高考理科数学一轮复习：第5章（2）平面向量的数量积及应用ppt课件（含答案）.pptx

第二讲 平面向量的数量积及应用,【高考帮理科数学】第五章：平面向量,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,考纲要求,命题规律,命题分析预测,考点1 平面向量的数量积,考点2 数量积的性质和运算律,考点3 平面向量数量积的坐标表示,考点4 平面向量应用举例,考法1 平面向量的数量积运算,考法2 平面向量的夹角、模长的计算,考法3 平面向量在平面(解析)几何中的应用,考法4 向量在物理中的应用,考法5 向量的综合应用,B考法帮题型全突破,考情精解读,考纲要求 命题规律 命题分析预测,1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.,考纲要求,命题规律,1.分析预测本讲在高考中主要考查向量的数量积运算,利用数量积解决模长、夹角问题,平行和垂直问题,有时也会与三角函数、平面几何、解析几何进行交汇命题,主要以小题的形式出现,分值5分,难度不大. 2.学科素养本讲主要考查考生的数学运算能力和对数形结合思想的应用.,命题分析预测,A考点帮知识全通关,考点1 平面向量的数量积 考点2 数量积的性质和运算律 考点3 平面向量数量积的坐标表示 考点4 平面向量应用举例,1.向量的夹角 (1)定义:已知两个非零向量a和b,如图所示,作 =a, =b,则AOB=(0180)叫作向量a与b的夹角,记作. (2)范围:夹角的范围是0,180. 当=0时,两向量a,b共线且同向; 当=90时,两向量a,b相互垂直,记作ab; 当=180时,两向量a,b共线但反向.,考点1 平面向量的数量积（重点）,注意 (1)向量的夹角与直线的夹角的范围是不同的,分别是0,180与0,90. (2)只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角,如图所示,BAC不是 与 的夹角,BAD才是 与 的夹角.,理科数学 第五章：平面向量,2.平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,则数量|a|b|cos 叫作a与b的数量积,记作ab,即ab=|a|b|cos . 规定:零向量与任一向量的数量积为零. 3.平面向量数量积的几何意义 (1)一个向量在另一个向量方向上的投影 设是a,b的夹角,则|b|cos 叫作向量b在向量a的方向上的投影,|a|cos 叫作向量a在向量b的方向上的投影. (2)ab的几何意义 数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积.,理科数学 第五章：平面向量,注意 投影和两向量的数量积都是数量,不是向量. 易错提醒 设两个非零向量a与b的夹角为,则 (1)为锐角ab0且向量a,b不共线; (2)为钝角ab0时,cos 0,则是锐角或=0(此时cos =1); (4)当ab<0时,cos <0,则是钝角或=180(此时cos =-1).,理科数学 第五章：平面向量,1.向量数量积的性质 设a,b为非零向量,它们的夹角为,则 (1)设e是单位向量,且e与a的夹角为,则ea=ae=|a|cos ; (2)abab=0; (3)当a与b同向时,ab=|a|b|;当a,b反向时,ab=-|a|b|. 特别地,aa=a2=|a|2或|a|= ; (4)|ab|a|b|,当且仅当a与b共线,即ab时等号成立; (5)cos = | .,考点2 数量积的性质和运算律（重点）,2.向量数量积的运算律 (1)交换律:ab=ba; (2)数乘结合律:(a)b=(ab)=a(b); (3)分配律:(a+b)c=ac+bc.,理科数学 第五章：平面向量,辨析比较 实数运算与向量数量积运算的区别和联系 1.在实数运算中,若ab=0,则a=0或b=0,但由ab=0不能得出a=0或b=0成立.实际上由ab=0可推出以下四种结论: (1)a=0,b=0;(2)a=0,b0;(3)a0,b=0;(4)a0,b0,但ab. 2.在实数运算中,若a,bR,则|ab|=|a|b|,但对于向量a,b,却有|ab|a|b|,当且仅当ab时等号成立. 3.实数运算满足消去律:若ab=ca,a0,则b=c.而在向量数量积的运算中,若ab=ac(a0),不能推出b=c.即向量的数量积运算不满足消去律. 4.向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(ab)c不一定等于a(bc),这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量,a(bc)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线.,理科数学 第五章：平面向量,已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),为向量a,b的夹角,则 (1)ab=|a|b|cos =x1x2+y1y2. (2)|a|= = 2 + 2 . (3)cos = | = 1 2 + 1 2 1 2 + 1 2 2 2 + 2 2 . (4)abab=0 x1x2+y1y2=0. (5)aba=b(R)x1y2-x2y1=0. 