第02讲 简易逻辑（解析版）.docx

第02讲简易逻辑在考点详解.【基础知识回顾】1、充分条件与必要条件(1)充分条件、必要条件与充要条件的概念假设p=q,那么p是q的充分条件，q是p的必要条件P是q的充分不必要条件pnq 且 q#pP是q的必要不充分条件p#q 且 qnpP是q的充要条件poqP是q的既不充分也不必要条件p#q 且 q#p(2)从集合的角度：假设条件p，q以集合的形式出现，即4 = x|p(x), B=xq(x),那么由4GB可得，p是q的充分条件，请 写出集合4 8的其他关系对应的条件p, q的关系.提示 假设人呈8,那么p是q的充分不必要条件；假设那么p是q的必要条件；假设那么p是q的必要不充分条件；假设A = 8,那么p是q的充要条件；假设A&8且A辿B,那么p是q的既不充分也不必要条件.2、全称量词与全称命题(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词.(2)全称命题：含有全称量词的命题.(3)全称命题的符号表示：形如“对M中的任意一个x,有p(x)成立”的命题，用符号简记为X/xW", p(x).3、存在量词与特称命题(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词.(2)特称命题：含有存在量词的命题.(3)特称命题的符号表示：形如“存在M中的元素xo,使p(xo)成立”的命题，用符号简记为三起£时，p(xo).a>0，a=0,4x>0不恒成立，故不成立；当aWO时，, 一八解得。>2，所以实数。的取值范围是（2，+4=164屋<0，°°）.方法总结：应用含有量词的命题求参数的策略：（1）对于全称量词命题（或。</（x）为 真的问题实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求/（x）的最大值（或最小值），即（或 a< f （x）nUn ）. （2）对于存在量词命题ItwM , a > f（x）（或a< /（x）为真的问题实质就是不等式能成立问 题,通常转化为求/（X）的最小值（或最大值），即4>/（X）min （或</（初侬、 在优化提升实战演练*1、（2022 江苏淮安协作体期中）假设命题p：丸>0, /+一1>0,那么的否认形式为（）A. Vx>（）, f+x-lWOB. W0, x2+x-l>0C. VxWO,+x1>0D. 3.v>0, d+x1W0【答案】A【解析】由题意可知，命题p的否认形式为八>0, x2+x1W0,故答案选A.2、（2022江苏宿迁高三期末）不等式x-成立的一个充分条件是（）xA. x<-B. x>-lC. -1 <x<0D. 0<x< 1【答案】CIV2 - 1【解析】x->0=>:>0=>jr（A + l）（.r-l）>0=>x> 1 b£-1<x<（）,XX因为幻0<_¥<1但切或一 l<X<0,所以不等式4-工>0成立的一个充分条件是o<xvl.X应选：C3、（2022江苏苏州高三期末）在“8。中，Z/MC = p 点尸在边3c上，那么"是"。为8c中点” 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析1假设= 不妨设43 = 1, AC = 0,那么8c = 2,满足条件户有两个，一个是BC中点，一个是3点，故" 4P = g 8C ”不能推出“尸为8c中点”，假设。为8c中点，Z/MC = y ,贝ljAP =33C,即“ P为8C中点”能推出" AP = ； 8C ”，二" 4P 二 ； 8C ”是“尸是8C中点”的必要不充分条件，应选：B4、(2021福建莆田二中高三期末)在A8C中，'血。85"'是，公48。为钝角三角形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A解析由tanC v cosB ：假设tanCvO,那么C为钝角:假设 lanC>0,那么0<sinCvcosCcos8vcosB = sin( 8),此时 3 + Cv,4>|,故充分竹:.成立. A8C为钝角三角形，假设8为钝角，那么tanCvcos/T不成立；“ tanC<cosB”是“ ABC为钝角三角形”的充分不必要条件.应选：A.5、(2022山东德州高三期末)向量M = (l,x),1=(x,9),那么xvO是他今为钝角的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B_/一 丁 ci b x+9x【解析】因为。