数学分析研究论文.doc

中 国 某 某 大 学(本科) 数学分析研究论文 数信小组 题目:函数的极值和最值的研究 学院:数学及计算科学学院 年级:2011级 指导老师 X(教授) 完成时间:2014年6月8日21 / 24函数极值及最值研究 摘要：在实际问题中, 往往会遇到一元函数.二元函数，以及二元以上的多元函数的最值问题和极值问题等诸多函数常见问题。求一元函数的极值，主要方法有:均值等式法，配方法，求导法等。求一元函数的最值，主要方法有:函数的单调性法，配方法，判别式法，复数法，导数法，换元法等。求二元函数极值，主要方法有：条件极值拉格朗日乘数法，偏导数法等。求二元函数最值，主要方法有:均值不等式法，换元法，偏导数法等。对于多元函数，由于自变量个数的增加, 从而使该问题更具复杂性，求多元函数极值方法主要有：条件极值拉格朗日法, 等，对于多元函数最值问题及一元函数类似可以用极值来求函数的最值问题.主要方法有：向量法，均值不等式法，换元法，消元法，柯西不等式法，数形结合法等， 关键词：函数，极值，最值，极值点,方法技巧 : a . , . a : , . , : , , , , . , , , , . , , : , , . : , , , , , ,: , , , , 引言作为函数性质的一个重要分支和基本工具，函数极值和最值在数学及其他科学领域，如数学建模优化问题、概率统计等学科都有广泛应用。不仅如此，函数极值理论在航海、保险价格策划、航空航天等众领域中也是最富变现性和灵和性，并起着不可替代的数学工具作用，许多实际问题最终都归结为函数极值和最值问题，生活中遇到的实际问题，可以通过数学建模的方式，表示为函数形式，而在求解具体问题时往往需要应用到极值和最值的求解，来为生产生活做保证！由此可见，研究函数极值和最值，是学习数学及其他学科的理论基础，是生活生产中的必备工具。它为我们对于数学的进一步研究起到很大帮助；同时，它对于其它相关学科的理解、学习及应用也起着十分重要的作用，更对其他学科领域的展开有很大的促进作用。函数的极值和最值不仅是函重要的基础性质,在实际经济活动中也有着重要的应用,对于不同类型的问题，我们应有一个系统而简便的方法，巧妙地运用进而达到熟练地掌握这些方法。而恰恰这些方法的终极解决，都归结于对函数极值和最值的求解。下面，就让我们做一些简单的归纳，研究函数的极值和最值，诠释一些方法和技巧，并附上具体的例子加以说明，让我们明白函数极值和最值的相关问题及在生活实际中的各种应用！目录摘要.（1）引言.（2） 1 函数极值.（4） 1.1 极值概述.（4） 1.2 极值判断条件.（5） 1.3 极值应用实例.（6） 1.4 求极值思想方法总结.（10）2 函数最值.（11） 2.1 函数最值概述.（11） 2.2 函数最值求法. .（14） 2.3 求函数最值思想方法总结.（16） 学习心得.(17)致谢辞.(18)附录. (19) 附录一 组员名单. (19) 附录二 开题报告. (20)参考文献.（21） 1 函数极值 1.1 极值概述 1.1.1 函数极值的引入什么叫极值？在诠释这个概念之前我们引入一个定理费尔马定理，下面给出他的定义：（） 若函数在的某邻域内满足：则称函数在点取极大值，点称为极大值点（） 若函数在的某邻域内满足：则称函数在点取极小值，点称为极小值点图极大值及极小值统称为极值，极值是函数的局部性质，即在某邻域内作比较而获得，而且曲线在极值点的切线是一条水平线如图，这就是费尔马定理费尔马定理简单的描述就是：若函数在点的某领域内有定义，且在点可导，则点为极值点他的实质就是可导及极值点的必要条件是稳定点，但非充分。1.1.2 一元函数的极值定义：若函数在点可导，则有费尔马定理，点为极值点，而此时就是所谓的极值。而是极大值还是极小值呢？