北京市西城区20142015学年高一下学期期末考试数学试题Word版含解析.doc

A卷 本卷满分：50分一、选择题：本大题共8个小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1对一个容量为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率依次为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三大抽样都是等概率抽样，因此对一个容量为的总体抽取容量为的样本，不管用哪种抽样，总体中每个个体被抽中的概率都相等考点：三大抽样；2.从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，可能抽取到的数字有：12,13,14,23,24,34共六种，满足所取两个数之和为5的14,23，因此所取两个数之和为5的概率为考点：古典概型；3. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】C考点：循环结构；4. 某校对高一年级学生的数学成绩进行统计，全年级同学的成绩全部介于60分与100分之间，将他们的成绩数据绘制成如图所示的频率分布直方图。现从全体学生中，采用分层抽样的方法抽取60名同学的试卷进行分析，则从成绩在内的学生中抽取的人数为（ ）A. 24B. 18C. 15 D. 12【答案】B【解析】试题分析：根据学生成绩的频率分布直方图可以计算出，学生成绩在内的学生占所有学生的，因此采用分层抽样的方法抽取60名学生时，应从成绩在内的学生中抽取人考点：分层抽样；5. 投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是=1，2，3，4，5，6。设事件A=1，3，B=3，5，6，C=2，4，6，则下列结论中正确的是（ ）A. A，C为对立事件 B. A，B为对立事件C. A，C为互斥事件，但不是对立事件 D. A，B为互斥事件，但不是对立事件【答案】C【解析】试题分析：根据对立事件与互斥事件的定义进行判断，由于，因此A错；，因此B错；，因此C对；，因此D错；考点：对立事件；互斥事件；6. 下图是1，2两组各7名同学体重（单位：千克）数据的茎叶图。设1，2两组数据的平均数依次为和，标准差依次为和，那么（ ）（注：标准差，其中为的平均数）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：根据茎叶图可知，第1组7名同学的题做好分别为53,56，57,58,61,70,72，因此第一组同学体重的平均数为，方差为同理第2组的平均体重为，方差为，因此考点：样本数据的平均数和方差；茎叶图；7. 下图给出的是计算的一个程序框图，则判断框内应填入关于的不等式为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：根据题意，依次执行程序框图，当；当；当，当，因此判断框内应填入考点：循环结构；8. 袋中装有5个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色，现从袋中随机抽取3个小球。设每个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：从袋中随机抽取3个球可能发生的事件有：红黄白，红黄黑，红黄紫，红白黑，红白紫，红黑紫，黄白黑，黄白紫，白黑紫，黄黑紫共十种，其中白球或黑球被抽到的有九种，因此所求概率为考点：古典概型；和事件；二、解答题：本大题共2小题，共18分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。9. （本小题满分9分）从某校高一年级随机抽取名学生，获得了他们日平均睡眠时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表：组号分组频数频率15，6）20.0426，7）0.2037，8）a48，9）b59，10）0.16（I）求的值；（）若，补全表中数据，并绘制频率分布直方图；（）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替。若上述数据的平均值为7.84，求的值，并由此估计该校高一学生的日平均睡眠时间不少于8小时的概率。【答案】（I）（）图略（）【解析】试题分析：（I）在1组中，频数为2，频率为0.04，可求得值；（）当时，根据随机抽样时等概率的特点可以补全表格中数据，然后根据表格中的数据绘制频率分布直方图；（）根据样本数据的平均值为7.84，样本容量为50，列出关于的方程组解出，然后将 本卷满分：100分一、选择题：本大题共8个小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 数列满足，则（ ）A. 10 B. 8 C. 8 D. 10【答案】C【解析】试题分析：由题意可得，因此数列是一个以1为首项，-3为公差的等差数列，因此考点：等差数列的定义与通项公式；2. 设，且，则下列结论中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：用排除法对选项进行，对于A，当时不满足，因此不对；B中当时不满足，因此不对；C中当时不满足，因此不对；因此选D考点：不等式的性质；3. 在等比数列中，若，则（ ）A. 17 B. 16 C. 14 D. 13【答案】A考点：等比数列的通项公式；4. 若实数满足，则的最大值是（ ）A. 6 B. 4 C. D. 0【答案】B【解析】试题分析：作出不等式组所对应的可行域：当直线即经过点A时，截距最大，此时z取得最大值，而直线与的交点坐标为，因此z的最大值为考点：一元二次不等式的线性规划；5. 