小学数学知识点例题精讲《鸡兔同笼问题（二）》教师版.pdf

11. 熟悉鸡兔同笼的“砍足法”和“假设法”.2. 利用鸡兔同笼的方法解决一些实际问题,需要把多个对象进行恰当组合以转化成两个对象一、鸡兔同笼这个问题,是我国古代著名趣题之一大约在1500年前,孙子算经中就记载了这个有趣的问题书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头;从下面数,有94只脚求笼中各有几只鸡和兔? 你会解答这个问题吗?你想知道孙子算经中是如何解答这个问题的吗? 二、解鸡兔同笼的基本步骤解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚,则每只鸡就变成了“独脚鸡”,每只兔就变成了“双脚兔”这样,鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只;如果笼子里有一只兔子,则脚的总数就比头的总数多1因此,脚的总只数47与总头数35的差,就是兔子的只数,即473512（只）显然,鸡的只数就是351223（只）了 这一思路新颖而奇特,其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已除此之外,“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法” 假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙,用假设法能做到,假设里面全是鸡,算出共有几只脚,和脚总数做比较,做差除二兔找到解鸡兔同笼问题的基本关系式是：如果假设全是兔,那么则有：数=（每只兔子脚数鸡兔总数-实际脚数）（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 兔数=鸡兔总数-鸡数如果假设全是鸡,那么就有：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数鸡兔总数）（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 鸡数=鸡兔总数-兔数当头数一样时,脚的关系：兔子是鸡的 2 倍当脚数一样时,头的关系：鸡是兔子的 2 倍在学习的过程中,注重假设法的运用,渗透假设法的重要性,在以后的专题中,如工程,行程,方程等专题中也都会接触到假设法两个量的“鸡兔同笼”问题变例【例例 1】 某次数学竞赛,共有20道题,每道题做对得5分,没做或做错都要扣2分,小聪得了79分,他做对了多少道题?【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法例题精讲例题精讲知识精讲知识精讲教学目标教学目标6-1-9.6-1-9.鸡兔同笼问题（二）鸡兔同笼问题（二）2【解析】做错(52079 ) (52)3 (道),因此,做对的20317 (道)【答案】17道【巩固】 数学竞赛共有 20 道题,规定做对一道得 5 分,做错或不做倒扣 3 分,赵天在这次数学竞赛中得了 60分,他做对了几道题?【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】假设他将所有题全部做对了,则可得 100 分,实际上只得了 60 分,比假设少了 40 分,做错一题要少得8 分,少得的 40 分中,有多少个 8 分,就是他做错的题的数量,则知他做对了 15 道【答案】15道【巩固】 东湖路小学三年级举行数学竞赛,共20道试题.做对一题得5分,没有做一题或做错一题都要倒扣2分.刘钢得了86分,问他做对了几道题?【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】这道题也类似于“鸡兔同笼”问题假设刘钢20道题全对,可得分520100（分）,但他实际上只得86分,少了1008614（分）,因此他没做或做错了一些题由于做对一道题得5分,没做或做错一道题倒扣2分,所以没做或做错一道题比做对一道题要少527（分）14分中含有多少个7,就是刘钢没做或做错多少道题所以,刘钢没做或做错题为1472（道）,做对题为20218（道）【答案】18道【巩固】 某次数学竞赛,试题共有10道,每做对一题得6分,每做错一题倒扣2分.小红最终得44分,做对的题比做错的题多_道.【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】学而思杯,3 年级,第 8 题,假设思想方法【解析】604482,做错2道题,做对8道题,对的比错的多6道.【答案】多6道【巩固】 次数学竞赛有10道试题,若小宇得 70 分,根据图 5 中两人的对话可知小宇答对_题.【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯,五年级,一试,第 12 题【解析】设答对了x道题,那么105(10)70 xx,所以8x,也就是小宇答对了 8 道题.【答案】8题【巩固】 一次口算比赛,规定：答对一题得 8 分,答错一题扣 5 分.小华答了 18 道题,得 92 分,小华在此次比赛中答错了_ 道题.