现在从图2可以得到如下结论(1)在内，；在内时，此时为极小值图(2)在内，；在内时，此时为极大值1.1.3 二元函数的极值定义：设函数在点的某领域内有定义，对于该领域内异于的点，若满足不等式，则称函数在有极大值；若满足不等式，则称函数在有极小值，极大值和极小值统称极值，使函数取得极值的点称为极值点。 1.2 极值判别条件1.2.1 一元极值判别条件(1)必要条件：费尔马定理(2)充分条件.第一充分条件设函数在点连续，在邻域和内可导，则 (i)在邻域上，在邻域上， ()在邻域上，在邻域上， 由导数的符号可知函数的单调性，故结论成立。一般地，用极值的充分条件判别极值点时，常用列表法。.第二充分条件设函数在点的某邻域内一阶可导，在点二阶可导，且，则证明:由二阶泰勒公式得=,所以1.2.2 二元极值判别条件(1)必要条件设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点处偏导数必然为零有。(2) 充分条件设函数在点的某领域连续，有一阶及二阶连续偏导数又，令，则在点处是否取得极值的条件如下：(i)时具有极值，当时具有极大值，当时具有极小值； ()时没有极值。 ()时可能有极值，也可能没有极值。1.3 极值应用实例前面介绍了极值和极值的判别，那到具体的应用中如何应用呢？理论要结合实践，那么我们结合一些经典题型说说到底如何求解极值的问题，来说明其方法和技巧1.3.1 极值的第一充分条件(列表法) 例1.3.1 求函数的极值点及极值。 解:函数 当可见列表如下:(0,1)+-+单调性 所以0为极大值点，极大值为0，1为极小点，极小值为-3(如图1)图(1) 1.3.2 极值的第二充分条件 例1.3.2 求函数解:函数定义域为令6,如果当1.3.3 极值的第一充分条件和极值的第二充分条件 例1.3.3 求函数解:,得又有;再1.3.4 极值的第一充分条件 例1.3.4 由一宽为的长方形铁板，把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？ 解: 设折起来的边长为，倾斜角为，那么梯形断面的下底长为，上底长为，高为，则断面面积 即 ，D：，下面是求二元函数在区域：，上取得最大值的点。令 由于，上式为将代入（2）式得，再求出，则有，于是方程组的解是， 在考虑边界，当时，函数为的一元函数，求最值点，由，得 。所以，。根据题意可知断面面积的最大值一定存在，并且在区域：，内取得，通过计算得知时的函数值比，时函数值为小，又函数在内只有一个驻点，因此可以断定，当，时，就能使断面的面积最大。1.3.5 偏导数法例1.3.5 某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品的广告根据统计资料，销售收入（万元）及电台广告费用（万元）及报纸广告费（万元）之间的关系有如下经验公式： ,广告费用无限的情况下，求最优广告策略，使所获利润最大。解: 利润等于收入及费用之差，利润函数为： 根据极值存在的必要条件，令 得，即为驻点，利润函数在驻点处的矩阵，易验证矩阵为负定矩阵，所以在驻点处达到极大值，也是最大值，即最优广告策略为：电台广告费用和报纸广告费用分别为万元和万元，此时可获得最大利润。1.3.6 条件极值拉格朗日数乘法 用条件极值的方法，把问题转化为无条件极值，正确写出目标函数和约束条件。例1.3.6 经过点(1,1,1)的所有平面中，哪一个平面及坐标面在第一卦限所围的立体的体积最小并求此最小体积解:设所求平面方程为：因为平面过点(1,1,1),所以该点坐标满足此平面方程，即有(1)设所求平面及三个坐标平面所围立体的体积为v,则 (2)原问题化为目标函数(2)在约束条件(1)下的最小值，作拉格朗日函数求函数L的各个偏导数，并令他们为0,得方程组:解方程组得3,由于最小体积存在，函数又有唯一的驻点，故3为所求，即平面为：1,及坐标面在第一卦限所围物体的体积最小最小体积为。