高考理科数学一轮复习：第8章（1）空间几何体的三视图、表面积和体积ppt课件（含答案）.pptx
第一讲空间几何体的三视图、表面积和体积,【高考帮理科数学】第八章：立体几何,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,考纲解读,命题规律,命题分析预测,考点1空间几何体的结构特征 考点2空间几何体的三视图与直观图 考点3柱体、锥体、台体、球的表面积 考点4柱体、锥体、台体、球的体积,考法1 空间几何体的三视图与直观图 考法2 求空间几何体的表面积 考法3 求空间几何体的体积 考法4 与球有关的切、接问题,B考法帮题型全突破,C方法帮素养大提升,易错三视图识图不准致误,理科数学 第八章：立体几何,考情精解读,考纲解读 命题规律 命题分析预测,理科数学 第八章：立体几何,1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二测法画出它们的直观图. 3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式. 4.会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求). 5.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.,考纲解读,命题规律,命题规律,1.分析预测从近五年的考查情况来看,空间几何体的三视图、表面积和体积一直是高考的重点和热点,主要考查以三视图为背景的几何体的表面积和体积,与球有关的切、接问题,一般以小题的形式出现,分值为5分,难度中等. 2.学科素养本讲主要考查考生的直观想象和数学运算能力以及转化与化归思想的应用.,命题分析预测,A考点帮知识全通关,考点1空间几何体的结构特征 考点2空间几何体的三视图与直观图 考点3柱体、锥体、台体、球的表面积 考点4柱体、锥体、台体、球的体积,理科数学 第八章：立体几何,考点1空间几何体的结构特征,1.多面体的图形与结构特征,注意 (1)围成多面体的各个面都是平的,没有曲面;(2)多面体是一个“封闭”的几何体.,理科数学 第八章：立体几何,规律总结 特殊的棱柱和棱锥 (1)侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱.反之,正棱柱的底面是正多边形,侧棱垂直于底面,侧面是矩形. (2)底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫作正棱锥.特别地,各棱均相等的正三棱锥叫正四面体.反过来,正棱锥的底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心. (3)特殊的四棱柱 四棱柱 平行六面体 直平行六面体 长方体 正四棱柱 正方体 上述四棱柱有以下集合关系:正方体正四棱柱长方体直平行六面体平行六面体四棱柱.,理科数学 第八章：立体几何,2.旋转体的图形与结构特征,理科数学 第八章：立体几何,理科数学 第八章：立体几何,说明 球的任何截面都是圆.球面被经过球心的平面截得的圆叫作大圆,大圆的半径等于球的半径;被不经过球心的平面截得的圆叫作小圆,小圆的半径小于球的半径.,规律总结,球的截面的性质 (1)球的截面是圆面; (2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面; (3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r= 2 2 .,理科数学 第八章：立体几何,考点2空间几何体的三视图与直观图（重点）,1.三视图的定义 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图. 三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.,注意 (1)画三视图时,能看见的线用实线表示,不能看见的线用虚线表示.(2)同一物体,若放置的位置不同,则所得的三视图可能不同.,2.三视图的长度特征 “长对正、宽相等、高平齐”,即正视图和俯视图长对正,侧视图和俯视图宽相等,正视图和侧视图高平齐. 3.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的注意点: (1)斜二测画法中的“三变”与“三不变” “三变” 坐标轴的夹角改变, 与轴平行的线段的长度变为原来的一半, 图形改变;,理科数学 第八章：立体几何,“三不变” 平行性不改变, 与,轴平行的线段的长度不改变, 相对位置不改变. (2)用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的 2 4 倍.,理科数学 第八章：立体几何,考点3柱体、锥体、台体、球的表面积（重点）,1.旋转体的表面积,2.