北京市房山区2015届高三上学期第一次模拟考试数学理试题Word版含解析.doc

第卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则为()ABCD【答案】C【解析】试题分析：由题可知，解得或，即集合，当时，集合，因此；考点：集合的运算2.双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，则=（ ）A4B2CD【答案】A【解析】试题分析：由题可知，双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，则有，于是，在双曲线中，即，；考点：双曲线的性质3.设变量、满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】试题分析：由题可知，根据的约束条件，作出可行域，则目标函数在点（1,1）处取得最小值，即（1,1）（2,0）（3,3）；考点：简单的线性规划4.从名学生中选出名分别参加数学、物理、化学、英语竞赛，其中学生甲不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为（ ）ABCD 【答案】C【解析】试题分析：由题可知，从5名学生中选取4人，分为两种情况，第一种甲被选中，第二种甲不被选中，当甲被选中时，参赛方案为种，当甲未被选中时，参赛方案为种，因此参赛方案一共有种；考点：排列组合的实际应用5.已知二次函数，则“”是“函数在上为增函数”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由题可知，即，因为，即二次函数对称轴小于等于1，因此函数在上递增或是递减；而函数在上为增函数，则有，即，；因此“”是“函数在上为增函数”的必要不充分条件；考点：二次函数的图像与性质6.一个棱长为的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A BC D【答案】D【解析】试题分析：由三视图可知，此几何体是在正方体的两端分别截取两个三棱锥，每个三棱锥的体积为，因此此几何体的体积；考点：几何体的三视图7.向量，若与的夹角等于，则的最大值为（）ABC D【答案】A【解析】试题分析:由题可知，作以向量，为三边的三角形，于是，由正弦定理可知，由于向量，因此，即，因为，故的最大值为4；考点：三角形正弦定理8.一个人骑车以米/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车,当他离汽车米时，交通信号灯由红变绿,汽车开始做变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同),若汽车在时刻的速度米/秒，那么此人（ ）A可在秒内追上汽车B不能追上汽车,但其间最近距离为16米C不能追上汽车,但其间最近距离为米D不能追上汽车,但其间最近距离为米【答案】D【解析】试题分析：由题可知，汽车在时刻t的速度为v（t）=t米/秒，所以加速度M/S，由此判断为匀加速运动，再设人于x秒追上汽车，有，解得，方程无解，因此不能追上汽车，此一元二次方程，最小值为，故最近距离为7米。考点：二次函数的性质第卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知复数满足，则复数 【答案】【解析】试题分析：由题可知，；考点：复数的运算10.执行如下图所示的程序框图，若输入的值为8，则输出的值为【答案】8【解析】试题分析：由题可知，第一步，由于，继续进行，第二步，由于，继续进行，第三步，由于不满足，故循环结束，得出；考点：程序框图的计算11.如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一支飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是 【答案】【解析】试题分析：由题可知，设大正方形的边长为2，则大正方形的面积为4，由于直角三角形中的一角为，则两条直角边分别为1和，故小正方形的边长为，则小正方形的面积为，因此飞镖落在小正方形内的概率为；考点：几何概型概率模型12. 如图所示，圆的割线交圆于、两点，割线经过圆心 已知，则圆的半径【答案】8【解析】试题分析：由题可知，设圆的半径为R，则，由割线定理得，即，解得；考点：割线定理13.已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，则面积的最小值为，此时，直线的方程为考点：均值不等式的应用14.已知函数是上的偶函数，对，都有成立当，且时，都有，给出下列命题：（1）；（2）直线是函数图象的一条对称轴；（3）函数在上有四个零点；（4）.其中所有正确命题的序号为【答案】（1）（2）（4）【解析】试题分析：由题可知，解令x2，得，解得，因为函数f（x）为偶函数，所以，（1）正确；因为，所以，即x4是函数f（x）的一条对称轴，（2）正确；当，且时，都有，说明函数f（x)在0,2上单调递减函数，又f（2）0，因此函数f（x）在0,2上只有一个零点，由偶函数，知函数f（x）在2，0上也只有一个零点，由f（x4）f（x），知函数的周期为4，所以，f（6）f（6）0，因此，函数在4,4上只有2个零点，（3）错；对于（4），因为函数的周期为4，2015除以4余数是3，即，又因为，故（4）正确；选（1）（2）（4）。考点：函数的奇偶性与单调性三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题共13分）已知函数.（）求的单调递增区间； （）在中，三个内角的对边分别为，已知，且外接圆的半径为，求的值.【答案】（1）Z) ；（2）3；【解析】试题分析：（1）由题可知，由三角函数积化和差公式可得，由二倍角公式可得，因此函数，再由和差化积公式得出函数,因此递增区间为Z)，化简得的单调递增区间是Z)，（2）由，得出，根据正弦定理由，代入数值即可求职；试题解析：（） 2分 = 3分 由Z)得，Z) 5分 的单调递增区间是Z) 7（）， 于是 10分 外接圆的半径为， 由正弦定理，得 ， 13分考点：三角函数积化和差公式二倍角公式正弦定理16.