【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯,四年级,二试,第 12 题【解析】假设他全答对了,应该的 188=144 分,实际上少了 144-92=52 分,每答错一道题少 8+5=13 分,答错了 5213=4 道题.【答案】4题【例例 2】 某工人与老板签订了一份 30 天的劳务合同：工作一天可得报酬 48 元,休息一天则要从所得报酬中扣掉 12 元.该工人合同到期后并没有拿到报酬,则他最多工作了_天.【考点】和倍问题 【难度】3 星 【题型】填空3【关键词】希望杯,四年级,二试,第 5 题【解析】方法一：假设他没有休息他会得3048=1440（元）,休息一天会少4812=60（元）,所以他休息了144060=24（天）,他工作了3024=6天方法二：工作一天休息 4 天刚好抵消,那么最后没拿到钱,他只工作了 30(4+1)=6 天.【答案】6天【例例 3】 春风小学 3 名云参加数学竞赛,共 10 道题,答对一道题得 10 分,答错一道题扣 3 分,这 3 名同学都回答了所有的题,小明得了 87 分,小红得了 74 分,小华得了 9 分,他们三人一共答对了_道题.【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】假设思想方法【解析】三人共得87749170(分),比满分10 103300(分)少300170130(分)因此三个人共做错：130(103)10(道)题,共答对了301020(道)题【答案】20【例例 4】 张明、李华两人进行射击比赛,规定每射中一发得 20 分,脱靶一发扣 12 分,两人各射了 10 发,共得208 分,其中张明比李华多 64 分,则张明射中_发.【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯,4 年级,1 试【解析】张明得分（20864）2136 分,根据鸡兔同笼,张明脱靶（2010136）（2012）2,射中 8 发.【答案】8发【巩固巩固】 小明和小刚进行数学解题能力对抗赛,两人商定,对一题得 20 分,不答或答错一题扣 12 分.两人各解答了 10 道题,一共得 208 分,又知道小明比小刚多得 64 分.那么小刚做对了 道题.【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】迎春杯,高年级,初试,10 题【解析解析解析】小刚得了20864272 （分）,如果小刚10道题都做对了,应得200分,实际得72分,所以错了 2007220124 （道）,做对了1046（道）.【答案】6道【巩固巩固】 有两次自然测验,第一次 24 道题,答对 1 题得 5 分,答错(包含不答)1 题倒扣 1 分;第二次 15 道题,答对 1 题 8 分,答错或不答 1 题倒扣 2 分,小明两次测验共答对 30 道题,但第一次测验得分比第二次测验得分多 10 分,问小明两次测验各得多少分? 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】法一：如果小明第一次测验 24 题全对,得524120(分).那么第二次只做对30246(题)得分是862(156)30(分).两次相差1203090(分).比题目中条件相差 10 分,多了 80 分.说明假设的第一次答对题数多了,要减少.第一次答对减少一题,少得516 (分),而第二次答对增加一题不但不倒扣 2 分,还可得 8 分,因此增加8210分.两者两差数就可减少61016(分).(9010)(610)5(题).因此,第一次答对题数要比假设(全对)减少 5 题,也就是第一次答对 19题,第二次答对301911(题).第一次得分5 191 (249)90 .第二次得分8 112(1511)80.法二：答对 30 题,也就是两次共答错2415309(题).第一次答错一题,要从满分中扣去516 (分),第二次答错一题,要从满分中扣去8210(分).答错题互换一下,两次得分要相差61016 (分).如果答错 9 题都是第一次,要从满分中扣去69.但两次满分都是 120 分.比题目中条件“第一次得分多 10 分”,要少了6910.因此,第二次答错题数是(6910)(610)4(题).第一次答错945(题).第一次得分5(245)1 590 (分).第二次得分8(154)2480 (分).【答案】第一次得分90分.第二次得分80分.4【例例 5】 某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖,儿童票的价格为 30 元,成人票的价格为 40 元,如果是团体还可以买平均 32 元一位的团体票,一个由 8 个家庭组成的旅游团（每个家庭由两位大人,或两个大人、一个小孩组成）来景点旅游,如果他们买团体票那么可以比他们各买各的少花 120 元,问这个旅游团一共有多少人? 