【3年高考2年模拟】课标版文科数学一轮第一节 坐标系.pptx
文数 课标版,第一节坐标系,1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换:的作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称为平面直角 坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.,教材研读,2.极坐标系与极坐标,(1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条 射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位、一个 角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样 就建立了一个极坐标系.,(2)极坐标 (i)极径:设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的 极径,记为. (ii)极角:以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为. (iii)极坐标:有序数对(,)叫做点M的极坐标,记为M(,).,3.极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(,),则它们之间的关系为,1.曲线y=sin x经过变换后得到曲线C,则曲线C的周期T和ymax分 别为() A.T=,ymax=3B.T=4,ymax=3 C.T=,ymax=D.T=4,ymax= 答案A由得 将其代入y=sin x得y=sin 2x, 即y=3sin 2x. 即曲线C的解析式为y=3sin 2x,故T=,ymax=3,故选A.,2.椭圆C:x2+9y2=9经过变换后变成圆x2+y2=1.则变换为() A.B. C.D. 答案B设变换: 则 将其代入x2+9y2=9得+9=9,即x2+y2=1. 由题意得 故选B.,3.在极坐标系中,A,B两点间的距离为() A.2B.3C.6D.3 答案C解法一:(数形结合)在极坐标系中,A,B两点如图所示,|AB|=|OA|+|OB|=6. 解法二:A,B的直角坐标为A,即A(1,- ),B,即B(-2,2). |AB|=6.故选C.,4.在极坐标系中,圆心为(,)且过极点的圆的方程为. 答案=-2cos 解析如图,O为极点,C为圆心,OB为直径,设A(,), 则ABO=-90,OB=2=, 化简得=-2cos .,5.(2015北京,11,5分)在极坐标系中,点到直线(cos +sin )=6的 距离为. 答案1 解析由极坐标与直角坐标的互化公式可得,点对应的直角坐标 为(1,),直线(cos +sin )=6对应的直角坐标方程为x+y=6,由点 到直线的距离公式可得,所求距离为=1.,考点一平面直角坐标系中的伸缩变换 典例1在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C1:x2+ y2=36变为曲线C2. (1)求C2的方程; (2)P、Q分别为C1与C2上的点,求|PQ|的最小值与最大值. 解析(1)设圆x2+y2=36上任一点为A(x,y),伸缩变换后对应的点的坐标为A(x,y), 则 4x2+9y2=36,考点突破,即+=1. 曲线C2的方程为+=1. (2)C1是以O为圆心,半径r=6的圆,C2是以O为中心,长半轴长a=3,短半轴长b=2的椭圆(如图). |PQ|min=r-a=6-3=3. |PQ|max=r+a=6+3=9.,方法技巧 平面上的曲线y=f(x)在变换:的作用下的变换方程的求法 是将代入y=f(x),将=f整理之后得到y=h(x),即为所求变换 之后的方程.,1-1在同一平面直角坐标系中,将直线x-2y=2变成直线2x-y=4,则满足图象变换的伸缩变换为() A.B. C.D. 答案D设伸缩变换为 又2x-y=4,所以2x-y=4, 即x-y=2, 又x-2y=2,故=1,=4,所以伸缩变换为,1-2双曲线C:x2-=1经过:变换后所得曲线C的焦点坐标为 . 答案(-5,0),(5,0) 解析设曲线C上任意一点为P(x,y),由题意可知,将代入x2- =1,得-=1,化简得-=1,即-=1为曲线C的方程,其焦点 坐标为(-5,0),(5,0).,考点二极坐标方程与直角坐标方程的互化 典例2(2015课标,23,10分)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1,C2的极坐标方程; (2)若直线C3的极坐标方程为=(R),设C2与C3的交点为M,N,求 C2MN的面积.,解析(1)因为x=cos ,y=sin ,所以C1的极坐标方程为cos =-2,C2的极坐标方程为2-2cos -4sin +4=0.,(2)解法一:将=代入2-2cos -4sin +4=0,得2-3+4=0,解得1= 2,2=,故1-2=,即|MN|=. 由于C2的半径为1,所以C2MN的面积为. 解法二:直线C3的直角坐标方程为x-y=0, 圆C2的圆心C2(1,2)到直线C3的距离d=, 圆C2的半径为1,所以|MN|=2=, 所以C2MN的面积为=.,方法技巧 极坐标方程与直角坐标方程的互化技巧 (1)巧用极坐标方程两边同乘或同时平方的技巧,将极坐标方程构造成含有cos ,sin ,2的形式,然后利用互化公式进行转化,最后化简得到直角坐标方程. (2)巧借两角和差公式,将sin()=k或cos()=k或=ksin()或=kcos()形式的极坐标方程进行转化,进而利用互化公式得到直角坐标方程. (3)将直角坐标方程中的x换成cos ,y换成sin ,即可得到其极坐标方程.,2-1在极坐标系中,已知圆O:=cos +sin 和直线l:sin=. (1)求圆O和直线l的直角坐标方程; (2)当(0,)时,求直线l与圆O的公共点的极坐标. 解析(1)由=cos +sin 可得2=cos +sin , 把代入2=cos +sin 得, 圆O的直角坐标方程为x2+y2-x-y=0. 由l:sin=,得sin -cos =1, 因为所以直线l的直角坐标方程为x-y+1=0.,(2)由解得 进而由解得 因为(0,),所以=,故公共点的极坐标为.,考点三极坐标方程及应用 典例3(2016课标全国,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极 轴的极坐标系中,曲线C2:=4cos . (1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程; (2)直线C3的极坐标方程为=0,其中0满足tan 0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a. 解析(1)消去参数t得到C1的普通方程:x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.,将x=cos ,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为2- 2sin +1-a2=0. (2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组 若0,由方程组得16cos2-8sin cos +1-a2=0, 由已知tan =2,可得16cos2-8sin cos =0,从而1-a2=0, 解得a=-1(舍去)或a=1. a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上.所以a=1.,方法技巧 求曲线的极坐标方程的步骤:(1)建立适当的极坐标系,设P(,)是曲线上 任意一点;(2)由曲线上的点所适合的条件,列出点P的极径和极角之间的关系式;(3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程.,3-2(2016福建福州五校第二次联考)已知曲线C的极坐标方程为2- 2cos-2=0.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半 轴,建立平面直角坐标系xOy. (1)若直线l过原点,且被曲线C截得的弦长最短,求直线l的直角坐标方程; (2)若M是曲线C上的动点,且点M的直角坐标为(x,y),求x+y的最大值.,解析(1)2-2cos-2=0,即2-2cos +2sin -2=0, 将代入并整理得曲线C的直角坐标方程为(x-1)2+(y+1)2=4, 其中圆心C(1,-1),则kOC=-1.若直线l被曲线C截得的弦长最短,则直线l与OC垂直, 即klkOC=-1,因而kl=1,故直线l的直角坐标方程为y=x. (2)根据M是曲线C上的动点可设(为参数),则x+y=2sin + 2cos =2sin,当sin=1时,x+y取得最大值2.,
