【3年高考2年模拟】课标版理科数学一轮第七节 正弦定理和余弦定理.pptx
理数 课标版,第二节命题及其关系、充分条件与必要条件,1.正弦定理和余弦定理,教材研读,2.解三角形 在ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:,上表中,若A为锐角,当a<bsin A时无解;若A为钝角或直角,当ab时无解.,3.三角形面积 设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,面积为S. (1)S=ah(h为边a上的高). (2)S=absin C=acsin B=bcsin A.,1.在ABC中,a=3,b=5,sin A=,则sin B=() A.B.C.D.1 答案B根据=,有=,得sin B=.故选B.,2.(2016课标全国,4,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则b=() A.B.C.2D.3,答案D由余弦定理得5=22+b2-22bcos A,cos A=,3b2-8b-3=0, b=3.故选D.,3.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则 ABC的面积是() A.3B.C.D.3,答案Cc2=(a-b)2+6即c2=a2+b2-2ab+6.由C=及余弦定理得c2=a2+b2 -ab,由和得ab=6,SABC=absin C=6=,故选C.,4.在ABC中,BC=2,AC=,B=,则AB=,ABC的面积是 . 答案3;,解析由余弦定理,得AC2=BC2+AB2-2BCABcos,AB=3(负值舍去), SABC=ABBCsin=.,5.已知ABC中,三个内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且a=1,b=,A= 30,则c=. 答案1或2,解析a=1,b=,A=30,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得1=3+c2-3c, 即c2-3c+2=0,解得c=1或c=2.,考点一利用正弦、余弦定理解三角形,考点突破,典例1(2015安徽,16,12分)在ABC中,A=,AB=6,AC=3,点D在 BC边上,AD=BD,求AD的长. 解析设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=(3)2+62-236cos=18+36 -(-36)=90,所以a=3. 由正弦定理得sin B=,由题设知0<B<,所以cos B=. 在ABD中,由正弦定理得 AD=.,规律总结 (1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式,要考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到. (2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角范围的限制.,1-1设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin A=acos B. (1)求角B的大小; (2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值. 解析(1)已知bsin A=acos B,由正弦定理得sin Bsin A=sin Acos B. 在ABC中,sin A0, 即得tan B=,B=. (2)sin C=2sin A,由正弦定理得c=2a,结合b2=a2+c2-2accos B,及b=3,B=,得9=a2+4a2-2a2acos , 解得a=(负值舍去),c=2a=2.,考点二利用正弦、余弦定理判断三角形的形状 典例2设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则ABC的形状为() A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.不确定 答案B 解析由已知及正弦定理得 sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A, 即sin(B+C)=sin2A,又sin(B+C)=sin A,sin A=1,A=.故选B.,方法技巧 判断三角形形状的常用技巧 若已知条件中有边又有角,则 (1)化角为边:利用正弦定理、余弦定理、因式分解、配方等得出边的关系,从而判断三角形的形状. (2)化边为角:利用正弦定理、余弦定理、三角恒等变形得出内角的关系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用“ABC中,A+B+C=”这个结论.,变式2-1若将本例条件中的“bcos C+ccos B=asin A”改为“2sin Acos B =sin C”,试判断ABC的形状. 解析解法一:2sin Acos B=sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,即,sin(A-B)=0,因为-<A-B<,所以A=B,故ABC为等腰三角形. 解法二:由条件及正弦定理得2acos B=c,再由余弦定理得2a= ca2=b2a=b,即ABC为等腰三角形.,变式2-2若将本例条件中的“bcos C+ccos B=asin A”改为“acos A=bcos B”,试判断ABC的形状. 解析由条件及正弦定理, 得sin Acos A=sin Bcos Bsin 2A=sin 2B, 又A、B均为ABC的内角,所以2A=2B或2A=-2B, 即A=B或A+B=. 所以ABC为等腰三角形或直角三角形.,考点三与三角形面积有关的问题 典例3(2016课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c. (1)求C; (2)若c=,ABC的面积为,求ABC的周长. 解析(1)由已知及正弦定理得, 2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分) 2cos Csin(A+B)=sin C. 故2sin Ccos C=sin C.(4分) 可得cos C=,所以C=.(6分) (2)由已知,得absin C=.,又C=,所以ab=6.(8分),由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7. 故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.所以a+b=5.(10分) 所以ABC的周长为5+.(12分),规律总结 (1)求三角形ABC的面积时,常用公式S=absin C=acsin B=bcsin A,一 般根据已知角具体选择. (2)解决与面积有关的问题,一般要利用正弦定理、余弦定理进行边和角的转化. 3-1(2015课标,17,12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍. (1)求; (2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.,解析(1)SABD=ABADsinBAD,SADC=ACADsinCAD. 因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC. 在ABC中,由正弦定理可得=. (2)因为SABDSADC=BDDC,所以BD=. 在ABD和ADC中,由余弦定理知,AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC. 故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6. 由(1)知AB=2AC,所以AC=1.,