1.3.7 均值不等式法用均值不等式求解问题的极值时，一定要注意自变量的要求：一正，二定，三能等的关系。 例1.3.7 当x为何值时，函数取得极值。 解: 式子两边都是非负数，分别去算术平均根，得1.3.8 配方法用配方法求解极值问题，可以将整个函数的极值问题转化为局部函数的最值问题来求解，使问题更加简单化。例1.3.8 求函数解:令 取最大值 1.4 求极值思想方法总结. (1)求解函数极值的问题，由以上的例题求解一元函数，二元函数,以及多元函数极值的解答方法来看，求取极值的方法很多，但一般极值问题能用多种方法求解，具体极值问题得看具体情况，可以根据自己对方法掌握的程度来选择，由于求解极值的方法很多，我这里只是其中一部分，大多数的思想一致，少数思想比较特别。通过前面的应用实例，不难看出求一元函数，二元函数，以及多元函数极值的思想和方法 2 函数最值2.1 最值概述.提到函数，就不难会想到函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性、连续性、可导性等等，下面就对此进行简单说说2.1.1 函数最值的定义一般地，若一元函数在闭区间上上连续，则函数在该区间上必取得最大值和最小值，函数的最大(小)值及函数的极值是有区别的，前者是指整个区间所有函数值中的最大(小)值，因此最大(小)值是全局概念。但如果函数的最大(小)值在区间()取得，那么函数的最大(小)值也是极大(小)值。一般地，对二元函数的最值问题定义而言，及一元函数类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最值。若函数在有界闭区域D上连续，则在D上必取得最值，且函数最大值点和最小值点比在函数的极值点或边界点上。因此只需求出在这个驻点或不可导点的函数值及在边界点上的最值。推广到多元函数也是如此，其核心思想不变！但定义过程比较麻烦，求解更是如此。2.1.2 初等函数及性质 2.1.2.1 有界性函数的值域有上界称为函数的上界，有下界称为函数下界，函数值域有界称为函数有界定义：设是定义在上的函数，是的子集，如果存在数，使得对于中的任意，则称在上有界 2.1.2.2 单调性如图，当由小到大的变化时，函数值增加，而由大到小时，函数减小Oy图定义：设是定义在上的函数，是的子集，如果对于中任意两点，当时，则称在上单调增，相反，单调减 2.1.2.3 奇偶性为奇函数，其图像关于原点对称为偶函数，其图像关于轴对称 2.1.2.4 周期性在上，为周期函数，则k为的一个周期，显然周期并不唯一 2.1.2.5 可导及连续若函数在点可导，则在点连续由此，可据函数的可导求极值点，进而讨论函数最值2.1.3 6种基本初等函数 2.1.3.1 常数函数定义域为，图像平行于x轴 2.1.3.2 幂函数 2.1.3.3 指数函数，（）奇图像如图2图2图3 2.1.3.4 对数函数，（）图像如图3 2.1.3.5 三角函数余弦函数正弦函数余切函数正切函数 2.1.3.6 反三角函数反余弦函数反正弦函数1 反余切函数反正切函数 2.2 函数最值求法函数最值求法，其方法多种多样，下面我们列举出如下8中并结合例题来说明其数学思想2.2.1 复数法用复数方法求解函数的最值问题，就是运用复数的模以及绝对值的性质来求解，关键是构造复数。例2.2.1 。解:，等号当且仅当2.2.2配方法用配方法求解最值问题，可以将整个函数的最值问题转化为局部函数的最值问题来求解，使问题更加简单化。例2.2.2 解:即为所求。 2.2.3 判别式法用判别式法，可以将函数的最值问题化为一元二次函数的问题，进而化为判断一元二次函数判别式的问题，关键是二次项系数不为零。例2.2.3 求函数解:由原函数可得关于x的一个二次方程。 