注意 向量平行与垂直的坐标表示公式不要记混.,考点3 平面向量数量积的坐标表示（重点）,1.向量在平面几何中的应用 基于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如全等、相似、平行、垂直等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来. 2.平面向量在物理中的应用 (1)由于物理中的力、速度、位移都是向量,所以它们的分解与合成可以用向量的加法或减法来解决. (2)物理中的功W是一个标量,它是力F与位移s的数量积,即W=Fs=|F|s|cos .,考点4 平面向量应用举例,B考法帮题型全突破,考法1 平面向量的数量积运算 考法2 平面向量的夹角、模长的计算 考法3 平面向量在平面(解析)几何中的应用 考法4 向量在物理中的应用 考法5 向量的综合应用,理科数学 第五章：平面向量,考法1 平面向量的数量积运算,考法指导 1.求平面向量数量积 求向量a,b的数量积ab的三种方法: (1)若两向量共起点,则两向量的夹角直接可得,根据定义即可求得数量积;若两向量的起点不同,则需要通过平移使它们的起点重合,再计算. (2)根据图形之间的关系,用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a,b,然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解. (3)若图形适合建立平面直角坐标系,可建立坐标系,求出a,b的坐标,通过坐标运算求解.,2.求向量a在向量b方向上的投影的方法 (1)根据定义求解,即a在b方向上的投影为|a|cos; (2)利用数量积求解,即a在b方向上的投影为 | . 3.根据数量积求参数的值 若已知两平面向量的数量积,则根据坐标公式或定义列出含有参数的方程,再解方程即可.,理科数学 第五章：平面向量,示例1 如图,在梯形ABCD中,ABCD,CD=2,BAD= 4 ,若 =2 ,则 =. 思路分析 本题可从已知的向量等式出发,结合图形活用向量的加、减法运算及其几何意义求解;亦可通过建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算求解.,理科数学 第五章：平面向量,解析 解法一(利用向量的加、减法运算和数量积定义求解) 因为 =2 ,所以 - = ,所以 = . 因为ABCD,CD=2,BAD= 4 ,所以2| |=| | |cos 4 ,化简得| |=2 2 (利用ab=|a|b|cos ) 故 = ( + )= | | 2 + = (2 2 ) 2 +2 2 2cos 4 =12.,理科数学 第五章：平面向量,解法二 (利用向量的坐标运算求解)如图,建立平面直角坐标系xAy. 依题意,可设点D(m,m),C(m+2,m),B(n,0),其中m0,n0, 则由 =2 ,得(n,0)(m+2,m)=2(n,0)(m,m),所以n(m+2)=2nm,化简得m=2. 故 =(m,m)(m+2,m)=2m2+2m=12. 突破攻略 1.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补. 2.两向量a,b的数量积ab与代数中a,b的乘积写法不同,不应该漏掉其中的“”.,理科数学 第五章：平面向量,拓展变式1 (1)已知菱形ABCD的边长为6,ABD=30,点E,F分别在边BC,DC上,BC=2BE,CD=CF.若 =-9,则的值为 A.2B.3C.4D.5 (2)已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量 在 方向上的投影是 A.-3 5 B.- 3 2 2 C.3 5 D. 3 2 2 答案 (1)B (2)A,理科数学 第五章：平面向量,解析 (1)依题意得 = + = 1 2 - , = + 1 ,因此 =( 1 2 - )( + 1 )= 1 2 2 - 1 2 +( 1 2 -1) ,于是有( 1 2 - 1 )62+( 1 2 -1)62 cos 60=-9,由此解得=3,故选B. (2)依题意得, =(-2,-1), =(5,5), =-15,| |= 5 ,因此向量 在 方向上的投影是 | | = 15 5 =-3 5 ,故选A.,理科数学 第五章：平面向量,考法2 平面向量的夹角、模长的计算,考法指导 1.求向量模长的方法 利用数量积求模是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理方法: (1)a2=aa=|a|2或|a|= ; (2)|ab|= ( ) 2 = 2 2+ 2 ; (3)若a=(x,y),则|a|= 2 + 2 .,2.求向量模的最值(范围)的方法 (1)代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解; (2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解; (3)利用绝对值三角不等式|a|-|b|ab|a|+|b|求模的取值范围. 3.