=(1,幻，=(尤9),所以1B = x+9x，那么8$"由=丽=,+ / 42+8，Hub x+9x A1 x /-八 a+ x+9x 八当yg时，得户±3,但当户-3时9反向，此时8s“%丽二寸诉T°依然成立，而 夹角为180 ,所以由x<0不能推出("今为钝角;反之，假设GW为钝角，那么COS,W<0且3,即x<0且3,能推出x<0；因此，"x<0''是(/；)为钝角的必要不充分条件.应选：B6、(2022 江苏扬州期中)(本小题总分值10分)集合彳=小2 xWO,记函数/(x)=N 1的定义域为集合&当a=时，求力U8；(2)假设“x£4”是“x£B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【解析】(1)当 a=l 时，4 = x|0WxWl, ©=«一喜 那么 8=x|TWxWl,所以 4U8=M-lWxWl.(2)由题意可知，/&从 且/ = 30WxWl,也,那么、5,解得OVaWl,所以实数。的取值范围为(0, 1.存热身训练.1、命题 “Vx20, tanx2sinx” 的否认为（）A. 3xoO, tanx（）<siiivoB. Hvo<O, taiu（）<sia¥oC. Vx20, tanv<siavD. Vx<0, tanx<sinv【答案】A【解析】由题意可知，命题“Vx20, tanx2sinx”的否认为“Hr20, lanx<sinx"，应选项A正确.2、直线小（3+m）x+4y=53m,/2： 2x+（5+a»=8,那么工廿是“阳=一7” 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】根据直线方程，假设/JM，那么需满足（3 + M（5 + z） = 8解得m=一1或机=一7,当m=-1时，两条直线重合，所以舍去.故得7 = -7反之亦可得当? = -7时4 /2,因此乜/是“? = -7"口充要条件.应选：C3、（2022广东汕尾高三期末）对于非零向量"2 + 5 = 0”是“高目犷的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】对于非零向最Z+B = 6，可得，-力，所以l£l=l向，充分性成立，但|£川；1,此时肩，的方向不定,不能推出£+9=6,必要性不成立，应选：A.4、p：心0）, q： - KW4,假设p是q的充分条件，那么，的最大值为;假设p是q的必要条件，那么，的最小值为.【答案】1 4【解析】rtl|x|Wm（>0）,得一层xWm.一勿2 1假设夕是。的充分条件=1 .=0<万忘1.后4那么勿的最大值为1. 1假设夕是g的必要条件=勿24.“24那么勿的最小值为4.存典例剖析.考向一 充要条件、必要条件的判断例1、(I) “ = -4”是“直线2%+”-1 = 0与直线(a + 3)x+2y + 2 = 0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】假设直线2x + ay-l=0与直线(a+3)x+2)，+2 = 0平行，那么父"?”，解得。=1或T, 2a 0-2因为T <1，因此，“"-4”是“直线2x + a)，-l=0与直线(a+3)x+2y+2 = 0平行”的充分不必要条件.应选：A.(2)在“1灰:中，“tan/Ucos/T'是""IBC为钝角三角形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A解析】由tanA < cosB ：假设lanAvO,那么A为钝角；假设 tan A >0,那么Ovsin A vcosAcos8<cos8 = sin(5-8 ,此时4<W-Bn8+A<W，C>,故充分性成立.222 A8C为钝角一：角形，假设8为钝角，那么tanCvcosB不成立；“ tanC < cosB ”是“ ABC为钝角三角形”的充分不必要条件.应选：A.(3) “。= 1 ”是嗅数年?(acR)为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】“甘=尚为 =微儿那么Z为纯虚数可知"a = 1”是"复数鲁e R)为纯虚数”的充分条件;为纯虚数时，4 1=0。+ 1工"解得： = 11 -1、” 的 a + i _(a + i)(l + i)_ (D + S + Di 乂 1-i(l-i)(l + i)可知是“复数”(aeR)为纯虚数”的必要条件;I 1综上所述，"。