2.2.4导数法用导数法是在，极值点，不可导点，端点中，通过对函数值的比较而得最值点，若函数在某区间只有极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值。若函数在整个区间都不连续的，就把它分为多连续的个区间，分别求出每个区间的极值，最后在求出最值。例2.2.4 求函数解:.值是-8.2.2.5 函数的单调性法当自变量的取值范围为一区间时，常用单调性法来求函数的最值，若函数在该区间上是单调性的，那么函数在区间端点取得最值，若函数在该区间不是单调的，把该区间分成各个小区间，使得函数函数在每个区间上是单调的，在求出各个区间上的最值，在比较，最后求得整个区间上的最值。例2.2.5 求函数。解:由题意得定义域 又。2.2.6换元法用换元法求函数的最值，就是根据函数表达式的特点，把某一部分看作一个整体或用新元来代替，达到问题化难为易，化陌生为熟悉，从而使原问题得到解答。换元法通有三角代换和代数代换两种。例2.2.6 正数,满足解:时上式取等号，故。2.2.7 消元法 消元法是指通过消去变量(未知数)从而达到解题的目的。该方法是求多元函数最值最基本的方法。例2.2.7.已知解:条件又而。2.3.8 柯西不等式法 柯西不等式:设时取得。例2.2.8 解:由柯西不等式可得，由。 2. 求函数最值思想方法总结 求解函数的最值问题，涉及到函数、不等式、线性规划、解析几何、向量等诸多数学重点知识，更体现了函数思想、化归转化思想、数形结合思想和分类讨论思想等若干核心数学思想的应用。掌握一元函数问题最值的求解，是求其它多元函数最值的关键。 求解二元函数最值，核心思想是化二元为一元将复杂问题化归为简单模型是数学解题的关键，也是本质。通过消元或换元，将一个二元问题简化为一元函数问题，依托于学生所熟识的一元函数达到求解二元函数最值的目的。应用实例中叙述的消元法和换元法都是这一思想的具体运用。 同时，求解多元函数最值问题时，联系题目中条件及最值问题所对应的几何意义利用数形结合的思想，将多元函数问题化归为二元函数和一元函数变换关系，通过观察图形的几何意义来解决问题，是此类问题其求解的又一宝。 此外，结合已知条件，利用重要不等式来解决问题是我们可以借助的又一重要工具。均值不等式法就体现了这一思想，求解函数最值问题的方法很多，这里我们只是研究了其中一些方法，通过多种求解最值方法我们得到一题可以用多种方法来求解，一种方法亦可以用于多种问题的思想。 学习心得我们组的论文题目是函数极值及最值研究，从第四周选题后，经过开题、检索文献、整理分析文献、拟定写作方案， 小组进行分工、讨论等。通过此次论文写作使我们充分认识了函数极值和最值以及掌握其求解方法，求解函数的极值和最值问题，涉及到函数、不等式、复数、柯西不等式、向量等诸多高中数学重点知识，更体现了函数思想、化归转化思想、数形结合思想和分类讨论思想等若干核心数学思想的应用，让我们感受到了数学的真正魅力，数学来源于生活，而又高于生活，生活中处处离不开数学，数学让我们明白只有理论及实际相结合才能真正实现它的价值，我们才能用它来创造价值，满足我们的需要。时光飞逝，我们大三的生活即将结束，课程也差不多结束了，在此学校为我们开了数学分析研究这门课，对此老师安排了这次论文写作，它不仅是对我大学几年对数学知识学习成果的检验和总结，更是对能力的一种提升。写作前，我们查阅了大量文献资料，进行整理分析，提取有用信息，对此我们真的学到好多新知识，提高了文献检索能力和分析问题能力;在写论文过程中，我们体会到了学习数学的乐趣，体现了团队合作的默契，虽然有些意想不到的问题出现，弄的我们很头疼，但通过大家的努力还是能解决，然而解决问题后看到大家的喜悦及成就感真的很棒，增强了我们学习的自信心，相信对以后的学习、工作、生活都将有着很深的影响，锻炼了逻辑思维能力，提高了动手能力，以及在中绘数学图形的操作能力，还有培养了我们发现问题、分析问题、解决问题的能力。