2022年中考专题三最短路线问题 .pdf
优秀学习资料欢迎下载最短路线问题（广水马铁汉）考查知识点- “两点之间线段最短”， “垂线段最短” ， “点关于线对称”， “线段的平移” 。原型 -“饮马问题” ， “造桥选址问题” 。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、 三角形、 菱形、 矩形、 正方形、 梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路- 找点关于线的对称点实现“折”转“直” ，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。以下主要对09 中考“饮马问题”试题进行汇编，希望能对即将中考的同学们有所帮助。1、 （ 20XX 年达州） 在边长为 2 的正方形ABCD 中，点 Q 为 BC 边的中点， 点 P 为对角线 AC 上一动点， 连接 PB、PQ， 则 PBQ周长的最小值为_（结果不取近似值） . 2、(20XX 年抚顺市 )如图所示，正方形ABCD的面积为12，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PDPE的和最小，则这个最小值为（）A2 3B2 6C3 D63、(20XX 年鄂州 ) 已知直角梯形ABCD 中，ADBC， ABBC，AD=2， BC=DC=5，点P 在 BC 上移动，则当PA+PD 取最小值时，APD 中边 AP 上的高为（）A、17172B、17174C、17178D、3 （动点，作A 关于 BC 的对称点 A ，连 AD 交 BC 于 P，涉及勾股定理，相似 ）4、 （07 南通） 已知等腰三角形ABC 的两个顶点分别是A(0，1)、B(0，3)，第三个顶点C 在 x 轴的正半轴上关于y 轴对称的抛物线 yax2bxc 经过 A、D(3， 2)、P 三点， 且点 P 关于直线AC 的对称点在x 轴上(1)求直线 BC 的解析式；(2)求抛物线yax2bxc 的解析式及点P的坐标；(3)设 M 是 y 轴上的一个动点，求PMCM的取值范围A D E P B C ABO(第 4 题图 ) Dxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载第 6 题OxyBDACPy O x P D B (4 0)A ，(0 2)C，5、 （ 09 年新疆乌鲁木齐市）如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为(4 0)(0 2)AC，、，D为OA的中点设点P是AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）（1）试证明： 无论点P运动到何处，PC总造桥与PD相等；（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过OPD、 、三点的抛物线的解析式；（3） 设点E是 （2） 中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和PDE的周长；（4）设点N是矩形OABC的对称中心， 是否存在点P，使90CPN？若存在，请直接写出点P的坐标6、 （09 湖北荆门） 一次函数ykxb的图象与 x、y 轴分别交于点A（2，0） ，B（0，4） （1）求该函数的解析式；（2）O 为坐标原点，设OA、AB 的中点分别为 C、D，P 为 OB 上一动点， 求 PCPD的最小值，并求取得最小值时P 点坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载7、 （ 20XX 年济南） 已知：抛物线的对称轴为与x轴交于AB，两点，与y轴交于点C，其中3 0A，、02C，（1）求这条抛物线的函数表达式（ 2）已知在对称轴上存在一点P，使得PBC的周长最小请求出点P 的坐标（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点 O、 点 C 重合） 过点 D 作DEPC交x轴于点E连接PD、PE设CD的长为m，PDE的面积为S求S与m之间的函数关系式 试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由A C x y B O A C x y B O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载8、 、 （20XX 年衢州市）如图，已知点A(-4，8)和点 B(2，n)在抛物线2yax 上(1)求 a 的值及点B 关于 x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q 的坐标；(2)平移抛物线2yax ，记平移后点A 的对应点为A，点 B 的对应点为B，点 C(- 2，0)和点 D(- 4，0)是 x 轴上的两个定点当抛物线向左平移到某个位置时，AC+CB最短，求此时抛物线的函数解析式；当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形ABCD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由提示：第（ 2）问，是“饮马问题”的变式运用，涉及到抛物线左移。答案见参考图。方法一， A关于 x 轴对称点A，要使AC+CB 最短，点C应在直线AB 上；方法二，由（1）知，此时事实上，点Q移到点 C位置，求 CQ=14 5，即抛物线左移14 5 单位；设抛物线左移b 个单位， 则 A （-4-b,8） 、B （2-b,2 ） 。CD=2,B左移 2 个单位得到 B（-b,2 ）位置，要使AD+C B最短，只要 A D+DB 最短。则只有点D在直线AB上。4 x 2 2 A 8 - 2 O - 2 - 4 y 6 B C D - 4 4 (2)图 ) 4 x 2 2 A8 - 2 O - 2 - 4 y 6 BC D - 4 4 A(2)图 ) 4 x 2 2 A8 - 2 O - 2 - 4 y 6 BC D - 4 4 AB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载9、 （ 20XX 年北京市） 如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC三个顶点的坐标分别为6,0A，6,0B，0,4 3C，延长AC 到点 D,使 CD=12AC,过点 D 作 DEAB交 BC 的延长线于点E. （1）求 D 点的坐标；（2）作 C 点关于直线DE 的对称点F,分别连结 DF、 EF， 若过 B 点的直线ykxb将四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（ 3）设G 为 y 轴上一点，点P 从直线ykxb与 y 轴的交点出发，先沿y 轴到达 G 点，再沿GA 到达 A 点，若 P 点在 y轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的 2 倍，试确定 G 点的位置， 使 P点按照上述要求到达A 点所用的时间最短。 （要求：简述确定G 点位置的方法，但不要求证明）提示：第（）问，平分周长时，直线过菱形的中心；第（）问，“确定 G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短” 转化为点到的距离加到（）中直线的距离和最小是“饮马问题”的变式运用；发现（）中直线与轴夹角为很关键 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载10、 （2009 恩施市）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世著名的恩施大峡谷()A和世界级自然保护区星斗山()B位于笔 直 的 沪 渝 高 速 公 路X同 侧 ，5 0 k mA BA，、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的 距 离 之 和1SPAPB，图（ 2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A，连接BA交直线X于点P） ，P到A、B的距离之和2SPAPB（1）求1S、2S，并比较它们的大小；（2）请你说明2SPAPB的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小并求出这个最小值提示：涉及勾股定理、点对称、设计方案。第（3）问是“三折线” 转“直”问题。再思考 - 设计路线要根据需要设计，是 P 处分别往 A、B 两处送呢，还是可以先送到A 接着送到B。 本题是对所给方案进行分析，似乎还容易一些，若要你设计方案，还需考虑一个方案路线，PAB。B A P X 图（ 1）Y X B A Q P O 图（ 3）B A P X A图（ 2）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载11、 (09 陕西 )如图，在锐角ABC中， AB42， BAC 45， BAC 的平分线交BC于点 D，M 、N分别是 AD和 AB上的动点，则 BM+MN 的最小值是 _12、 （20XX年浙江省绍兴市） 定义一种变换：平移抛物线1F得到抛物线2F， 使2F经过1F的顶点A设2F的对称轴分别交12FF，于点DB， 点C是点A关于直线BD的对称点（1）如图 1，若1F：2yx，经过变换后，得 到2F：2yxbx， 点C的 坐 标 为(2 0)，则b的值等于 _；四边形ABCD为（）A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形（2）如图 2，若1F：2yaxc，经过变换后，点B的坐标为(21)c， 求ABD的面积；（3）如图 3，若1F：2127333yxx，经过变换后，2 3AC，点P是直线AC上的动点，求点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