求向量夹角问题的方法 (1)定义法:当a,b是非坐标形式,求a与b的夹角时,需求出ab及|a|,|b|或得出它们之间的关系,由cos = | 求得; (2)坐标法:若已知a=(x1,y1)与b=(x2,y2),则cos= 1 2 + 1 2 1 2 + 1 2 2 2 + 2 2 ,0,.,理科数学 第五章：平面向量,示例2 (1)设向量a,b满足|a|=2,|b|=|a+b|=3,则|a+2b|=. (2)已知向量a=(cos ,sin ),b=(- 3 ,1),则|2a-b|的最大值为. 解析 (1)因为|a|=2,|b|=|a+b|=3, 所以(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=4+9+2ab=9,所以ab=-2,所以|a+2b|= (+2 ) 2 = | | 2 +4+4| | 2 = 48+36 =4 2 .,理科数学 第五章：平面向量,(2)解法一(代数法)由题意得|a|=1,|b|=2,ab=sin - 3 cos =2sin(- 3 ),所以|2a-b|2=4|a|2+|b|2-4ab=412+22-8sin(- 3 )=8-8sin(- 3 ), 所以|2a-b|2的最大值为8-8(-1)=16,故|2a-b|的最大值为4(此时=2k- 6 ,kZ). 解法二(代数法)因为a=(cos ,sin ),b=(- 3 ,1),所以2a-b=(2cos + 3 ,2sin -1), 所以|2a-b|= (2cos+ 3 ) 2 + (2sin1) 2 = 84(sin 3 cos) = 88sin( 3 ) . 故|2a-b|的最大值为 88(1) =4(此时=2k- 6 ,kZ).,理科数学 第五章：平面向量,解法三(几何法)设向量a,b的起点均为坐标原点,则向量2a与b的终点均在以坐标原点为圆心、2为半径的圆上,易知|2a-b|的最大值就是圆的直径4(此时向量a,b方向相反). 解法四(绝对值三角不等式)由题意得|2a-b|2|a|+|b|=21+2=4,当且仅当向量a,b方向相反时不等式取等号,故|2a-b|的最大值为4. 突破攻略 在求解与向量的模有关的问题时,往往会涉及“平方”技巧,注意对结论 (ab)2=|a|2+|b|22ab,(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2(ab+bc+ac)的灵活运用. 另外,向量作为工具性的知识,具备代数和几何两种特征,求解此类问题时可以使用数形结合的思想,从而加快解题速度.,理科数学 第五章：平面向量,示例3 已知正方形ABCD,点E在边BC上,且满足2 = ,设向量 , 的夹角为,则cos =. 思路分析 易知ABAD,故可将向量 , 作为一组基底,利用向量的线性运算求解;也可建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算求解.,理科数学 第五章：平面向量,解析 解法一 (定义法)因为2 = , 所以E为BC中点.设正方形的边长为2,则| |= 5 ,| |=2 2 , =( + 1 2 )( - )= 1 2 | |2-| |2+ 1 2 = 1 2 22-22=-2, (根据向量的几何意义变形) 所以cos = | | | = 2 5 2 2 =- 10 10 .,理科数学 第五章：平面向量,解法二(坐标法)因为2 = , 所以E为BC中点. 设正方形的边长为2,建立如图所示的平面直角坐标系xAy,则点A(0,0),B(2,0),D(0,2),E(2,1), 所以 =(2,1), =(-2,2),所以 =2(-2)+12=-2, (利用数量积公式ab=x1x2+y1y2求解) 故cos = | | | = 2 5 2 2 =- 10 10 .,理科数学 第五章：平面向量,突破攻略 求解两个非零向量的夹角的步骤: 由定义或坐标运算计算出这两个非零向量的数量积; 分别求出这两个向量的模; 根据公式cos = | 求解出这两个向量的夹角的余弦值; 求出夹角,注意夹角范围为0,.,理科数学 第五章：平面向量,考法3 平面向量在平面(解析)几何中的应用,考法指导 用向量法解决平面(解析)几何问题的两种方法: (1)几何法:选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算; (2)坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 一般地,存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法.,示例4 2017全国卷，12,5分理在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若 = + ,则+的最大值为 A.3B.2 2 C. 5 D.2 思路分析 根据已知画出图形,通过建立坐标系,运用坐标法求解.,理科数学 第五章：平面向量,解析 以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2),可得直线BD的方程为2x+y-2=0,点C到直线BD的距离为 2 1 2 + 2 2 = 2 5 , 圆C:(x-1)2+(y-2)2= 4 5 , 因为点P在圆C上, 所以P(1+ 2 5 5 cos ,2+ 2 5 5 sin ), =(1,0), =(0,2), = + =(,2),理科数学 第五章：平面向量,所以 1+ 2 5 5 cos=, 2+ 2 5 5 sin=2, +=2+ 2 5 5 cos + 5 5 sin =2+sin(+)3,其中满足tan =2. 