多面体的表面积 多面体的表面积就是各个面的面积之和,也就是展开图的面积.,理科数学 第八章：立体几何,注意 (1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和,而表面积是侧面积与所有底面面积之和. (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理.,考点4柱体、锥体、台体、球的体积（重点）,注意 (1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法将几何体转化成已知体积公式的几何体进行解决. (2)求与三视图有关的体积问题注意几何体和数据还原的准确性.,理科数学 第八章：立体几何,B考法帮题型全突破,考法1 空间几何体的三视图与直观图 考法2 求空间几何体的表面积 考法3 求空间几何体的体积 考法4 与球有关的切、接问题,理科数学 第八章：立体几何,考法1 空间几何体的三视图与直观图,考法指导 三视图与直观图的常见题型及求解策略 (1)由直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,同时也要注意看到的轮廓线用实线表示,看不到的轮廓线用虚线表示. (2)由几何体的部分视图画出剩下的视图.先根据已知的部分三视图,推测、还原直观图的可能形式,然后找其剩下部分三视图的可能形式.做选择题时,也可以将选项代入,再看看给出的部分三视图是否符合. (3)由三视图还原几何体的形状.熟悉柱、锥、台、球的三视图,结合空间想象将三视图还原为直观图.,示例1 将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为 A B C D,理科数学 第八章：立体几何,思路分析 根据正视图和俯视图作出几何体的直观图,找出所截棱锥的位置,即可得出结论. 解析 由正视图、俯视图得原几何体的形状如图所示,则该几何体的侧(左)视图为B. 答案 B,理科数学 第八章：立体几何,示例2 某几何体的三视图如图所示,网格纸的小方格是边长为1的正方形,则该几何体中最长棱的棱长是 A. 5 B. 6 C. 7 D.3,理科数学 第八章：立体几何,思路分析 先根据三视图确定几何体的结构特征,然后把三视图的数据转化为几何体的几何度量,求出各条棱的长度,从而确定最长棱的棱长. 解析 由三视图可知该几何体为一个三棱锥D-ABC,如图,将其置于长方体中,该长方体的底面是边长为1的正方形,高为2. (利用长方体求解棱锥的棱长) 所以AB=1,AC= 2 ,BC= 3 ,CD= 2 ,DA=2,BD= 5 , 因此最长棱为BD,棱长是 5 . 答案 A,理科数学 第八章：立体几何,突破攻略 根据几何体的三视图判断几何体的结构特征: (1)三视图为三个三角形,一般对应三棱锥; (2)三视图为两个三角形,一个四边形,一般对应四棱锥; (3)三视图为两个三角形,一个圆,一般对应圆锥; (4)三视图为一个三角形,两个四边形,一般对应三棱柱; (5)三视图为两个四边形,一个圆,一般对应圆柱.,理科数学 第八章：立体几何,考法2 求空间几何体的表面积,考法指导 1.(1)规则几何体的表面积可利用有关公式求解;(2)求多面体的表面积时把各个面的面积相加即可;(3)求除球外的旋转体的表面积,可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手,确定它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系,进而求表面积. 2.求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体,先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差,求出几何体的表面积. 3.求以三视图为载体的表面积问题时,关键是先分析三视图,确定几何体中各元素之间的位置关系及数量,再利用上面的方法求表面积.,示例3 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积是 A. 7 2 B.4 C. 9 2 D.5,理科数学 第八章：立体几何,思路分析 由三视图确定该几何体的结构特征,确定其表面的构成,分别求出面积,最后求和. 解析 根据三视图可得该几何体由一个圆柱(下方)和一个 1 4 球(上方)组成,其中,圆柱的底面半径为1,高为1;球的半径为1. 故该几何体的表面由圆柱的下底面、圆柱的侧面、圆柱上底面的一半、 1 4 球的表面(去掉 1 4 球的下底面)组成,故该几何体的表面积等于圆柱的表面积与球的表面积的 1 4 的和.(确定几何体的表面构成),理科数学 第八章：立体几何,圆柱的表面积S1=212+211=4; 球的表面积S2=412=4. 所以该几何体的表面积S=S1+ 1 4 S2=4+=5. 答案 D,理科数学 第八章：立体几何,示例4 已知A,B是球O的球面上两点,AOB=90,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为 A.36 B.64 C.144 D.256 思路分析 根据体积最大值求出球半径,代入球的表面积公式即得.,理科数学 第八章：立体几何,解析 如图,设点C到平面OAB的距离为h,球O的半径为R,因为AOB=90,所以SOAB= 1 2 R2,要使VO-ABC= 1 3 SOABh最大,则OA,OB,OC应两两垂直,且 ( ) max = 1 3 1 2 R2R= 1 6 R3=36,此时R=6, 所以球O的表面积S=4R2=144. 