当然我们也发现了自身存在的很多问题，比如知识的储备不够，发现自己还有许多东西需要学习，认识到学习是一个长期积累的过程，在以后的学习工作生活中，都要做好准备，随时学习，时刻注意自身素质和能力的全面提高;在论文的写作过程中感触最深的是注意细节的重要性，写论文时，常常会遇到一些细小问题，如：字体、字间距、符号等，这些细节问题常常导致我们的论文一遍又一遍的修改，浪费了很多时间，造成很多麻烦，这也使我们意识到细节的重要性，使我们在以后的生活工作中更加的注意细节，有时往往就是一些细节问题决定了成败。最后在写论文的过程中，得到了老师和同学们的帮助，在此，要感谢大家对我们的帮助和支持，谢谢! 致谢辞 这次论文在徐波老师的教导下完成的，X老师渊博的专业知识、严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严于律己、宽以待人的崇高风范，以及平易近人的人格魅力对我们影响深远。让我们树立了考研等学习目标、掌握了基本的研究方法，明白了许多为人处事的道理。在此，谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢！ 时光匆匆如流水，转眼间大学三年过去了，春梦秋云，聚散真容易。修读课程也随之进入了尾声。在此，在大三下学校开了数学分析研究这课，为了让我们更好的掌握知识，老师安排了本次论文写作，对于此次论文的顺利完成，一直离不开老师、同学们给我们热情的帮助，在这里请接受我们诚挚的谢意！这里我们要特别的对徐波老师表示衷心的感谢，谢谢你辛勤栽培，谢谢你在教学的同时还更多的是传授我们做人的道理，谢谢你孜孜不倦的教诲！ 通过本次论文写作，我们所收获的不仅仅是愈加丰厚的知识，更重要的是在阅读、实践中所培养的思维方式、表达能力和广阔视野。很庆幸我们遇到了如此的良师益友，让我们在一个充满温馨的环境中度过了这学期的大学生活。感恩之情难以用言语量度，谨以最朴实的话语致以最崇高的敬意。 这里还要感谢我们的父母，他们不仅培养了我们对科学文化的浓厚的兴趣，让我们在漫长的人生旅途中使心灵有了虔敬的归依，在未来的日子里，我们会更加努力的学习，不辜负父母对我们的殷殷期望！我们一定会好好孝敬他们，报答他们！ 最后再次感谢X老师，祝您每天拥有阳光般的笑容、健康的身体，您是创造奇迹的劳动者，是您哺育了我们，我们深深感谢您! 附录一 组员名单 附录二 开题报告题目:函数的极值和最值的研究一. 选题的目的和研究意义1 熟练掌握函数极值和最值求解方法和技巧。2 有助于对一元及多元函数条件极值和最值更进一步的研究。.二. 研究的方向1、对求解一元函数，二元函数，以及多元函数极值和最值问题方法的研究。2、极值问题的应用 主要探讨经济分生产和现实生活中，决策者有关最大化或最小化的方法，在多种可能中，做出选择。除此函数极值还在物理、化学、其他工程等有重要作用。三. 总体安排和进度计划第二周第三周:小组进行任务分工，查阅收集相关资料和相关内容写作安排。在小组成员的讨论下，拟定论文提纲和开题报告 ，第四周:提交开题报告 第五周第十二周:完成第一部分函数极值,按照进度安排，撰写论文初稿，并在第七周召集小组成员讨论。 第十二周第十四周:完成第二部分函数最值,1第十三周末召集小组讨论，并认真总结小组成员所写的内容及参考文献，完成内容综述和统一意见，由组长统稿。 第十五周:第三部分学习心得,第四部分致谢,把论文打印几份分发个成员审阅修改，进一步充实论文，并打印成稿。 第十六周:结束本次论文写作，准备交论文。参考文献1高孝忠.数学分析教程M.北京:中国科学文化出版社.20082闫晓红.王贵鹏.数学分析全程导学及习题全解M.北京:中国时代经济出版.2006.3钟玉泉.复变函数论M.北京:高等教育出版社.20044张奠宙.张广祥.中学代数研究M.北京:高等教出版社.20065普通高中课程标准实验教科书数学.选修2-2M.北京:人民教育出版.2003