答案 A,理科数学 第五章：平面向量,拓展变式2 在ABC中,已知 =(2,3), =(1,k),且ABC的一个内角为直角,则实数k的值为. 答案 - 2 3 或 11 3 或 3 13 2,理科数学 第五章：平面向量,解析 若A=90,则有 =0,即2+3k=0,解得k=- 2 3 . 若B=90,则有 =0,因为 = - =(-1,k-3),所以-2+3(k-3)=0,解得k= 11 3 . 若C=90,则有 =0,即-1+k(k-3)=0,解得k= 3 13 2 . 综上所述,得k=- 2 3 或 11 3 或 3 13 2 .,理科数学 第五章：平面向量,考法4 向量在物理中的应用,考法指导 平面向量的数形结合性让它在物理学中具有广泛的应用,主要体现在以下几个方面: (1)力、速度、加速度、位移等都是向量,它们的合成与分解就是向量的加、减法,运动的叠加亦用到向量的合成; (2)动量mv是数乘向量; (3)功是力F与所产生位移s的数量积.,示例5 质量为m的物体静止地放在斜面上,斜面与水平面的夹角为,求斜面对物体的摩擦力和支持力的大小. 思路分析 物体共受三个力,在三个力作用下保持平衡,即它们的合力为0,然后利用物理知识和向量的运算求解.,理科数学 第五章：平面向量,解析 如图所示,物体受三个力:重力G(竖直向下,大小为mg),斜面对物体的支持力F(垂直于斜面,向上,大小为|F|),摩擦力f(与斜面平行,向上,大小为|f|). 由于物体静止,故这三个力平衡,合力为0,即G+F+f=0. 记垂直于斜面向下、大小为1 N的力为e1,平行于斜面向下、大小为1 N的力为e2,以e1,e2为基底,则F=(-|F|,0), f=(0,-|f|),理科数学 第五章：平面向量,由图知e1与G的夹角为,则G=(mgcos ,mgsin ). 由,得G+F+f=(mgcos -|F|,mgsin -|f|)=(0,0),所以mgcos -|F|=0,mgsin -|f|=0. 故|F|=mgcos ,|f|=mgsin . 点评 当三个力成平衡状态时,这三个力之和等于零向量,其中两个向量的和与第三个向量是相反向量,这样就可以把三个力的向量表示纳入到一个平行四边形或者三角形中,通过运用平行四边形或三角形的知识解决问题.,理科数学 第五章：平面向量,考法5 向量的综合应用,考法指导 平面向量常与几何问题、三角函数、解三角形等问题综合起来考查,解题关键是把向量关系转化为向量的有关运算,进一步转化为实数运算,进而利用相关知识求解.,示例6 已知函数f(x)=2cos2x+2 3 sin xcos x(xR). (1)当x0, 2 时,求函数f(x)的单调递增区间; (2)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=3,f(C)=2,若向量m=(1,sin A)与向量n=(2,sin B)共线,求a,b的值. 思路分析 (1)利用二倍角公式与辅助角公式,化简函数f(x),再利用正弦函数的单调性,求函数f(x)的单调递增区间.(2)利用f(C)=2,求出角C的值,由向量m与向量n共线,得sin A与sin B的关系式,利用正弦定理,转化为边a,b的方程,再利用余弦定理,得边a,b的方程,从而可求出a,b的值.,理科数学 第五章：平面向量,解析 (1)f(x)=2cos2x+ 3 sin 2x=cos 2x+ 3 sin 2x+1=2sin(2x+ 6 )+1, 令- 2 +2k2x+ 6 2 +2k,kZ, 解得k- 3 xk+ 6 ,kZ,因为x0, 2 ,所以f(x)的单调递增区间为0, 6 . (2)由f(C)=2sin(2C+ 6 )+1=2,得sin(2C+ 6 )= 1 2 , 而C(0,),所以2C+ 6 ( 6 , 13 6 ),所以2C+ 6 = 5 6 ,解得C= 3 . 因为向量m=(1,sin A)与向量n=(2,sin B)共线,所以 sin sin = 1 2 .由正弦定理得 = 1 2 , 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos 3 ,即a2+b2-ab=9. 联立,解得a= 3 ,b=2 3 .,理科数学 第五章：平面向量,拓展变式3 如图,已知A,B是椭圆 2 4 +y2=1的右顶点和上顶点,由椭圆弧 2 4 +y2=1(x0,y0)及线段AB构成的区域为,P是区域内任意一点(包括边界).设 = + ,则动点M(,)所构成的区域的面积是.,理科数学 第五章：平面向量,答案 4 - 1 2 解析 易知点A(2,0),B(0,1),所以直线AB的方程为 2 +y=1,即 2y=2-x. 设点P(x,y),由题意及题图可得 2 4 + 2 1, 22. 由 = + ,得(x,y)=(2,0)+(0,1),即 =2, =,理科数学 第五章：平面向量,所以 (2) 2 4 + 2 1, 222, 化简得 2 + 2 1, 1. 显然该不等式组表示的平面区域(如图中的阴影部分)即为动点M(,)所构成的区域. 故区域的面积是 1 4 12- 1 2 11= 4 - 1 2 .,理科数学 第五章：平面向量,