答案 C,理科数学 第八章：立体几何,拓展变式1 (1)一个几何体的三视图如图1所示,则该几何体的表面积是 A.28 B.27 C.24 D.21 (2)如图2,棱长为2的正四面体ABCD的四个顶点在圆柱的上下底面上,其中AB,CD是底面圆的直径,则该圆柱的表面积为 A. B.2 C.2 2 D.2+2 2 ,图1,图2,理科数学 第八章：立体几何,答案 (1)C (2)D 解析 (1)根据三视图可知,该几何体是由棱长为2的正方体割去一个棱长为1的小正方体形成的,其表面积与原正方体的表面积相同,为622=24.故选C. (2)由题意知该圆柱的底面半径为1,高为 2 ,所以它的表面积为2+2 2 .故选D.,理科数学 第八章：立体几何,考法3 求空间几何体的体积,考法指导 1.求空间几何体的体积的常用方法 (1)公式法.对于规则几何体的体积问题,可以直接利用公式进行求解. (2)割补法.把不规则的图形分割成规则的图形,然后进行体积计算;或者把不规则的几何体补成规则的几何体,不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计算其体积. (3)等体积法.等体积法也称等积转化或等积变形,它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,多用来解决有关锥体的体积,特别是三棱锥的体积.,2.由三视图求相关几何体的体积 已知几何体三视图求体积的思路与已知几何体三视图求表面积的思路相同,求解时注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置,确定几何体中的线面垂直等关系,进而利用求体积的方法求解.,理科数学 第八章：立体几何,示例5 2017全国卷，4，5分理如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为 A.90 B.63 C.42 D.36 思路分析 由题意先确定几何体的形状,再根据三视图确定其几何度量即可.可以用分割法,也可以用补形法求该几何体的体积.,理科数学 第八章：立体几何,解析 解法一(分割法)由题意知,该几何体是一个组合体,下半部分是一个底面半径为3,高为4的圆柱,其体积V1=324=36. 上半部分是一个底面半径为3,高为6的圆柱的一半, (利用圆柱的对称性) 其体积V2= 1 2 326=27. 所以该组合体的体积V=V1+V2=36+27=63.,理科数学 第八章：立体几何,解法二 (补形法)由题意知,该几何体是一圆柱被一平面截去一部分后所得的几何体,在该几何体上方再补上一个与其相同的几何体,让截面重合,则所得几何体为一个圆柱,该圆柱的底面半径为3,高为10+4=14,该圆柱的体积V1=3214=126. 故该几何体的体积为圆柱体积的一半,即V= 1 2 V1=63. 答案 B,理科数学 第八章：立体几何,示例6 如图所示,已知三棱锥D-ABC中, ADBC,AD,BC之间的距离为h,且AD=a,BC=b,求三棱锥D-ABC的体积. 思路分析,理科数学 第八章：立体几何,解析 以AB,BC为邻边补成平行四边形ABCE,以AD为侧棱补成平行六面体ABCEDGMF,如图所示, 则三棱锥D-ABC的体积V1与平行六面体ABCEDGMF的体积V2之间有V1= 1 6 V2,易知平行六面体左、右侧面之间的距离就是异面直线AD,BC之间的距离h.因为ADBC,所以四边形BCMG为矩形.所以V1= 1 6 V2= 1 6 S矩形BCMGh= 6 . 点评 本题也可以分割几何体,转化底面和高,最后求得 三棱锥的体积.,理科数学 第八章：立体几何,拓展变式2 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是直角梯形ABCD,其中ADAB,CDAB,AB=4,CD=2,侧面PAD是边长为2的等边三角形,且与底面ABCD垂直,E为PA的中点. (1)求证:DE平面PBC; (2)求三棱锥A-PBC的体积.,理科数学 第八章：立体几何,解析 (1)取AB的中点F,连接DF,EF. 在直角梯形ABCD中,CDAB,且AB=4,CD=2, 所以BFCD,且BF=CD. 所以四边形BCDF为平行四边形,所以DFBC. 在PAB中,PE=EA,AF=FB,所以EFPB. 又DFEF=F,PBBC=B, 所以平面DEF平面PBC. 因为DE平面DEF,所以DE平面PBC.,理科数学 第八章：立体几何,(2)取AD的中点O,连接PO,BD. 在PAD中,PA=PD=AD=2,所以POAD,PO= 3 . 又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以PO平面ABCD. 在直角梯形ABCD中,CDAB,且AB=4,AD=2,ABAD, 所以SABC=SABD= 1 2 ABAD= 1 2 42=4. 故VA-PBC=VP-ABC= 1 3 SABCPO= 1 3 4 3 = 4 3 3 .,理科数学 第八章：立体几何,考法4 与球有关的切、接问题,考法指导 1.“切”“接”问题的处理规律 (1)“切”的处理:球的内切问题主要是球内切于多面体或旋转体.解答时要找准切点,通过作截面来解决. (2)“接”的处理:把一个多面体的顶点放在球面上即球外接于该多面体.