在ABC中，若，则ABC的形状一定是（ ）A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形【答案】B【解析】试题分析：由题意，根据正弦定理有，A,B为三角形内角，因此，所以或（舍去），故ABC是等腰三角形考点：正弦定理；三角形形状的判断；6. 已知等差数列的前项和为，若，则一定有（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：根据等差数列的前n项和公式有：，因此C正确考点：等差数列的前n项和公式；等差中项；7. 已知数列的前项的乘积为，其中为常数，若，则c=（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】A【解析】试题分析：由于数列的前项的乘积为，因此，即，解得考点：数列的性质；8. 设不等式组表示的平面区域是W，则W中的整点（横、纵坐标均为整数的点）个数是（ ）A. 231 B. 230 C. 219 D. 218【答案】A【解析】试题分析：根据不等式组画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分：直线与的交点，直线与的交点，因此阴影区域中的点有：当，有一个点在区域内；当时，点在直线上，在直线上，因此时没有点在区域内；当时，点在直线上，点在直线上，因此时有一个点在区域内；当，有一个点在区域内，累加得到231考点：一元二次不等式组所表示的区域；二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中横线上9. 不等式的解集为_【答案】【解析】试题分析：一元二次方程的根为，对应的一元二次函数开口向上，因此不等式的解集为考点：一元二次不等式的解法；10. 在ABC中，若，则=_【答案】2【解析】试题分析：根据余弦定理可得：，因此考点：余弦定理；11. 已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是_【答案】6【解析】试题分析：设等差数列的公差为，则为整数，当时，取最小值，最小值为6考点：等差数列的通项公式；12. 函数的最小值是_；此时_【答案】3,2【解析】试题分析：函数，当且仅当即或（舍去）时，等号成立考点：基本不等式的应用；13. 设，求和：_【答案】【解析】试题分析：当时，数列的和为1,；当时，数列是一个以1为首项，以为公比的等比数列，若，数列的和为，若且，数列的和为，当时，所以数列的和为考点：等比数列的前n项和公式；14. 设数列的通项公式为，数列定义如下：对任意，是数列中不大于的项的个数，则_；数列的前项和_【答案】243，【解析】试题分析：，而，解得，因此；根据数列的定义，对任意，是数列中不大于的项的个数，解得，所以，因此考点：等比数列的前n 项和公式；三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分10分）已知数列是首项为1，公比为q的等比数列。（I）证明：当时，是递减数列；（II）若对任意，都有成等差数列，求q的值【答案】（I）证明略；（II）或【解析】试题分析：（I）要证明是递减数列，只需证明即可；（II）成等差数列，根据等差中项的性质有，列出关于的等式，然后提公因式，求解出的值即可试题解析：（I）因为数列是首项为1，公比为q的等比数列，所以，所以，当时，有，所以，所以是递减数列（II）因为成等差数列，所以， 其中，即，整理得，因为，所以，解得或考点：递减数列；等差中项；16. （本小题满分10分）已知ABC为锐角三角形，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且。（I）求角C；（II）当时，求ABC面积的最大值【答案】（I）；（II）（II）由余弦定理得，即，又，所以，所以ABC的面积 ，当且仅当，即ABC为等边三角形时，ABC的面积取到，所以ABC面积的最大值为考点：正弦定理；余弦定理；三角形的面积公式；17. （本小题满分12分）设，不等式的解集记为集合。（I）若，求的值；（）当时，求集合；（III）若，求的取值范围【答案】（I）；（II当时，；当时，；当时， ；（III）【解析】试题分析：（I）由不等式的解集为，可知1和2为方程的两根，将代入方程解出的值即可；（II）不等式 ，因此方程的两根为和2，然后分三种情况讨论和2的大小关系，分别得出解集即可；（III）由已知可得，当时，不等式 恒成立，然后分，三种情况分别讨论试题解析：（I）因为，所以方程的两根为1和2，将代入上述方程，得，解得（II）不等式可化为，当时，方程的两根为和2当，即时，解得当，即时，解得或当，即时，解得或综上，当时，；当时，；当时， （III）依题意，当时，不等式恒成立当时，原不等式化为，即，适合题意当时，由（II）可得时，适合题意当时，因为，所以，此时必有成立，解得综上，若，则m的取值范围是考点：一元二次不等式的解集；子集；分类讨论思想；18. （本小题满分12分）已知数列的通项公式为，其中是常数，。（I）当时，求的值；（）数列是否可能为等差数列?证明你的结论；（）若对于任意，都有，求的取值范围【答案】（I）（）不可能，证明略（）【解析】试题分析：（I）根据，得出，列出关于的等式，求解出的值即可；（）先假设存在，使得数列是等差数列，因此有，列出关于的等式，求解出的值，然后验证两个数是否相等，得出矛盾，得到对任意实数，都不可能是等差数列；（）由，得，然后分为正偶数和为正奇数两类，利用函数单调性分情况讨论即可试题解析：（I）因为，所以时，由32=1，解得（II）数列不可能为等差数列，证明如下：由，得，若存在，使为等差数列，则，即，解得于是，这与为等差数列矛盾，所以对任意实数，都不可能是等差数列（III）由，得，将上式变形为，其中（i）当为正偶数时，式化简为。因为随着正偶数的增大而增大，欲使上式对于任意正偶数恒成立，则（ii）当为正奇数时，式化简为。因为随着正奇数的增大而增大，欲使上式对于任意正奇数恒成立，则综上，若对于任意，都有，则的取值范围是考点：等差数列；函数单调性与数列的综合问题；