=1”是"复数产(eR)为纯虚数''的充要条件1 1应选：C变式1、(1)函数的定义域为R,那么'"(力是偶函数''是是偶函数''的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】偶函数的图像关于y轴对称，奇函数图像关于原点对称，根据这一特征，假设/1(%)是偶函数，那么|f (Ml是偶函数，假设是奇函数，|/(刈也是偶函数，所以“力是偶函数''是"|/(刈是偶函数”的充分不必要 条件 应选：A(2) “sina是"sina = cosa”的()23A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由sina=L,可得。=工+ 24万,ReZ或。=且+ 2&肛4 eZ, 266当a = . + 2%r,&£Z时，此时sina工且cosa，即充分性不成立；63反之当sina=cosa时，tana = 3,其中。可为此时sina = -g，即必要性不成立， 3362所以“sin a =!”是"sin a =立cos a ”的既不充分也不必要条件. 23应选：D.变式2、以下选项中，是乡的必要不充分条件的是( )22A. /?:3 < < 7 ； q ：方程二一十二一=1的曲线是椭圆7 - m in - 3B. /?:«.8 ； q ：对 TxwU，3不等式f 一0恒成立C.设6是首项为正数的等比数列，：公比小于0； q：对任意的正整数，+%“<()D.空间向量彳=(0, 1, -1) , b=(x, 0, -1) , p:x = ； q：向量少与的夹角是(【答案】ABC：.【解析】A,假设方程一匚+上=1的曲线是椭圆， 7 - m in - 37 - /? > 0那么，一 3 > 0,即 3 < / v 7 月.?工 5 ,7-m/2 3即“3cv7”是“方程上一+上 二1的曲线是椭圆”的必要不充分条件； 7 - m m - 3B , Vx g1 , 3不等式x2 -a, 0恒成立等价于a.d恒成立，等价于a.9 ：二“a.8”是“对立£1, 3不等式4,0恒成立”必要不充分条件；C：.q是首项为正数的等比数列，公比为q，.,.当4=1,夕=-g时，满足47<0,但此时4+& =1 - g = g>0 ,那么生“T+出” <0不成立，即充分性不成立，反之假设 02ft_i + a2ll v 0 ,那么邛产2 + a g2n-i < 0va, >0, .产2( + q)<0,即 1 +夕<0,那么qv-l,即q<0成立，即必要性成立，那么“”0”是“对任意的正整数，见” +生“0”的必要不充分条件.D：空间向量力=(0, 1, -1) , B = (x, 0, -1),_ r a»b1兀 1cos va，b >=- = .=,=- = cos-=-,府 +(_)2 +/x Jr + 02 +(7)23 2解得x = ±l,故"X=1”是"向量a与5的夹角是巳”的充分不必要条件.3方法总结：充要条件的三种判断方法(D定义法：根据尸Q，尸进行判断.(2)集合法：根据使0，g成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这 个方法特别适合以否认形式给出的问题，考向二 充分、必要条件等条件的应用例 2、集合力=国，-x-i2W0, 5=x|?-1x+1-w2<0, w>0.(1)假设?=2,求 4 G (Cr8)；(2»£4是的 条件，假设实数机的值存在，求出加的取值范围：假设不存在，说明理由.(请在充分不必要；必要不充分；充要；中任选一个，补充到空白处)注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.【解析】由不等式式2彳-12=(戈-4)(+3库0,解得一3WxW4,那么 4 = %|-3WxW4,当加=2 时，不等式3 = (x3)(x+l)W0,解得一lWxW3,那么 8=x|-lWxW3,可得 Cr8=x|xV-1 或x>3,所以 4n(CrB)=x|3WxV1 或 3VxW4,(2)由不等式2x+12=。/ )(k+? )w(), (w>0)解得1一mWxWl+加，所以 8= x|l mWxW 1 + 加，m>Q,1 -thW -3假设选择条件，那么集合力是8的真子集，得J4WI+",血>0解得 ? 24,1 m2 -3假设选择条件，那么集合8是的真子集，得J 421+？, lw>0解得0VmW3,1 / = 3假设选择条件，那么集合力=&得j4=l+？，那么无解，所以不存在满足条件的实数?， m>0r 4. 12变式1、不等式士0的解集为条件，关于X的不等式/+氏一2z2-3Ll<0 (/w>-)的解 2-x3集为条件q.