（本小题共13分）为了解今年某校高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前组的频率之比为， 其中第组的频数为.（）求该校报考飞行员的总人数；（） 以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设表示体重超过公斤的学生人数，求的分布列和数学期望.【答案】（1）48；（2）分布列如下，数学期望为；【解析】试题分析：（1）在频率分布直方图中，各组频率之和等于1，由此可得一方程，从而求出前三组的频率；再根据第二组的频数可求得总数；（2）用样本的频率作为总体的概率，可得任选一人体重超过60公斤的概率.服从二项分布，由二项分布概率公式可求出分布列，用二项分布数学期望的公式可求的期望.试题解析：（I）设报考飞行员的人数为,前三小组的频率分别为，则由条件可得：解得，又因为故 5分(II)由（I）可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为故X服从二项分布，随机变量的分布列为： 则，或13分考点：频率分布直方图用样本估计整体二项分布的分布列与数学期望17.（本小题共14分）在如图所示的多面体中，平面，平面ABC，且，是的中点 （）求证：； （）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值； （）在棱上是否存在一点,使得直线与平面所成的角为若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由【答案】（1）证明如下；（2）；（3）存在，点N为DC中点；【解析】试题分析：（1）由题可知，证明线线垂直需要从线面垂直入手，由得，是等腰直角三角形，故，即若一条直线垂直于平面内两条相交直线，则线面垂直，从而（2）根据垂直关系建立空间直角坐标系，分别将点的坐标表示出来，求出平面EMC与平面BCD的法向量，根据向量的数量积可得出夹角的取值；（3）假设存在点N，设点N为（x,y,z）,将向量的坐标求出为，根据向量的数量积公式求出的值，解得符合题意，即符合条件的点存在，为棱的中点.试题解析：（I）证明： 是的中点又平面， 平面z 4分（）以为原点，分别以,为x，y轴，如图建立坐标系，则xy设平面的一个法向量，则取所以设平面的一个法向量，则取，所以所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 9分（）设且,若直线与平面所成的角为，则解得：，所以符合条件的点存在，为棱的中点. 14分考点：线线垂直的判定及性质向量的数量积空间坐标系的建立18.（本小题共13分）已知，其中()若函数在点处切线斜率为，求的值；()求的单调区间；()若在上的最大值是，求的取值范围【答案】（1）；（2）当0<a<1时，的单调递增区间是(0，)，的单调递减区间是(1,0)，(，)，当a>1，的单调递增区间是(,0)的单调递减区间是(1，)，(0，)当a1时，的单调递减区间为(1，)（3）；【解析】试题分析：（1）由题可知，在点3处的切线斜率即为导数在3处的取值，于是有；（2）利用导数求单调性，要根据导函数的正负进行判断，导函数大于零，则原函数递增，导函数小于零，则原函数递减，通过对a的范围讨论，确定单调区间（3）根据上一问得到的单调区间，分别计算其最大值，再与a的范围进行比较，因此得到满足题意；试题解析：()由题意得，由。 3分()令，当0<a<1时，x1<x2，与的变化情况如下表(1,0)0(0，)(，)00的单调递增区间是的单调递减区间是(1,0)和(，)；当a1时，的单调递减区间是(1，)；当a>1时，1<x2<0与的变化情况如下表(1，)(,0)0(0，)00的单调递增区间是(,0)，的单调递减区间是(1，)和(0，)综上，当0<a<1时，的单调递增区间是(0，)的单调递减区间是(1,0)，(，)，当a>1，的单调递增区间是(,0)的单调递减区间是(1，)，(0，)当a1时，的单调递减区间为(1，) 9分()由()可知当0<a<1时，在(0，)的最大值是，但>f(0)0，所以0<a<1不合题意，当a1时，在(0，)上单调递减，由可得在0，)上的最大值为f(0)0，符合题意，在0，)上的最大值为0时，a的取值范围是 13分考点：导数的几何意义利用导数求单调区间利用导数解决最值问题19.（本小题共14分）动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为.() 求动点的轨迹的方程；（） 已知定点，动点在直线上，作直线与轨迹的另一个交点为,作直线与轨迹的另一个交点为，证明：三点共线.【答案】（1）；（2）证明如下；【解析】试题分析：（1）由题可知，根据两点间距离公式以及点到直线的距离公式，可得方程成立，化简即可得到轨迹方程；（2）由题可知，对t进行讨论，当时，可知M、N、F均在x轴上，故可证三点共线，当时，将直线方程与椭圆联立，得出点M与点N的坐标，分别讨论两者横坐标相等和不相等的情况，当横坐标相等时，解得M、N、F均在直线上，可证三点共线，当横坐标不相等时，利用直线AQ与直线BQ斜率相等，也可说明三点共线；试题解析： ()由题意得， 2分化简并整理，得 .所以动点的轨迹的方程为椭圆. 5分（）当时，点重合，点重合，三点共线. 7分当时根据题意：由消元得：整理得：该方程有一根为另一根为,根据韦达定理，由消元得：整理得：该方程有一根为另一根为,根据韦达定理，当时，由得：，三点共线；当时， ；，三点共线. 综上，命题恒成立. 14分考点：点到点，点到直线距离公式证明三点共线的常用方法20.（本小题共13分）下表给出一个“等差数阵”：47（ ）（ ）（ ）712（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）其中每行、每列都是等差数列，表示位于第行第列的数.（I）写出的值；（II）写出的计算公式；（III）证明：正整数在该等差数阵中的充要条件是可以分解成两个不是的正整数之积.【答案】（1）；（2）；（3）证明如下；【解析】试题分析：（1）由题可知，先明确代表的含义，观察表格，发现每列每行的公差依次是3,5,7,9.，故示第四行第五列的数为49；（2）先根据第一行的前两个数求出第一行的通项公式，同理可得第二行的通项 13分考点：等差数列的基本性质充要条件的基本知识