数学模型A实验报告2.doc

重 庆 交 通 大 学学 生 实 验 报 告实验课程名称 数学模型 专 业 年 级 2012级数学与应用数学 学 生 姓 名 陶 芳 学 号 631222020130 开 课 时 间 20152016学年第2学期 假设合理优良中差建模求解全面优良中差结果分析完善优良中差文档清晰优良中差综合成绩教师姓名蒋伟储蓄所的服务员数量问题一摘要目前，众多经营机构都想取得经营的最优化，也就是是取得利益最大化，储蓄所服务员雇佣优化问题主要是如何在经营管理中科学选择全时、半时服务员的数量从而使自己的经营成本达到最低。 就第一问而言，我们对同时雇佣全时和半时两类服务员时工作时间段和服务员数量数据进行分析。在第二问中，半时服务员数量为零，通过第一问的分析基础，计算此时储蓄所雇佣服务员的每天总费用达到最大。我们认为如果条件允许下储蓄所应该多雇佣半时服务员。在第三问中，半时服务员数量没有限制，我们通过计算发现在这种情况下储蓄所雇佣服务员的每天总费用达到最低关键字：雇佣总费用最低，功能函数二问题重述某储蓄所每天的营业时间是上午9：00到下午5:00.根据经验，每天不同时间段所需的服务员数量如下：储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员。全时服务员每天报酬100元，从上午9:00到下午5:00工作，但中午12:00到下午2:00之间必须安排1小时的午餐时间。储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4小时，报酬40元。问该储蓄所该如何雇佣半时和全时两类服务员？如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用？如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用？三基本假设与符号说明决策变量：假设该储蓄所每天雇佣的全时服务员中在12:00-1:00之间吃中饭的有名，在1:00-2:00之间吃中饭的有名；雇佣的半时服务员中从9:00,10:00,11:00,12:00,1:00开始工作的分别为四问题分析第一问：因为全时工数越少，越省钱，半时工数量受限制，所以我们可以看出，因为下午最后两小时要求人数最多，所以这时要用半时工，还有中午的时候，由于全时工要休息一小时并且12-1点要6人大于1-2点所需人数。所以可以认为部分半时工从12点开始工作。 第二问：不用半时工时，全时工要满足中午两个小时人数够，而且下午最后一小时人数够。 第三问:半时工人数不限制则全部雇佣半时工最省钱。目标函数：五模型的建立与求解s.t. 求解得到最优解六.模型的评价与扩展1.模型的优点 1通过处理数据，巧妙地应用了优化模型，对A与b1，b2，b3，b4，b5的变化过程行实时跟踪处理和合理解释。 2运用功能强大、对非线性问题很好LINGO优化软件处理数据，快捷高效，所得结果较为可靠。 3根据题目信息将半时服务员分为五种，不仅简化了求解过程，而且使问题考虑的更加全面。 2.模型的缺点 1求解雇佣总费用是一个优化过程，并不能在图表直观描述每天服务员数量的变化趋势。 2雇佣总费用以天为单位，数据量不够，误差可能比较大。 3我们只考虑一天不同时间段所需服务员数量，而没有考虑较长时间内服务员数量七参考文献数学模型（第三版） 作者：姜启源 谢金星 叶俊八附录Global optimal solution found. Objective value: 820.0000 Extended solver steps: 1 Total solver iterations: 23 Variable Value Reduced Cost M1 2.000000 100.0000 M2 5.000000 100.0000 N1 0.000000 40.00000 N2 2.000000 40.00000 N3 0.000000 40.00000 N4 0.000000 40.00000 N5 1.000000 40.00000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 820.0000 -1.000000 2 3.000000 0.000000 3 6.000000 0.000000 4 5.000000 0.000000 5 1.000000 0.000000 6 0.000000 0.000000 7 2.000000 0.000000 8 0.000000 0.000000 9 0.000000 0.000000 10 0.000000 0.000000（2）Global optimal solution found. Objective value: 1100.000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost M1 5.000000 100.0000 M2 6.000000 100.0000 N1 0.000000 0.000000 N2 0.000000 0.000000 N3 0.000000 0.000000 N4 0.000000 0.000000 N5 0.