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】每个三口之家可以少花30404032314（元）,每个二口之家可以少花40406416（元）,如果这 8 个家庭都是三口之家,那么一共少花148112（元）,所以这 8 个家庭中有12011216144（）（）（个）家庭是二口之家,所以这个旅游团一共有4284320（）（人）【答案】20人【例例 6】 一张数学试卷,只有25道选择题做对一题得4分,做错一题倒扣1分;如不做,不得分也不扣分若小明得了78分,那么他做对 题,做错 题,没做 题 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】假设思想方法,祖冲之杯【解析】这道题不是普通的鸡兔同笼问题,需要寻找一些特殊的线索 小明得了78分,而且只有做对了题目才能得分78419,所以可以知道小明至少做对20道题目,否则一定低于4 1976(分); 再假设他做对21题,发现即使另外四题都错,小明仍然有421 1 480 (分),超过了78分,所以小明至多做对20道题目; 综上,可以断定小明做对了20道题 至此本题转化为简单鸡兔同笼问题 假设剩下5题全部没做,那么小明应得42080(分) 但是只得了78分,说明又倒扣了2分,说明错了2道题,3道题没做 所以小明做对了20道题,做错了2道题,没做3道题【答案】对了20道题,做错了2道题,没做3道题【例例 7】 一批钢材,用小卡车装载要45辆,用大卡车装载只要36辆已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨,那么这批钢材有多少吨?【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】要算出这批钢材有多少吨,需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨利用假设法,假设只用36辆小卡车来装载这批钢材,因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨,所以要剩下436144 (吨)根据条件,要装完这144吨钢材还需要45369(辆)小卡车这样每辆小卡车能装144916(吨)由此可求出这批钢材有720吨【答案】720吨【例例 8】 下面是小波和售货员阿姨的一段对话：小波：“阿姨,您好！” 售货员：“同学,你好想买点什么?”小波：“我只有 100 元,请帮我安排买 10 支钢笔和 15 本笔记本”售货员：“好,每支钢笔比每本笔记本贵 2 元,退你 5 元,请拿好再见”根据这段对话,则钢笔每支是 元,笔记本每本是 元【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】学而思杯,4 年级,第 14 题【解析】一共花了100595元.如果是买25本笔记本可以少花10220元,即75元.所以每本笔记本3元,每支钢笔5元【答案】5元【例例 9】 买一些 4 分和 8 分的邮票,共花 6 元 8 角.已知 8 分的邮票比 4 分的邮票多 40 张,那么两种邮票各买了多少张 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】解一:如果拿出 40 张 8 分的邮票,余下的邮票中 8 分与 4 分的张数就一样多 . 5(680-840)(8+4)=30(张), 这就知道,余下的邮票中 ,8 分和 4 分的各有 30 张. 因此 8 分邮票有 40+30=70(张). 解二:譬如,假设有 20 张 4 分,根据条件8 分比 4 分多 40 张,那么应有 60 张 8 分.以分作为计算单位 ,此时邮票总值是 420+860=560. 比 680 少,因此还要增加邮票 .为了保持差是 40,每增加 1 张 4 分,就要增加 1 张 8 分,每种要增加的张数是 (680-420-860)(4+8)=10(张). 因此 4 分有 20+10=30(张),8 分有 60+10=70(张).【答案】4 分有 30 张,8 分有 70 张.【例例 10】喜羊羊的存钱罐中只有 5 角和 1 元的硬币共 100 枚,其中 5 角的硬币比 1 元的硬币多 20 元,喜羊羊的存钱罐中总共有_钱.【考点】盈亏问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】学而思杯,4 年级,第 3 题【解析】60元.200.540枚,10040320枚,20100200.560元.【答案】60元【例例 11】小同有一个储蓄筒,存放的都是硬币,其中 2 分币比 5 分币多 22 个;按钱数算,5 分币却比 2 分币多 4 角;另外,还有 36 个 1 分币小同共存了多少钱?【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】假设去掉 22 个 2 分币,那么按钱数算,5 分币比 2 分币多 8 角 4 分,一个 5 分币比一个 2 分币多 3 分,所以 5 分币有845228（）（个）,2 分币有282250（个）,5282501 36 14010036276（分） 【答案】276分【例例 12】现有大小油桶 50 个,每个大桶可装油 4 千克,每个小桶可装油 2 千克,大桶比小桶共多装油 20千克,问大小桶各多少个?【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】方法一：假设 50 个油桶都是大桶,则共装油(450)200千克,而这小桶所装油则为 0这样大桶比小桶多装 200 千克,比条件所给的差数多了(20080)180千克,若在 50 个大桶中把一部分大桶换成小桶,则每拿一个大桶换成小桶,大桶装的油就减少 4 千克,而小桶共装的油就增加 2 千克,那么大桶比小桶多装的数量就减少(42)6千克,所以小桶有：180630(个),大桶有：503020(个).