2022年中考数学专题复习新定义题型学生版 .pdf

学习必备欢迎下载小康老师中考数学专题复习-新定义型问题一、中考专题诠释所谓 “ 新定义 ” 型问题， 主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型. “新定义 ” 型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力。近几年日照命题情况来看，该类题型为必考型，一般一道选择或填空再加一道答题，占12到18分。二、解题策略和解法精讲“ 新定义型专题” 关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移三、中考典例剖析考点一：规律题型中的新定义例 1 （ 2013?湛江）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：sin30 =12，cos30 =32，则 sin230 +cos230 = ；sin45 =22， cos45 =22，则 sin245 +cos245 = ；sin60 =32， cos60 =12，则 sin260 +cos260 = 观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有 sin2A+cos2A= （1）如图，在锐角三角形ABC 中，利用三角函数的定义及勾股定理对A 证明你的猜想；（2）已知： A 为锐角（ cosA 0）且 sinA=35，求 cosA 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载对应训练1 （ 2013?绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心重心有很多美妙的性质，如关于线段比面积比就有一些“ 漂亮 ” 结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若 O 是 ABC 的重心（如图1） ，连结 AO 并延长交BC 于 D，证明：23AOAD；（2）若 AD 是 ABC 的一条中线（如图2） ，O 是 AD 上一点，且满足23AOAD，试判断 O是 ABC 的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若 O 是 ABC 的重心， 过 O 的一条直线分别与AB、AC 相交于 G、H（均不与 ABC的顶点重合）（如图 3） ，S四边形BCHG，SAGH分别表示四边形BCHG 和 AGH 的面积，试探究BCHGAGHSSV四边形的最大值考点二：运算题型中的新定义例 2 （2013?河北）定义新运算：对于任意实数a，b，都有 ab=a （a-b ）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：25=2（2-5 ）+1=2（-3）+1=-6+1=-5 。（1）求（ -2） 3 的值；（2）若 3x 的值小于13，求 x 的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载对应训练2 （2013?十堰）定义：对于实数 a， 符号 a表示不大于a 的最大整数 例如：5.7=5 ， 5=5 ，-=-4（1）如果 a=-2 ，那么 a 的取值范围是（2）如果 12x=3，求满足条件的所有正整数x考点三：探索题型中的新定义例 3 （2013?钦州）定义：直线l1与 l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点 M 到直线 l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M 的“ 距离坐标 ” ，根据上述定义， “ 距离坐标 ” 是（ 1，2）的点的个数是（）A2 B3 C4 D5 思路分析：“ 距离坐标 ” 是（ 1，2）的点表示的含义是该点到直线l1、l2的距离分别为1、2由于到直线l1的距离是1 的点在与直线l1平行且与l1的距离是1 的两条平行线a1、 a2上，到直线l2的距离是2 的点在与直线l2平行且与l2的距离是2 的两条平行线b1、b2上，它们有 4 个交点，即为所求对应训练3.（2013?台州）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“ 好玩三角形 ” （1）请用直尺和圆规画一个“ 好玩三角形 ” ；（2）如图在RtABC 中， C=90 ，tanA=32，求证： ABC 是“ 好玩三角形 ” ；（3） ）如图 2，已知菱形ABCD 的边长为a， ABC=2 ，点 P，Q 从点 A 同时出发，以相同速度分别沿折线AB-BC 和 AD-DC 向终点 C 运动，记点P 经过的路程为s当 =45 时，若 APQ 是“ 好玩三角形 ” ，试求as的值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载当 tan 的取值在什么范围内，点P， Q 在运动过程中，有且只有一个APQ 能成为 “ 好玩三角形 ” 请直接写出tan 的取值范围（4） （本小题为选做题，作对另加2 分，但全卷满分不超过150 分）依据（ 3）的条件， 提出一个关于“ 在点 P，Q 的运动过程中， tan 的取值范围与APQ 是 好玩三角形 的个数关系 ” 的真命题（ “ 好玩三角形 ” 的个数限定不能为1）考点四：开放题型中的新定义例 4 （2013?宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形如菱形就是和谐四边形（1）如图 1，在梯形ABCD 中， AD BC， BAD=120 ， C=75 ，BD 平分 ABC 求证： BD 是梯形 ABCD 的和谐线；（2） 如图 2， 在 1216 的网格图上 （每个小正方形的边长为1） 有一个扇形BAC ， 点 A B C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D 为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；（3）四边形ABCD 中， AB=AD=BC ， BAD=90 ，AC 是四边形ABCD 的和谐线，求BCD 的度数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载对应训练4 （ 2013?常州）用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1 的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数和为a，内部的格点个数为b，则 S=12a+b-1（史称 “ 皮克公式 ” ） 小明认真研究了“ 皮克公式 ” ，并受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形：根据图中提供的信息填表：格点多边形各边上的格点的个数格点边多边形内部的格点个数格点多边形的面积多边形 1 8 1 多边形 2 7 3 一般格点多边形a b S 则 S 与 a、b 之间的关系为S= （用含 a、b 的代数式表示） 考点五：阅读材料题型中的新定义例 5 （2013?