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 1100.000 -1.000000 2 7.000000 0.000000 3 8.000000 0.000000 4 7.000000 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 0.000000 0.000000 7 5.000000 0.000000 8 3.000000 0.000000 9 3.000000 0.000000 10 0.000000 -40.00000 11 0.000000 -40.00000 12 0.000000 -40.00000 13 0.000000 -40.00000 14 0.000000 -40.00000（3）Global optimal solution found. Objective value: 560.0000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 5 Variable Value Reduced Cost M1 0.000000 100.0000 M2 0.000000 100.0000 N1 4.000000 40.00000 N2 2.000000 40.00000 N3 0.000000 40.00000 N4 0.000000 40.00000 N5 8.000000 40.00000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 560.0000 -1.000000 2 0.000000 0.000000 3 3.000000 0.000000 4 2.000000 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 5.000000 0.000000 7 2.000000 0.000000 8 0.000000 0.000000 9 0.000000 0.000000人寿保险问题一摘要当人们对所研究对象的内在特性和各种因素间的关系有比较充分的认识时，一般用机理分析方法建立数学模型。但是，如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识度的限制，则无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型。那么，通常的办法是搜集大量的数据，基于对数据的统计分析去建立模型。在本文中，为了了解一种新止痛剂的疗效与病人的性别和血压之间的关系，我们搜集了一些原始数据，把病人按性别及血压的低、中、高三档平均分配来进行测试，利用统计回归分析的方法，通过比较分析病人用药的剂量、性别和血压组别的关系，预测出病人服用该止痛剂后病痛明显减轻的时间。该问题属于对止痛剂疗效预测的问题,我们结合止痛剂使病人明显减轻病痛的时间与用药剂量以及血压用图表描述的方法,建立如下统计回归模型:首先对与和与的关系,利用表中的数据分别作出对和的散点图(见图1和图2的圆点).从图1可以发现,当x1增大时,y有向上弯曲减少的趋势,图中曲线用二次函数模型 (1)拟合的（其中是随机误差）.而在图2中,当增大时,y的变化趋势不明显,暂且用线性模型 (2) 综合上面的分析,结合模型（1）和（2）建立如下的回归模型: (3)利用MATLAB软件中的regress命令进行求解得到的模型（3）的回归系数估计值及其置信区间（置信水平）、检验统计量,的结果(见表2).经过用图像处理法检验该模型结果精确,不仅本身具有较强的灵活性,而且可以推广到各种药品的疗效预测和某种商品需求量预测等多方面.关键词: 血压 用药剂量 回归系数 置信区间 病痛减轻时间二问题重述一个医药公司的新药研究部门为了掌握一种新止痛药的疗效，设计了一个药物试验,给患有同种病痛的病人使用这种新止痛剂的以下4个剂量中的某一个:2g,5g,7g和10g,并记录每个病人病痛明显减轻的时间(以分钟计).为了解新药的疗效与病人性别和血压存在的关系,实验过程中研究人员把病人按血压的低中高三档平均分配来进行测试.通过比较每个病人血压的历史数据,从低到高分3组,分别记作0.25,0.50和0.75.试验结束后,公司的记录结果见下表(性别以0表示女,1表示男). 请你为公司建立一个模型,根据病人用药的剂量、性别和血压组别,预测出服药后病痛明显减轻的时间.病人序号病人减轻时间(min)用药剂量（g）性别血压组别135200.25243200.50355200.75447210.25543210.50657210.75726500.25827500.50928500.751029510.251122510.501229510.751319700.251411700.501514700.751623710.251720710.501822710.7519131000.252081000.502131000.7522271010.2523261010.502451010.75表(1)三基本假设与符号说明1、 假设用药剂量与血压不相关,二者没有交互作用.2、 假设病痛减轻时间只与用药剂量血压有关.3、 -用药剂量(单位:有四种不同的计量=25710).4、 -血压(由低到高分成三组记作=0.250.500.75).5、 -病痛减轻时间(单位:min).6、 -回归系数（）.7、 -统计量.8、 -概率值.9、 -随机误差.10、 -置信水平.四问题分析由于止痛剂在减轻病人的伤痛方面有很大帮助.病人所关心的是止痛药的疗效也就是病痛减轻时间长短,不会在乎药物剂量的多少,但作为生产者医药公司来说,必须对病人病痛减轻的时间用药的剂量,病人血压有个全面的了解才能以质量在竞争中取胜.我们可以通过用药剂量和病人的血压以及性别对疗效进行预测并建立模型.从分别对的散点图,可以得到两个不同的模型 （1） （2）结合模型（1）和（2）得到如下的回归模型 （3）五模型的建立与求解51 模型的建立及求解： 在分析服用药物后病痛明显减轻的时间的过程中,我们把男性和女性分开讨论.对于女性,我们首先利用表的数据,分别作出(减轻病痛的时间)对(药量)和(血压)的散点图（见附录(1) 中图1和图2的圆点）.图1 y对x1的散点图图2 y对x2的散点图从图1可以发现,当增大时,有向上弯曲减少的趋势,图中曲线用二次函数模型 (1)拟合的（其中是随机误差）.而在图2中，当增大时,的变化趋势不明显,暂且用线性模型 (2)综合上面的分析,结合模型（1）和（2）建立如下的回归模型: (3)直接利用MATLAB统计工具箱中的命令regrss求解其中输入为模型（3）中的数据（维向量,=12）,为对应回归系数的数据矩阵1 x1 x2 x22,alpha为置信水平,为残差向量,rint为的置信区间,stats为回归模型的检验统计量，有3个值，第一个是回归方程的决定系数(是相关系数),第二个是统计量值,第3个是与统计量对应的概率值.