=1.331及(1)得=0.10,=-=1.331-0.1040.93. 所以,y关于t的回归方程为=0.93+0.10t.(10分) 将2016年对应的t=9代入回归方程得=0.93+0.109=1.83. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.83亿吨.(12分),方法技巧 (1)回归直线=x+必过样本点的中心(,). (2)正确运用计算,的公式进行准确的计算是求线性回归方程的关键. (3)分析两变量的相关关系,可由散点图作出判断,若具有线性相关关系,则可通过线性回归方程预测变量的值.,2-1从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入xi(单位:千元)与月储蓄yi(单位:千元)的数据资料,算得xi=80,yi=20,xiyi=184, =720. (1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a; (2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关; (3)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.,附:线性回归方程y=bx+a中, 其中,为样本平均值.线性回归方程也可写为=x+.,解析(1)由题意知n=10,=xi=8,=yi=2, 又lxx=-n=720-1082=80,lxy=xiyi-n=184-1082=24,由此得b=0.3,a=-b=2-0.38=-0.4, 故所求回归方程为y=0.3x-0.4. (2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b=0.30),故x与y正相关. (3)将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 y=0.37-0.4=1.7(千元).,考点三独立性检验 典例3(2016江西九江模拟)某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关,先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩平均分(采用百分制),剔除平均分在40分以下的学生后,共有男生300名,女生200 名.现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名学生,按性别分为两组,并将两组学生成绩分为6组,得到如下所示频数分布表. (1)估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表),从计算结果看,数学成绩与性别是否有关?,(2)规定80分以上为优分(含80分),请你根据已知条件完成下面的22列联表,并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”.,附表及公式:,K2=.,解析(1)易得两组学生数学成绩频率分布表如下:,=450.05+550.15+650.3+750.25+850.1+950.15=71.5, =450.15+550.1+650.125+750.25+850.325+950.05=71.5, 从男、女生各自的平均分来看,不能判断数学成绩与性别有关. (2)由频数分布表可知:在抽取的100名学生中,“男生组”中的优分有15人,“女生组”中的优分有15人,据此可得22列联表如下:,可得K2=1.79, 因为1.79<2.706,所以没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”.,方法技巧 (1)独立性检验首先要正确列出22列联表,并计算出K2的值. (2)要注意观测值的临界值与概率间的对应关系,依据临界值与犯错误的概率得出结论.,3-1某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查,并用如图所示的茎叶图表示30人的饮食指数(说明:图中饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于70的人,饮食以肉类为主).,(1)根据以上数据完成下列22列联表:,(2)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关?并简要分析. 解析(1)22列联表如下:,(2)因为K2=106.635, 所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.,
