【人教A版】高考数学一轮课件：第1章-预备知识 第3节 第1课时 等式与不等式的性质.pptx
第3节相等关系与不等关系 第1课时等式与不等式的性质,考试要求梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质.,知 识 梳 理,1.两个实数比较大小的方法,2.等式的性质,(1)对称性：若ab，则ba. (2)传递性：若ab，bc，则ac. (3)可加性：若ab，则acbc. (4)可乘性：若ab，则acbc；若ab，cd，则acbd.,3.不等式的性质,微点提醒,1.在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变. 2.有关分数的性质,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),解析(1)由不等式的性质，ac2bc2ab；反之，c0时，ab ac2bc2.,(2)由等式的性质，abacbc；反之，c0时，acbc ab.,答案(1)(2)(3)(4),2.(必修5P74例1改编)若ab0，cd0，则一定有(),答案B,答案,4.(2018衡阳联考)若a，b，c为实数，且a<b<0，则下列命题正确的是(),答案D,5.(2017北京卷改编)能够说明“设a，b，c是任意实数，若abc，则abc”说法不正确的一组整数a，b，c的值依次为_. 解析因为abc，所以ac，bc，则ab2c.所以abc不一定正确.因为2c与c的大小关系不确定，当c0时，2cc；当c0时，2cc；当c<0时，2c<c.不妨令a1，b2，c3，则abc. 答案1，2，3(答案不唯一),答案(，0),考点一比较两个数(式)的大小,【例1】 (1)已知实数a，b，c满足bc64a3a2，cb44aa2，则a，b，c的大小关系是() A.cba B.acb C.cba D.acb (2)已知a1，a2(0，1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是() A.MN C.MN D.不确定,解析(1)cb44aa2(a2)20，cb. 又bc64a3a2，2b22a2，ba21，,ba，cba.,(2)MNa1a2(a1a21)a1a2a1a21a1(a21)(a21)(a11)(a21)， 又因为a1(0，1)，a2(0，1)，所以a110，即MN0，所以MN.,由f(x)0，得0e. f(x)在(0，e)为增函数，在(e，)为减函数. f(3)f(4)f(5)，即abc. 答案(1)A(2)B(3)B,规律方法1.作差法一般步骤： (1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差. 2.作商法一般步骤： (1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论. 3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系. 4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小.,【训练1】 (1)若a，b为正数，且ab，则a3b3_a2bab2(用符号、<、填空).,解析(1)(a3b3)(a2bab2)a3b3a2bab2 a2(ab)b2(ab)(ab)(a2b2) (ab)2(ab)， a0，b0且ab， (ab)20，ab0， (a3b3)(a2bab2)0， 即a3b3a2bab2.,(2)0<a<b且ab1，,(a2b2)b(1b)2b2b2b23b1(2b1)(b1)<0.,考点二不等式的性质 【例2】 (1)已知a，b，c满足cac B.c(ba)0,解析(1)由c0. 由bc，得abac一定成立.,显然|a|b1210，所以错误； 因为ln a2ln(1)20，ln b2ln(2)2ln 40，所以错误. 综上所述，可排除A，B，D.,中，因为ba0，所以ba0.故b|a|，即|a|b0，故错误；,中，因为ba0，根据yx2在(，0)上为减函数，可得b2a20，而yln x在定义域(0，)上为增函数，所以ln b2ln a2，故错误.由以上分析，知正确. 答案(1)A(2)C,规律方法解决此类题目常用的三种方法： (1)直接利用不等式的性质逐个验证； (2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件； (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.,【训练2】 (1)(2019东北三省四市模拟)设a，b均为实数，则“a|b|”是“a3b3”的(),解析(1)a|b|能推出ab，进而得a3b3；当a3b3时，有ab，但若b|b|不成立，所以“a|b|”是“a3b3”的充分不必要条件.,构造函数yxc， cb1，acb1，cbc1， logb(ac)loga(ac)loga(bc)，正确. 答案(1)A(2)D,考点三不等式及其性质的应用多维探究 角度1不等式在实际问题中的应用,【例31】 (2017北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： (1)男学生人数多于女学生人数； (2)女学生人数多于教师人数； (3)教师人数的两倍多于男学生人数. 若教师人数为4，则女学生人数的最大值为_. 该小组人数的最小值为_.,解析令男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，且2zxyz，若教师人数为4，则4<y<x<8，当x7时，y取得最大值6.当z1时，1z<y<x<2，不满足条件；当z2时，2z<y<x<4，不满足条件；当z3时，3z<y<x<6，y4，x5，满足条件.所以该小组人数的最小值为34512. 答案612,角度2利用不等式的性质求代数式的取值范围典例迁移,【例32】 (经典母题)已知1<x<4，2<y<3，则xy的取值范围是_，3x2y的取值范围是_.,解析因为1<x<4，2<y<3，所以3<y<2，所以4<xy<2.由1<x<4，2<y<3，得3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x2y<18. 答案(4，2)(1，18),【迁移探究1】 将本例条件改为“1<x<y<3”，求xy的取值范围.,解因为1<x<3，1<y<3， 所以3<y<1，4<xy<4. 又因为x<y，所以xy<0， 由得4<xy<0， 故xy的取值范围是(4，0).,【迁移探究2】 将本例条件改为“已知1<xy<4，2<xy<3”，求3x2y的取值范围.,解设3x2y(xy)(xy)，即3x2y()x()y，,1<xy<4，2<xy<3，,规律方法1.解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型. 2.利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.,【训练3】 (1)已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：,思维升华 1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差变形判断正负. 2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.,易错防范 1.运用不等式的性质解决问题时，注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想，比如减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法等.但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围. 2.形如例32探究2题型的解决途径：先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过“一次性”不等关系的运算求解范围.,