得到的模型（3）的回归系数估计值及其置信区间（置信水平）、检验统计量,的结果见表2参数参数估计值置信区间59.351339.2313,79.4713-8.9039-15.5312,-2.27663.5000-16.3410,23.34100.3556-0.1844,0.8956 表2 (模型(3)的计算结果)52 结果分析 :表2显示可以看出拟合度并不高,它表示应变量(病痛减轻时间)只有88.53可由模块确定, 值远超过的临界值, 远小于(为置信水平),因此从整体来看该模型是可用的.表2的回归系数给出了模型(3)中的估计值,即,.检查它们的置信区间发现,只有的置信区间包含零点,表明回归变量(对因变量的影响)不是很显著,但由于是显著的,我们可将变量保留在模块当中.53 止痛药疗效预测(病痛减轻时间预测及模型改进):模型（3）中的回归变量和对因变量的影响是相互独立的,及减轻病痛的时间的值与血压组别的二次关系由回归系数,确定,而不依赖于用药量.同样,的值与的线性关系系数和,不依赖于,根据直觉和经验可以猜想,和之间的交互作用会对由影响,我们可对模型进行改进，不妨简单的用,的乘积代表他们的交互作用,于是将模型（3）增加一项,得到 （4）利用MATLAB的统计工具箱得到的结果见表3.参数参数估计值置信区间36.939522.9221,50.9570-5.1686-8.8117,-1.525548.323526.1230,70.5240-7.4706-10.7986,-4.14260.35560.0915,0.6196 表(3)表3与表2的结果相比,有很大提高为0.9087,说明模型比模型有所改进.并且，所有参数的置信区间，特别是，的交互作用项的系数的置信区间不包含零点，所以有足够的理由相信模型比模型更符合实际.我们从中可以得到女性的减轻病痛的时间与用药剂量和血压组别的关系为: (5)对于男性我们用同样的方法得到模型为 (6) 从表1中所给的数据当中我们选取1号女性病人的调查数据:, 代入模可得到:即另取23号男性病人的调查数据: ,代入模型可得到:即 我们把从模型中得到的数据,分别与调查显示的数据1号病痛减轻的时间 ,23号病痛减轻的时间进行比较,存在一定差距但比较接近,说明该模型可行并且可进行进一步的改进. 六.模型的评价与扩展6.1模型评价6.1.1优点1.本文的模型在建立的过程中充分考虑到止痛药与病人的重要相关因素，得出我们建立的模型中的最佳模型。2.该模型实用性强，对现实有较强的指导意义。3.在求解模型时多次回归，直到无异常数据，因此该模型准确度高。对次我们抽取了1号女性病人和23号男性病人的调查数据,他们病痛减轻的时间与从模型中得到的结果分别进行比较,发现模型的结果与实际调查的数据非常接近,证明了模型不仅成立并且可行. 6.1.2缺点 1.本文在解决问题中使用的数据大部分为实验值，本身存在误差，我们没有使用实际数据进行检验。2.在模型建立中，所建模型相对复杂，与建模要求中模型的简单、明了不符。6.2改进与推广 1. 我们建的模型不仅可用于医药公司新药的推广，也可用于其它资源的安排，还可用于诸如像工资薪金模型的其它类型的问题。 2. 由于题目给出的统计数据不是很精确，如果我们能对统计的方法进行改进，估计时间可以更加精确。3. 这个模型比较接近现实，它很有实用价值，可以为以后其他新药的推广提供参考。七参考文献数学模型（第三版） 作者：姜启源 谢金星 叶俊八附录>> x1=2 2 2 5 5 5 7 7 7 10 10 10;>> x2=0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 ;>> y=35 43 55 26 27 28 19 11 14 13 8 3;>> x=ones(12,1),x1',x2',(x1.2)'>> b,bint,r,rint,stats=regress(y',x)b = 59.3513 -8.9039 3.5000 0.3556bint = 39.2313 79.4713 -15.5312 -2.2766 -16.3410 23.3410 -0.1844 0.8956r = -8.8407 -1.7157 9.4093 1.4044 1.5294 1.6544 3.6789 -5.1961 -3.0711 6.2574 0.3824 -5.4926rint = -16.8831 -0.7983 -13.9606 10.5292 1.8729 16.9457 -11.0711 13.8799 -12.0160 15.0748 -10.7978 14.1066 -8.4394 15.7973 -18.0314 7.6392 -15.3173 9.1752 -3.4540 15.9687 -11.9490 12.7137 -15.5493 4.5640stats =0.8853 20.5762 0.0004>> x=ones(12,1),x1',x2',(x1.*x2)',(x1.2)'>> b,bint,r,rint,stats=regress(y',x)b = 36.9395 -5.1686 48.3235 -7.4706 0.3556bint = 22.9221 50.9570 -8.8117 -1.5255 26.1230 70.5240 -10.7986 -4.1426 0.0915 0.6196r = -1.3701 -1.7157 1.9387 3.2721 1.5294 -0.2132 1.8113 -5.1961 -1.2034 -1.2132 0.3824 1.9779rint = -5.3215 2.5813 -7.5814 4.1500 -1.7842 5.6617 -1.9792 8.5233 -5.0315 8.0903 -6.3378 5.9114 -4.0620 7.6846 -9.6754 -0.7167 -7.2204 4.8135 -5.2122 2.7857 -5.7015 6.4662 -1.7258 5.6816stats = 0.9772 74.8974 0.0000