方法二：这道题也可以用另外一种假设;每个大桶比每个小桶多装 2 千克,如果大小桶同样多,大桶要比小桶共多装 20 千克,则应该大小桶各20(42)10个,现在共有 50 个桶,在剩下的(50102)30个桶中,大小桶应装同样多的油,而每个大桶装的油是每个小桶装的(42)2倍,那么在这 30 个桶中,应该有30(12)10个大桶,(3010)20个小桶;所以可求出 50 个桶中,有大小桶各多少个解：20(42)10(个) (50102)(12)10(个) (大桶)101020(个) (大桶共有)502030(个) (小桶共有)【答案】大桶20个,小桶30个【例例 13】大、小猴共35只,它们一起去采摘水蜜桃猴王不在时,一只大猴一个小时可采摘15千克,一只小猴子一小时可摘11千克;猴王在场监督的时候,每只猴子不论大小每小时都可以多采摘12千克一天,采摘了8小时,其中第一小时和最后一小时猴王在监督,结果共采摘了4400千克水蜜桃在这个猴群中,共有小猴子多少只?【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】解答6【关键词】假设思想方法【解析】其实大猴子和小猴子就相当于鸡兔问题中的鸡和兔但是却有猴王来捣乱,所以我们先让猴王消失一天中,猴王监视了2小时,假设猴王一直都不在,同猴王在时相比,每只猴子每小时都会少采12千克,那样猴群只能采摘4400352 123560 (千克);这是一天也就是8小时的工作量,据此可以求出这群猴每小时采35608445(千克);假设都是大猴子,应该每小时采摘15 35525(千克),比实际多采了52544580(千克)而每只小猴子被假设成大猴子,会多采15114(千克)因此可以求出小猴子有：80420(只)【答案】20只【例例 14】今年是 1998 年,父母年龄(整数)和是 78 岁,兄弟的年龄和是 17 岁.四年后(2002 年)父的年龄是弟的年龄的 4 倍,母的年龄是兄的年龄的 3 倍.那么当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时,是公元哪一年?【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】4 年后,两人年龄和都要加 8.此时兄弟年龄之和是 17+8=25,父母年龄之和是 78+8=86.我们可以把兄的年龄看作鸡头数,弟的年龄看作兔头数.25 是总头数.86 是总脚数.根据公式,兄的年龄是 (254-86)(4-3)=14(岁). 1998 年,兄年龄是 14-4=10(岁). 父年龄是 (25-14)4-4=40(岁). 因此,当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时,兄的年龄是 (40-10)(3-1)=15(岁),这是 2003 年. 【答案】2003年【例例 15】一份稿件,甲单独打字需 6 小时完成.乙单独打字需 10 小时完成,现在甲单独打若干小时后,因有事由乙接着打完,共用了 7 小时.甲打字用了多少小时?【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】我们把这份稿件平均分成 30 份(30 是 6 和 10 的最小公倍数),甲每小时打 306=5(份),乙每小时打3010=3(份). 现在把甲打字的时间看成兔头数,乙打字的时间看成鸡头数,总头数是 7.兔的脚数是 5,鸡的脚数是 3,总脚数是 30,就把问题转化成鸡兔同笼问题了. 根据前面的公式兔数=(30-37)(5-3) =4.5, 鸡数=7-4.5 =2.5, 也就是甲打字用了 4.5 小时,乙打字用了 2.5小时. 【答案】4.5小时【例例 16】箱子里红、白两种玻璃球,红球数是白球数的3倍多2只,每次从箱子里取出7只白球、15只红球如果经过若干次以后,箱子里剩下3只白球、53只红球那么箱子里原有红球多少只? 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】假设每次一起取7只白球和21只红球,由于每次拿得红球都是白球的3倍,所以最后剩下的红球数应该刚好是白球数的3倍多2由于每次取的白球和原定的一样多,所以最后剩下的白球应该不变,仍然是3个按照我们的假设,剩下的红球应该是白球的3倍多2,即3 3211 (只)但是实际上最后剩了53只红球,比假设多剩42只,因为每一次实际取得与假设相比少6只,所以可以知道一共取了4267(次)所以可以知道原来有红球7 1553158(只)【答案】158只【例例 17】车库中停放若干辆双轮摩托车和四轮小卧车,车的辆数与车的轮子数之比是 25.问：摩托车的辆数与小卧车的辆数之比是多少?【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4 星 【题型】解答【关键词】华杯赛,初赛,第 10 题【解析】车库中,平均每 2 辆车有 5 个轮子,也就是说,平均每 4 辆车有 10 个轮子.简单的试凑可以知道,1 辆小卧车和 3 辆摩托车恰好有 10 个轮子.所以摩托车的辆数与小卧车的辆数之比为 31【答案】3:1