(1)假设是q的充分不必要条件，求实数小的取值范围；(2)假设的充分不必要条件是q，求实数m的取值范围.x +1【解析】条件：由.0,可得2-x(x + l)(x 2) 0一2 工。,解得 f，x<2,记2)；条件9：由 Y+"n' -2"/一32 1 <。，可得x + (27+1)x-(z+1)<。，2因为7>-一,所以一(2m+ 1)<? + 1,所以一+ 记8 = (-2加-1,m + 1).3(1)假设是4的充分不必要条件，那么ADB,可得I：4；7，解得机1，所以实数，的取值范围是1，+ 8);(2)假设的充分不必要条件是q,那么8D A ,可得1加+ 1 2，解得加”。，又心一：，9所以实数的取值范围是(-j，0方法总结：充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数 的不等式(或不等式组)求解.考向三含有量词的否认例3、(1)写出以下命题的否认，并判断真假.(1) p:7xjR ,都有 |x| = x；(2) p:PxeR , x3 > x1 ；(3) p:至少有一个二次函数没有零点；(4) p:存在一个角awR,使得sin2a + cos加工 1.(2)以下四个命题:便1。，+8),以a ； *£(0,1), lOgiAIOgjX; 23Vx£(0, +8), Q)'>log1x ；2Vx£(0, £), Q<logtx.3其中真命题的序号为.【解析】(1) (1)是全称命题.7九BxeR,有国力工，如x=-L|l|=l¥-1 ,所以>是真命题.(2)p是全称命题.>：BxeR, x.<x2,如=1 时,(-1)3=-1(-1)2=-1,即(一 1法(一厅，所以嘲 是真命题.是存在性命题.fp：所有二次函数都有零点，如二次函数尸/+2叶3=(尸H)2+2>0.Vx£R.)，=/+2旺3。0.因为是真命题，所以> 是假命题.(4) p是存在性命题.p ： V& e 7?,sin2 6z+cos2 cx= ,设任意角a终边与单位圆的交点为P(x, y).那么 sina = »cosa = x显然有y2+x2=l,所以"是真命题.(2) n口对于口，当加(0, +8)时，总有&6成立，故口是假命题；对于口，当X=；时，有l=log| J二log ：>log ；成立，故口是真命题；对于口，当0<r<；时，logrv>l>Q故口是假命题；2对于口，UxU(0, ；), G)vik)gX,故口是真命题3变式1、(D)命题“VxwR, 2、>0”的否认为()A. 3xeR , 2x<0B. HreR , 2A <0C. VxeR , 2' <0D. VxeR , 2r <0【答案】A【解析】命题“DxeR, 2，>0”为全称命题,该命题的否认为“BxwR, 2"0”.应选：A.（2）设命题p:lrGR,x2>21那么p的否认为（）A. VxR,x2<2t B. VxeR,x2<2r C. 3xgR,x2<2* D. 3xeR,x2<2x【答案】B【解析】：因为存在量词命题的否认为全称量词命题，所以命题p ： 3x R,a: > 2”的否认为Vx eR,x2 21 .应选：B.方法总结：1、判定全称命题p（x）”是真命题，需要对集合"中的每一个元素x,证明Mx）成立;要判定存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x,使p（x）成立.2、全称（或存在性）命题的否认是将其全称（或存在）最词改为存在最词（或全称最词），并把结论否认.考向四存在性问题与恒成立问题例 4、函数/（©Tn，+）, g（x）=（1）x 一7,假设对 W%w0,3,三用金口，2,使得/（%）身（占），求 实数，的取值范围是.【解析】：因为/（x） = ln，+i）在0,3上是增函数，所以/（x”0,lnl0；因为以幻=（；）-？在1,2上是减函数，所以g02）假设命题成立，只要/（“疝】g（X2）min，2那么0m，所以，一. 44变式I、假设“Vrg0,工,tanxWm”是真命题，那么实数?的最小值为一. 4【答案】1【解析】"Vxe0,2j, tan_r<"'是真命题，那么在tan工=1 ,于是实数机的最小值为1。 444,+9变式2、假设Vx£（0, +co）,;?，那么实数？的取值范围为.A【答案】（-8, 12【解析】由题意可知，xe（o, +8）,所以生土=4x+222、0=12,当且仅当4x=2,即工=乎时取等号，那么加W12,即实数用的取值范围为（-8, 12.变式3、假设命题“存在xeR，级2+4x+4W0”为假命题，那么实数a的取值范围是.【答案】（2, +8）【解析】“存在x£R，加+4x+qW0”为假命题，那么其否认“对任意x£R，。/+以+。>0”为真命题，当