南京盐城市2017届高三二模数学试卷.doc

南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试 数 学 201703注意事项：1本试卷共4页，包括填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）两部分本试卷满分为160分，考试时间为120分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1函数f(x)ln的定义域为 2若复数z满足z(1i)2i（i是虚数单位），是z的共轭复数，则z· 3某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为 4下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：不喜欢戏剧喜欢戏剧男性青年观众4010女性青年观众4060（第5题图）S1I1While I8 SSI II2End WhilePrint S现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n的值为 5根据如图所示的伪代码，输出S的值为 6记公比为正数的等比数列an的前n项和为Sn若a11，S45S20，则S5的值为 7将函数f(x)sinx的图象向右平移个单位后得到函数yg(x)的图象，则函数yf(x)g(x)的最大值为 8在平面直角坐标系xOy中，抛物线y26x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足若直线AF的斜率k，则线段PF的长为 9若sin()，(0，)，则cos的值为 10，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是 （填上所有正确命题的序号）若，mÌ，则m； 若m，nÌ，则mn；若，n，mn，则m； 若n，n，m，则m11在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kxy20与直线l2：xky20相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线xy40的距离的最大值为 12若函数f(x)x2mcosxm23m8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为 13已知平面向量(1，2)，(2，2)，则的最小值为 14已知函数f(x)lnx(ea)xb，其中e为自然对数的底数若不等式f(x)0恒成立，则的最小值为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）如图，在ABC中，D为边BC上一点，AD6，BD3，DC2ABCD（第15题图2）（第15题图1）DCBA（1）若ADBC，求BAC的大小；（2）若ABC，求ADC的面积16（本小题满分14分）如图，四棱锥PABCD中，AD平面PAB，APAB（第16题图）PDCBA（1）求证：CDAP；（2）若CDPD，求证：CD平面PAB；17（本小题满分14分）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中ab（1）当a90时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值（第17题图）DCBA18（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：1经过点(b，2e)，其中e为椭圆C的离心率过点T(1，0)作斜率为k(k0)的直线l交椭圆C于A，B两点(A在x轴下方)（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求 的值；xyOABPTMN（第18题图）（3）记直线l与y轴的交点为P若，求直线l的斜率k19（本小题满分16分）已知函数f (x)exax1，其中e为自然对数的底数，aR （1）若ae，函数g (x)(2e)x求函数h(x)f (x)g (x)的单调区间；若函数F(x)的值域为R，求实数m的取值范围；（2）若存在实数x1，x20，2，使得f(x1)f(x2)，且|x1x2|1，求证：e1ae2e20（本小题满分16分）已知数列an的前n项和为Sn，数列bn，cn满足 (n1) bnan1，(n2) cn，其中nN*（1）若数列an是公差为2的等差数列，求数列cn的通项公式；（2）若存在实数，使得对一切nN*，有bncn，求证：数列an是等差数列南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试 数学附加题 201703注意事项：1附加题供选修物理的考生使用2本试卷共40分，考试时间30分钟3答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲如图，ABC的顶点A，C在圆O上，B在圆外，线段AB与圆O交于点M（1）若BC是圆O的切线，且AB8，BC4，求线段AM的长度；ACBMOABCOMN（第21(A)图）（2）若线段BC与圆O交于另一点N，且AB2AC，求证：BN2MNB选修42：矩阵与变换设a，bR若直线l：axy70在矩阵A= 对应的变换作用下，得到的直线为l：9xy910求实数a，b的值 