解决这类问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.,2.与球有关的组合体的常用结论 (1)长方体的外接球: 球心:体对角线的交点; 半径:r= 2 + 2 + 2 2 (a,b,c为长方体的长、宽、高). (2)正方体的外接球、内切球及与各条棱都相切的球: 外接球:球心是正方体的中心,半径r= 3 2 a(a为正方体的棱长); 内切球:球心是正方体的中心,半径r= 2 (a为正方体的棱长); 与各条棱都相切的球:球心是正方体的中心,半径r= 2 2 a(a为正方体的棱长).,理科数学 第八章：立体几何,(3)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分): 外接球:球心是正四面体的中心,半径r= 6 4 a(a为正四面体的棱长); 内切球:球心是正四面体的中心,半径r= 6 12 a(a为正四面体的棱长).,理科数学 第八章：立体几何,示例7 2017全国卷，16,5分已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为. 思路分析 根据三棱锥的体积求出球的半径,代入球的表面积公式求出表面积.,理科数学 第八章：立体几何,解析 设球O的半径为R, SC为球O的直径, 点O为SC的中点,连接AO,OB, SA=AC,SB=BC,AOSC,BOSC, 平面SCA平面SCB,平面SCA平面SCB=SC,AO平面SCB, 所以VS-ABC=VA-SBC= 1 3 SSBCAO= 1 3 ( 1 2 SCOB)AO, 即9= 1 3 ( 1 2 2RR)R,解得R=3, 球O的表面积为S=4R2=432=36.,理科数学 第八章：立体几何,示例8 有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是顶角的余弦值为 1 2 的等腰三角形.在容器内放一个半径为r的铁球,并注水,使水面与球正好相切,然后将球取出,则这时容器中水的深度为. 思路分析 先作出截面,根据切线性质知当球在容器内时,水的深度为3r,水面半径的长为 3 ,容器内水的体积为= 圆锥 球 ,由此即可得出结论.,理科数学 第八章：立体几何,解析 如图所示,作出轴截面,因为轴截面是顶角的余弦值为 1 2 的等腰三角形,所以顶角为 3 ,所以该轴截面为正三角形.根据 切线性质知当球在容器内时,水的深度为3r,水面所在圆的半径 为 3 r,则容器内水的体积V= 1 3 ( 3 ) 2 3r- 4 3 r3= 5 3 r3.将球取出后, 设容器中水的深度为h,则水面圆的半径为 3 3 h,从而容器内水的体积 V= 1 3 ( 3 3 h)2h= 1 9 h3,由V=V,得h= 3 15 r,所以这时容器中水的深度为 3 15 r.,理科数学 第八章：立体几何,拓展变式3 (1)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在以O为球心的球面上,且BAC= 3 4 ,AA1=BC=2,则球O的体积为 A.4 3 B.8 C.12D.20 (2)已知直三棱柱底面是等腰直角三角形,直角边长是1,且其外接球的表面积是16,则该三棱柱的侧棱长为 A. 14 B.2 3 C.4 6 D.3,理科数学 第八章：立体几何,答案 (1)A (2)A 解析 (1)在底面ABC中,由正弦定理得底面ABC所在的截面圆的半径为r= 2sin = 2 2sin 3 4 = 2 ,则直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的半径为R= 2 +( 1 2 ) 2 = ( 2 ) 2 + 1 2 = 3 ,则直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的体积为 4 3 R3=4 3 .故选A. (2)因为该三棱柱外接球的表面积是16,所以外接球的半径R=2.又直三棱柱底面是等腰直角三角形,直角边长是1,故该三棱柱的侧棱长是 4 2 ( 1 2 + 1 2 ) = 14 ,故选A.,理科数学 第八章：立体几何,C方法帮素养大提升,易混易错,理科数学 第八章：立体几何,易错 三视图识图不准致误 示例9 某四面体的三视图如图所示,则此四面体的四个面中最大的面积是 A.2B.2 2 C. 3 D.2 3 易错分析 (1)不能正确把握投影方向、角度致误; (2)不能正确确定点、线的投影位置致误; (3)不能正确应用实线与虚线区分可见与不可见轮廓线致误.此类题目对于学生的空间想象能力考查较为深入.,易混易错,解析 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中还原出三视图的直观图,其是一个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥,即D1-BCB1,其四个面的面积分别为2,2 2 ,2 2 ,2 3 ,故最大的面积是2 3 . 答案 D 温馨提醒 解决此类问题时必须牢记“长对正,高平齐,宽相等”的原则,可见的轮廓线用实线表示,不可见的轮廓线用虚线表示.最重要的是,还原几何体后,应该检验还原的正确性.,理科数学 第八章：立体几何,
