江苏省苏州市张家港市高级中学20152016学年高一下期中数学试卷解析版.doc

2015-2016学年江苏省苏州市张家港市高级中学高一（下）期中数学试卷一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸上1已知集合A=1，1，3，B=2，2a1，AB=1，则实数a的值是2sin13°cos17°+cos13°sin17°=3已知数列an的通项公式为an=，那么是它的第项4不等式2的解集是5设x，y满足约束条件，则z=x2y的取值范围为6若实数列1，a，b，c，4是等比数列，则b的值为7已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且边a=4，c=3，则ABC的面积等于8等差数列an前n项和为Sn，若a7+a9=16，S7=7，则a12=9若关于x的不等式tx26x+t20的解集（，a）（1，+），则a的值为10已知数列an满足，a1=5，则等于11在等式的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个锐角是12数列an的前n项和Sn=n24n+2，则|a1|+|a2|+|a10|=13设ABC的面积为S，2S+=0若|=，则S的最大值为14已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，yR，都有f（xy）=xf（y）+yf（x）成立 数列an满足an=f（2n）（nN*），且a1=2则数列的通项公式an=二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知函数f（x）=sin（x+）+cosx，xR，（1）求函数f（x）的最大值，并写出当f（x）取得最大值时x的取值集合；（2）若（0，），f（+）=，求f（2）的值16已知各项均为正数的等比数列an中，a2=4，a4=16（1）求公比q；（2）若a3，a5分别为等差数列bn的第3项和第5项，求数列bn的通项公式17在四边形ABCD中，已知AB=9，BC=6， =2（1）若四边形ABCD是矩形，求的值；（2）若四边形ABCD是平行四边形，且=6，求与夹角的余弦值18函数f（x）=x2+ax+3（1）当xR时，f（x）a恒成立，求a的取值范围（2）当x2，2时，f（x）a恒成立，求a的取值范围19如图，甲船从A处以每小时30海里的速度沿正北方向航行，乙船在B处沿固定方向匀速航行，B在A北偏西105°方向用与B相距10 海里处当甲船航行20分钟到达C处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的D处，此时两船相距10海里（1）求乙船每小时航行多少海里？（2）在C的北偏西30°方向且与C相距海里处有一个暗礁E，周围海里范围内为航行危险区域问：甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险？若有危险，则从有危险开始，经过多少小时后能脱离危险？若无危险，请说明理由20设数列an，a1=1，an+1=+，数列bn，bn=2n1an（1）求证：数列bn为等差数列，并求出bn的通项公式；（2）数列an的前n项和为Sn，求Sn；（3）正数数列dn满足=设数列dn的前n项和为Dn，求不超过D100的最大整数的值2015-2016学年江苏省苏州市张家港市高级中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸上1已知集合A=1，1，3，B=2，2a1，AB=1，则实数a的值是1【考点】交集及其运算【分析】由A与B，以及两集合的交集，确定出a的值即可【解答】解：A=1，1，3，B=2，2a1，AB=1，2a1=1，即2a=2，解得：a=1，故答案为：12sin13°cos17°+cos13°sin17°=【考点】两角和与差的正弦函数【分析】利用两角和的正弦函数公式的逆应用，即可得到特殊角的三角函数值即可【解答】解：sin13°cos17°+cos13°sin17°=sin30°=；故答案为：3已知数列an的通项公式为an=，那么是它的第4项【考点】数列的概念及简单表示法【分析】由通项公式的定义，令an=，解出n即可【解答】解：在数列an中，an=，n2+n=20，解得n=4或n=5（舍去）；是an的第4项故答案为：44不等式2的解集是（5，2）【考点】其他不等式的解法【分析】将分式不等式转化为不等式组进行求解即可【解答】解：不等式等价为或，即或，即5x2，故不等式的解集为（5，2），故答案为：（5，2）5设x，y满足约束条件，则z=x2y的取值范围为3，3【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的可行域，平移目标直线可知，当直线过点A（3，0），点B（1，2）时，函数z分别取最值，计算可得【解答】解：作出不等式组对应的可行域，（如图阴影）平移目标直线z=x2y可知，当直线过点A（3，0）时，z取最大值3，当直线过点B（1，2）时，z取最小值3，故z=x2y的取值范围为：3，3故答案为：3，36若实数列1，a，b，c，4是等比数列，则b的值为2【考