C选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l：(t为参数)，与曲线C：(k为参数)交于A，B两点，求线段AB的长D选修45：不等式选讲设ab，求证：a46a2b2b44ab(a2b2)【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1AAB2，ABC，E，F分别是BC，A1C的中点（1）求异面直线EF，AD所成角的余弦值；D1C1B1MFEDCBAA1（第22题图）（2）点M在线段A1D上， 若CM平面AEF，求实数的值23（本小题满分10分）现有（n2，nN*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：* 第1行* * 第2行* * * 第3行* * * * 第n行设Mk是第k行中的最大数，其中1kn，kN*记M1M2Mn的概率为pn（1）求p2的值；（2）证明：pn南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1(，1) 22 3 430 517 6317 8 6 9 10 113 122 13 14二、解答题（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15（本小题满分14分）解：（1）设BAD，DAC因为ADBC，AD6，BD3，DC2，所以tan，tan， 2分所以tanBACtan()1 4分又BAC(0，)，所以BAC 6分（2）设BAD 在ABD中，ABC，AD6，BD3由正弦定理得 ， 解得sin 8分因为ADBD，所以为锐角，从而cos 10分因此sinADCsin()sincoscossin() 12分ADC的面积S×AD×DC·sinADC×6×2×(1) 14分16（本小题满分14分）证明：（1）因为AD平面PAB，AP平面PAB，所以ADAP 2分又因为APAB ，ABADA，AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以AP平面ABCD 4分因为CD平面ABCD，所以CDAP 6分（2）因为CDAP，CDPD，且PDAPP，PD平面PAD，AP平面PAD，所以CD平面PAD 8分因为AD平面PAB，AB平面PAB，所以ABAD 又因为APAB，APADA，AP平面PAD，AD平面PAD，所以AB平面PAD 10分由得CDAB， 12分因为CD 平面PAB，AB平面PAB，所以CD平面PAB 14分17（本小题满分14分） 解：（1）因为矩形纸板ABCD的面积为3600，故当a90时，b40，从而包装盒子的侧面积S2×x(902x)2×x(402x)8x2260x，x(0，20) 3分因为S8x2260x8(x)2， 故当x 时，侧面积最大，最大值为 平方厘米 答：当x 时，纸盒的侧面积的最大值为平方厘米 6分（2）包装盒子的体积V(a2x)(b2x) xxab2(ab)x4x2，x(0，)，b60 8分Vxab2(ab)x4x2x(ab4x4x2)x(3600240x4x2)4x3240x23600x 10分当且仅当ab60时等号成立设f (x)4x3240x23600x，x(0，30)则f (x)12(x10)(x30)于是当0x10时，f (x)0，所以f (x)在(0，10)上单调递增；当10x30时，f (x)0，所以f (x)在(10，30)上单调递减因此当x10时，f (x)有最大值f (10)16000， 12分此时ab60，x10 答：当ab60，x10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米 14分18（本小题满分16分）解：（1）因为椭圆 1经过点(b，2e)，所以1 因为e2，所以1因为a2b2c2，所以 1 2分整理得 b412b2320，解得b24或b28(舍) 所以椭圆C的方程为1 4分（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)因为T(1，0)，则直线l的方程为yk(x1)联立直线l与椭圆方程 消去y，得 (2k21)x24k2x2k280，所以 6分因为MNl，所以直线MN方程为ykx，联立直线MN与椭圆方程消去y得 (2k21)x28，解得x2因为MNl，所以 8分因为 (1x1)·(x21)x1x2(x1x2)1 ，(xMxN)24x2，所以 · 10分（3）在yk(x1)中，令x0，则yk，所以P(0，k)，从而 (x1,ky1)， (x21，y2)因为 ，所以x1(x21)，即x1x2 12分由(2)知， 由解得 x1，x2 14分因为x1x2， 所以 ×， 整理得 50k483k2340，解得k22或k2 (舍) 又因为k0，所以k 16分19（本小题满分16分）解：（1）当ae时，f (x)exex1 h (x)f (x)g (x)ex2x1，h (x)ex2由h (x)0得xln2，由h (x)0得xln2所以函数h(x)的单调增区间为 (ln2，)，单调减区间为 (，ln2) 3分 f (x)exe当x1时，f (x)0，所以f (x)在区间(，1)上单调递减；当x1时，f (x)0，所以f(x)在区间(1，)上单调递增1° 当m1时，f (x)在(，m上单调递减，值域为emem1，)，g(x)(2e)x在(m，)上单调递减，值域为(，(2e)m)，因为F(x)的值域为R，所以emem1(2e)m，即em2m10 （*）由可知当m0时，h(m)em2m1h(0)0，故（*）不成立因为h(m)在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，1)上单调递增，且h(0)0，h(1)e30，所以当0m1时，h(m)0恒成立，因此0m1 6分2° 当m1时，f (x)在(，1)上单调递减，在(1，m上单调递增，所以函数f (x)exex1在(，m上的值域为f (1)，)，即1，)g(x)(2e)x在(m，)上单调递减，值域为(，(2e)m)因为F(x)的值域为R，所以1(2e)m，即1m 综合1°，2°可知，实数m的取值范围是0， 9分（2）f (x)exa若a0时，f (x)0，此时f(x)在R上单调递增由f(x1)f(x2)可得x1x2，与|x1x2|1相矛盾，所以a0，且f(x)在(，lna单调递减，在lna，)上单调递增 11分若x1，x2(，lna，则由f (x1)f (x2)可得x1x2，与|x1x2|1相矛盾，同样不能有x1，x2lna，) 不妨设0x1x22，则有0x1lnax22 因为f(x)在(x1，lna)上单调递减，在(lna，x2)上单调递增，且f (x1)f (x2)，所以当x1xx2时，f (x)f (x1)f (x2) 由0x1x22，且|x1x2|1，可得1x1，x2，故f (1)f (x1)f (x2) 14分又f (x)在(，lna单调递减，且0x1lna，所以f (x1)f (0)，所以f (1)f (0)，同理f (1)f (2) 即解得e1ae2e1，所以 e1ae2e 16分20（本小题满分16分）解：（1）因为an是公差为2的等差数列，所以ana12(n1)，a1n1， 2分从而 (n2) cn(a1n1)n2，即cn1 4分（2）由(n1)bnan1，得n(n1) bnnan1Sn，(n1)(n2) bn1(n1)an2Sn1， 两式相减，并化简得an2an1(n2) bn1nbn 6分从而 (n2) cnan1(n1) bn(n1) bn(n1) bn(n2)( bnbn1)因此cn( bnbn1) 9分因为对一切nN*，有bncn，所以cn(bnbn1)，故bn，cn 11分所以 (n1)an1， (n2)(an1an2)， ，得(an2an1)，即an2an12故an1an2 (n2) 14分又2a2a2a1，则an1an2 (n1)所以数列an是等差数列 16分南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学附加参考答案及评分标准21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲解：（1）因为BC是圆O的切线，故由切割线定理得BC2BM·BA 2分设AMt，因为AB8，BC4， 所以428(8t)，解得t6 ，即线段AM的长度为6 4分（2）因为四边形AMNC为圆内接四边形，所以AMNB 6分又BB，所以BMNBCA， 8分所以因为AB2AC，所以BN2MN 10分B选修42：矩阵与变换解：（方法一）在直线l：axy70取点A(0，7)，B(1，7a)因为 ， ， 4分 所以A(0，7)，B(1，7a)在矩阵A对应的变换作用下分别得到点A(0，7b)，B(3，b(7a)1) 由题意，知A，B在直线l：9xy910上， 所以 8分 解得a2，b13 10分（方法二）设直线l上任意一点P(x，y)，点P在矩阵A对应的变换作用下得到点Q(x，y)因为 ，所以 4分 又因为点Q(x，y)在直线l上，所以9xy910 即27x(xby)910，也即26xby910， 又点P(x，y)在直线l上，所以有axy70 8分 所以，解得a2，b13 10分C选修44：坐标系与参数方程解：（方法一）直线l的参数方程化为普通方程得4x3y4，将曲线C的参数方程化为普通方程得y24x 4分联立方程组 解得 或 所以A(4，4)，B(，1) 8分所以AB 10分（方法二）将曲线C的参数方程化为普通方程得y24x 2分直线l的参数方程代入抛物线C的方程得 (t)24(1)，即4t215t250，所以 t1t2，t1t2 6分所以AB|t1t2| 10分D选修45：不等式选讲证明： a46a2b2b44ab(a2b2)(a2b2)24ab(a2b2)4a2b2(a2b22ab)2(ab)4 5分因为ab，所以(ab)40， 所以a46a2b2b44ab(a2b2) 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）解：因为四棱柱ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，所以A1A平面ABCD又AEÌ平面ABCD，ADÌ平面ABCD，所以A1AAE，A1AADxzyD1C1B1MFEDCBAA1(第22题图)在菱形ABCD中ABC，则ABC是等边三角形因为E是BC中点，所以BCAE因为BCAD，所以AEAD以，为正交基底建立空间直角坐标系则A(0，0，0)，C(，1，0)，D(0，2，0)，A1(0，0，2)，E(，0，0)，F(，1)（1）(0，2，0)，(，1)，所以·1从而cos，故异面直线EF，AD所成角的余弦值为 4分（2）设M(x，y，z)，由于点M在线段A1D上，且 ，则，即(x，y，z2)(0，2，2)则M(0，2，22)，(，21，22) 6分设平面AEF的法向量为n(x0，y0，z0)因为 (，0，0)，(，1)，由n·0，n·0，得x00，y0z00取y02，则z01，则平面AEF的一个法向量为n(0，2，1) 8分由于CM平面AEF，则n·0，即2(21)(22)0，解得 10分23（本小题满分10分）解：（1）由题意知p2， 即p2的值为 3分（2）先排第n行，则最大数在第n行的概率为； 5分去掉第n行已经排好的n个数，则余下的n个数中最大数在第n1行的概率为；故pn××× 7分由于2n(11)nCCCCCCCCCC，故，即pn 10分16 / 16数学试卷 第 16 页 共 16 页