【3年高考2年模拟】课标版文科数学一轮第四节　二次函数与幂函数.pptx

文数 课标版,第四节二次函数与幂函数,1.二次函数 (1)二次函数的定义 形如f(x)=ax2+bx+c(a0)的函数叫做二次函数. (2)二次函数的三种表示形式 (i)一般式: f(x)=ax2+bx+c(a0);,教材研读,(ii)顶点式: f(x)=a(x-m)2+n(a0); (iii)两根式: f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0). (3)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质,2.幂函数 (1)幂函数的定义 形如y=x的函数称为幂函数,其中x是自变量,为常数. (2)五种常见幂函数的图象 (3)幂函数的性质,(i)当0时,幂函数y=x有下列性质: a.图象都通过点(0,0)、(1,1). b.在第一象限内,函数值随x的增大而增大. (ii)当<0时,幂函数y=x有下列性质: a.图象都通过点(1,1). b.在第一象限内,函数值随x的增大而减小. (4)五种常见幂函数的性质,判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)二次函数y=ax2+bx+c(a0),xa,b的最值一定是.() (2)二次函数y=ax2+bx+c(a0),xR不可能是偶函数.() (3)在y=ax2+bx+c(a0)中,a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.() (4)函数y=2是幂函数.() (5)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.() (6)当n<0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数.(),1.已知幂函数y=f(x)的图象经过点,则f(2)=() A.B.4C.D. 答案C设f(x)=x,图象过点, f(4)=4=,解得=-,f(2)=.故选C.,2.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图,则a、b、c、d的大小关系是() A.dcbaB.abcd C.dcabD.abdc 答案B根据幂函数的性质及图象知选B.,3.已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,则a的取值范围是() A.B. C.D. 答案C函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方, 解之得a.,4.已知f(x)=4x2-mx+5在2,+)上是增函数,则实数m的取值范围是. 答案(-,16 解析因为函数f(x)=4x2-mx+5的单调递增区间为, 所以2,即m16.,5.若函数y=x2-3x-4的定义域为0,m,值域为,则m的取值范围是 . 答案,解析令f(x)=y=x2-3x-4,x0,m,二次函数f(x)=x2-3x-4图象的对称轴为直线x=,且f=-, f(3)=f(0)=-4,结合图象得m.,考点一幂函数的图象与性质 典例1(1)幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是() (2)当0<x<1时, f(x)=x1.1,g(x)=x0.9,h(x)=x-2的大小关系是.,考点突破,答案(1)C(2)h(x)g(x)f(x) 解析(1)设幂函数的解析式为y=f(x)=xa, 幂函数y=f(x)的图象过点(4,2), 2=4a,解得a=. y=f(x)=,其定义域为0,+),且是增函数, 当0g(x)f(x).,规律总结 (1)作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等,对于一些幂函数只要作出它在第一象限内的图象,然后根据它的奇偶性可作出幂函数在定义域内完整的图象. (2)利用幂函数的性质可处理比较大小问题,此类问题要根据待比较的数的特征,合理引入幂函数,通过幂函数的单调性进行比较.,1-1已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,且x(0,+)时, f(x)是增函 数,则m的值为() A.-1B.2C.-1或2D.3 答案B函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数, m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.又函数f(x)在(0,+)上为增函数,m2+m-30,m=2.,1-2设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是. 答案acb 解析y=(x0)为增函数,ac. y=(xR)为减函数,b. acb.,1-3若(a+1<(3-2a,则实数a的取值范围是. 答案 解析易知函数y=的定义域为0,+),在定义域内为增函数,所以 解之得-1a<.,考点二求二次函数的解析式 典例2已知二次函数f(x)满足f(2)=-1, f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式. 解析解法一:设f(x)=ax2+bx+c(a0), 依题意有解之得 所求二次函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 解法二:设f(x)=a(x-m)2+n(a0), f(2)=f(-1),抛物线的对称轴为直线x=,m=. 又函数有最大值8,f(x)=a+8. f(2)=-1,a+8=-1,解之得a=-4. f(x)=-4+8=-4x2+4x+7. 解法三:依题意知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a0), 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数的最大值为8,=8, 解之得a=-4.函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.,方法技巧 求二次函数的解析式,一般用待定系数法,其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式,一般选择规律如下:,考点三二次函数的图象与性质 命题角度一二次函数的图象 典例3已知abc0,则二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是(),答案D 解析A项,a0,c0,而f(0)=c0,b0. 又abc0,c0,故B错. C项,a0,-0.又abc0, c0,而f(0)=c0,-0,b0,c<0,而f(0)=c<0,故选D.,当a<0时, f(x)=ax2-2x的图象的开口方向向下,且对称轴x=<0,f(x)= ax2-2x在0,1上递减. f(x)min=f(1)=a-2.综上所述, f(x)min=,命题角度三二次函数中恒成立问题 典例5若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1. (1)求f(x)的解析式; (2)若在区间-1,1上,不等式f(x)2x+m恒成立,求实数m的取值范围. 解析(1)由f(0)=1得c=1. f(x)=ax2+bx+1.又f(x+1)-f(x)=2x, a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x, 即2ax+a+b=2x, 因此, f(x)=x2-x+1.,(2)f(x)2x+m等价于x2-x+12x+m,即x2-3x+1-m0,令g(x)=x2-3x+1-m,要使 g(x)=x2-3x+1-m0在-1,1上恒成立,只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在-1,1上的最小值大于0即可.g(x)=x2-3x+1-m在-1,1上单调递减, g(x)min=g(1)=-m-1, 由-m-10得m<-1. 因此满足条件的实数m的取值范围是(-,-1).,方法技巧 1.确定二次函数图象应关注的三个要点 一是看二次项系数的符号,它确定二次函数图象的开口方向; 二是看对称轴和最值,它确定二次函数图象的具体位置; 三是看函数图象上的一些特殊点,如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点,函数图象的最高点或最低点等. 从这三个方向入手,能准确地判断出二次函数的图象.反之,也可以从图象中得到如上信息.,2.二次函数最值的求法 二次函数的区间最值问题一般有三种情况:(1)对称轴和区间都是给定的;(2)对称轴动,区间固定;(3)对称轴定,区间变动.解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”进行数形结合,三点指的是区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴.具体方法是利用函数的单调性及分类讨论的思想求解. 对于(2)、(3),通常要分对称轴在区间内、区间外两大类情况进行讨论.,3-1(2016安徽皖北第一次联考)已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间0,1上的最大值为2,则a的值为() A.2B.-1或-3 C.2或-3D.-1或2 答案D函数f(x)=-(x-a)2+a2-a+1图象的对称轴为x=a,且开口向下,分三种情况讨论如下: 当a0时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间0,1上是减函数, f(x)max=f(0)=1-a, 由1-a=2,得a=-1. 当0<a1时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间0,a上是增函数,在(a,1上是减函数,f(x)max=f(a)=-a2+2a2+1-a=a2-a+1, 由a2-a+1=2, 解得a=或a=, 01时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间0,1上是增函数, f(x)max=f(1)=-1+2a+1-a=2, a=2. 综上可知,a=-1或a=2.,