点】等比数列的性质【分析】先根据数列的第一项和第五项的值，求得公比q，进而通过等比数列的通项公式求得第三项b【解答】解：依题意可知a1=1，a5=4=q4=4q2=2b=a1q2=2故答案为27已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且边a=4，c=3，则ABC的面积等于【考点】正弦定理；等差数列的性质【分析】先由ABC的三个内角A、B、C成等差数列，得B=60°，再利用面积公式可求【解答】解：由题意，ABC的三个内角A、B、C成等差数列B=60°S= ac×sinB=故答案为8等差数列an前n项和为Sn，若a7+a9=16，S7=7，则a12=15【考点】等差数列的性质【分析】根据等差中项的性质分别根据a7+a9=16，S7=7求得a8和a4，最后根据2a8=a4+a12求得a12【解答】解：a7+a9=2a8=16，a8=8，S7=7，a4=12a8=a4+a12，a12=15故答案为159若关于x的不等式tx26x+t20的解集（，a）（1，+），则a的值为3【考点】一元二次不等式与一元二次方程【分析】利用不等式的解集与方程根之间的关系，确定a，1是方程tx26x+t2=0的两根，且a1，再利用根与系数的关系，即可求得a的值【解答】解：关于x的不等式tx26x+t20的解集（，a）（1，+），a，1是方程tx26x+t2=0的两根，且a1a=3，或a=2a1a=3，故答案为：310已知数列an满足，a1=5，则等于4【考点】数列递推式【分析】利用a1=5，计算出前7项，即可得到结论【解答】解：a1=5，a2=同理，a3=10，a4=，a5=20，a6=，a7=40，=4，故答案为：411在等式的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个锐角是40°【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用【分析】先假设所填角为，再由同角函数的基本关系将正切转化为正余弦函数的比值，再由两角和与差的正弦公式和正弦函数的二倍角公式可得答案【解答】解：设所填角为cos（1+tan10°）=cos（）=cos=1cos=cos40°=40°故答案为：40°12数列an的前n项和Sn=n24n+2，则|a1|+|a2|+|a10|=66【考点】数列的求和【分析】利用递推公式可求而|a1|+|a2|+|a10|=a1a2+a3+a10结合题中的sn求和【解答】解：根据数列前n项和的性质，得n2时，an=SnSn1=（n24n+2）（n1）24（n1）+2=2n5，当n=1时，S1=a1=1，故据通项公式得|a1|+|a2|+|a10|=（a1+a2）+（a3+a4+a10）=S102S2=66故答案为6613设ABC的面积为S，2S+=0若|=，则S的最大值为【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据面积公式列方程解出A，使用余弦定理和基本不等式得出ABAC的最小值，即可得出面积的最小值【解答】解：2S+=0，|AB|AC|sinA+|AB|AC|cosA=0，tanA=，A=由余弦定理得cosA=，AB2+AC2=ABAC+32ABAC，ABAC1S=ABACsinA=ABAC故答案为：14已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，yR，都有f（xy）=xf（y）+yf（x）成立 数列an满足an=f（2n）（nN*），且a1=2则数列的通项公式an=n2n【考点】数列的函数特性【分析】可根据an=f（2n）再利用对于任意的x，yR，都有f（xy）=xf（y）+yf（x）成立令x=2n，y=2得到递推关系式an+1=2an+2×2n然后两边同除以2n+1可构造出数列是以为首项公差为1的等差数列后就可解决问题了【解答】解：由于an=f（2n）则an+1=f（2n+1）且a1=2=f（2）对于任意的x，yR，都有f（xy）=xf（y）+yf（x）令x=2n，y=2则f（2n+1）=2nf（2）+2f（2n）an+1=2an+2×2n数列是以为首项公差为1的等差数列an=n2n二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知函数f（x）=sin（x+）+cosx，xR，（1）求函数f（x）的最大值，并写出当f（x）取得最大值时x的取值集合；（2）若（0，），f（+）=，求f（2）的值【考点】正弦函数的图象；两角和与差的正弦函数【分析】（1）利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式将函数f（x）进行化简，结合三角函数的图象和性质即可求函数f（x）的最大值，并写出当f（x）取得最大值时x的取值集合；（2）根据条件求出sin和cos的值，利用二倍角公式进行化简求值【解答】解：f（x）=sin（x+）+cosx=sinx+cosx+cosx=sinx+cosx=sin（x+），当x+=2k+，即x=2k+，kZ时，函数f（x）取得最大值此时x的取值集合是x|x=2k+，kZ；（2）由（1）知f（x）=sin（x+），f（+）=，f（+）=）=sin（+）=cos=，cos=，（0，），sin=，sin2=2sincos=2×=，cos2=2cos21=，f（2）=sin2+cos2=16已知各项均为正数的等比数列an中，a2=4，a4=16（1）求公比q；（2）若a3，a5分别为等差数列bn的第3项和第5项，求数列bn的通项公式【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式【分析】（1）由已知得解可得q值；（2）由（1）可得b3=a3=8，b5=a5=32，可求公差d，进而可得其通项公式【解答】解：（1）由已知得，q2=4， 又q0，q=2（2）由（1）可得b3=a3=8，b5=a5=32设等差数列bn的公差为d，则，an=8+（n3）×12=12n2817在四边形ABCD中，已知AB=9，BC=6， =2（1）若四边形ABCD是矩形，求的值；（2）若四边形ABCD是平行四边形，且=6，求与夹角的余弦值【考点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的运算【分析】（1）由条件求出|=6，|=3，再用向量AB，AD表示向量AP，BP，再将数量积展开，运用向量的平方为模的平方以及=0，即可求出结果；（2）设与夹角为，根据得到的数量积，运用数量积定义，代入数据，即可求出cos【解答】解：（1）四边形ABCD是矩形，即=0，又AB=9，BC=6， =2，|=6，|=3，=，=，=（）（）=6292=18；（2）设与夹角为，由（1）得，=（）（）=62cos92=6，cos=18函数f（x）=x2+ax+3（1）当xR时，f（x）a恒成立，求a的取值范围（2）当x2，2时，f（x）a恒成立，求a的取值范围【考点】一元二次不等式的解法【分析】（1）对一切实数x恒成立，转化为二次函数恒为非负，利用根的判别式小于等于0即可（2）对于2，2区间内的任意x恒成立，同样考虑二次函数的最值问题，按区间与对称轴的关系分三种情况讨，最后结合图象即可解决问题【解答】解：（1）xR时，有x2+ax+3a0恒成立，须=a24（3a）0，即a2+4a120，所以6a2（2）当x2，2时，设g（x）=x2+ax+3a0，分如下三种情况讨论（如图所示）：如图（1），当g（x）的图象恒在x轴上方时，满足条件时，有=a24（3a）0，即6a2如图（2），g（x）的图象与x轴有交点，当2时，g（x）0，即即解之得a如图（3），g（x）的图象与x轴有交点，2时，g（x）0，即即7a6综合得a7，219如图，甲船从A处以每小时30海里的速度沿正北方向航行，乙船在B处沿固定方向匀速航行，B在A北偏西105°方向用与B相距10 海里处当甲船航行20分钟到达C处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的D处，此时两船相距10海里（1）求乙船每小时航行多少海里？（2）在C的北偏西30°方向且与C相距海里处有一个暗礁E，周围海里范围内为航行危险区域问：甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险？若有危险，则从有危险开始，经过多少小时后能脱离危险？若无危险，请说明理由【考点】解三角形的实际应用【分析】（1）连接AD，CD，推断出ACD是等边三角形，在ABD中，利用余弦定理求得BD的值，进而求得乙船的速度（2）建立如图所示的坐标系，危险区域在以E为圆心，r=的圆内，求出E到直线BD的距离，与半径比较，即可得出结论【解答】解：如图，连接AD，CD，由题意CD=10，AC=10，ACD=60°ACD是等边三角形，AD=10，DAB=45°ABD中，BD=10，v=10×3=30海里答：乙船每小时航行30海里（2）建立如图所示的坐标系，危险区域在以E为圆心，r=的圆内，直线BD的方程为y=x，DAB=DBA=45°E的坐标为（ABcos15°CEsin30°，ABsin15°+CEcos30°+AC），求得A（5+5，55），C（5+5，5+5），E（5+，9+5），E到直线BD的距离d1=1，故乙船有危险；点E到直线AC的距离d2=，故甲船没有危险以E为圆心，半径为的圆截直线BD所得的弦长分别为l=2=2，乙船遭遇危险持续时间为t=（小时），答：甲船没有危险，乙船有危险，且在遭遇危险持续时间小时后能脱离危险20设数列an，a1=1，an+1=+，数列bn，bn=2n1an（1）求证：数列bn为等差数列，并求出bn的通项公式；（2）数列an的前n项和为Sn，求Sn；（3）正数数列dn满足=设数列dn的前n项和为Dn，求不超过D100的最大整数的值【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】（1）由等差数列的定义和数列的递推公式即可证明，（2）根据错位相减法即可求出数列an的前n项和为Sn，（3）利用裂项求和，即可求出不超过D100的最大整数的值【解答】解：（1）由，得 又，所以bn+1=bn+1，又b1=a1=1，所以数列bn是以1为首项，1为公差的等差数列bn=n （2）所以，由，得所以 （3），所以，所以，不超过D100的最大整数为1002016年7月20日