舟山）对于点A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，定义一种运算：A B=（x1+x2）+（y1+y2） 例如， A（-5，4） ，B（2，-3） ，AB= （-5+2 ）+（4-3 ）=-2 若互不重合的四点 C，D，E，F，满足 CD=D E=E F=F D，则 C，D，E，F 四点（）A在同一条直线上B在同一条抛物线上C在同一反比例函数图象上D是同一个正方形的四个顶点对应训练5 （ 2013?天门）一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；若在第n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n 阶奇异矩形 如图 1， 矩形 ABCD 中，若 AB=2 ，BC=6 ，则称矩形ABCD 为 2 阶奇异矩形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载（1）判断与操作：如图 2，矩形 ABCD 长为 5，宽为 2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由（2）探究与计算：已知矩形 ABCD 的一边长为20，另一边长为a（a 20） ，且它是 3 阶奇异矩形，请画出矩形 ABCD 及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a 的值（3）归纳与拓展：已知矩形ABCD 两邻边的长分别为b，c（ bc） ，且它是 4 阶奇异矩形，求b： c（直接写出结果）四、中考真题演练一、选择题1（ 2013?成都）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（）Ay=-x+3 By=5x Cy=2x Dy=-2x2+x-7 2 （ 2013?绍兴）若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A90B120C150D1803 （ 2013?潍坊）对于实数x，我们规定 x表示不大于x 的最大整数，例如1.2=1 ，3=3 ，-2.5=-3 ，若 410 x=5，则 x 的取值可以是（）A40 B45 C51 D56 4 （2013?乌鲁木齐） 对平面上任意一点（a，b） ，定义 f，g 两种变换： f （a， b）=（ a，-b） 如f（1，2）=（1，-2） ；g（a，b）=（b，a） 如 g（ 1，2）=（2，1） 据此得 g（f（5，-9） ）=（）A （5，-9）B （-9，-5）C （5，9）D （9，5）5 （ 2013?常德）连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“ 直径 ” 最小的是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载ABCD二、填空题6 （ 2013?上海）当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“ 特征三角形 ” ，其中称为 “ 特征角 ” 如果一个 “ 特征三角形 ” 的“ 特征角 ” 为 100 ，那么这个 “ 特征三角形 ” 的最小内角的度数为7 （ 2013?宜宾）如图，ABC 是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧 DE 、弧 EF 的圆心依次是A、B、C，如果 AB=1 ，那么曲线CDEF 的长是8 （2013?淄博）在 ABC 中，P 是 AB 上的动点（ P 异于 A，B） ，过点 P 的一条直线截ABC ， 使截得的三角形与ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P 的 ABC 的相似线 如图， A=36 ，AB=AC ，当点 P 在 AC 的垂直平分线上时，过点P 的 ABC 的相似线最多有条9 （ 2013?乐山）对非负实数x“ 四舍五入 ” 到个位的值记为（x） 即当n 为非负整数时，若n-12xn+12，则（ x）=n如（ 0.46 ）=0， （3.67 ）=4给出下列关于（x）的结论：（ 1.493 ）=1；（ 2x）=2（x） ；若（12x-1）=4，则实数x 的取值范围是9x 11；当 x 0，m 为非负整数时，有（m+2013x ）=m+ （2013x ） ；（ x+y） =（x）+（y） ；其中，正确的结论有（填写所有正确的序号）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载三、解答题10 （2013?莆田）定义：如图1，点 C 在线段 AB 上，若满足AC2=BC?AB ，则称点 C 为线段 AB 的黄金分割点如图 2， ABC 中， AB=AC=1 ， A=36 ，BD 平分 ABC 交 AC 于点 D（1）求证：点D 是线段 AC 的黄金分割点；（2）求出线段AD 的长11 （2013?大庆）对于钝角 ，定义它的三角函数值如下：sin =sin （180 - ） ，cos=-cos （180 - ）（1）求 sin120 ，cos120，sin150 的值；（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A， B 是这个三角形的两个顶点，sinA ，cosB是方程 4x2-mx-1=0 的两个不相等的实数根，求m 的值及 A 和 B 的大小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载12 （2013?安徽）我们把由不平行于底的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“ 准等腰梯形 ” 如图 1，四边形ABCD 即为 “ 准等腰梯形 ” 其中 B=C（1） 在图 1 所示的 “ 准等腰梯形 ”ABCD中， 选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可） ；（2）如图 2，在 “ 准等腰梯形 ”ABCD中 B= CE 为边 BC 上一点，若ABDE ，AEDC，求证：ABBEDCEC；（3）在由不平行于BC 的直线 AD 截 PBC 所得的四边形ABCD 中， BAD 与 ADC 的平分线交于点E若 EB=EC ，请问当点E 在四边形ABCD 内部时（即图3 所示情形），四边形 ABCD 是不是 “ 准等腰梯形 ” ，为什么？若点E 不在四边形ABCD 内部时，情况又将如何？写出你的结论 （不必说明理由）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载13 （2013?北京）对于平面直角坐标系xOy 中的点 P 和 C，给出如下的定义：若C 上存在两个点A、B，使得 APB=60 ，则称 P 为 C 的关联点已知点D（12，12） ，E（0，-2） ，F（23， 0） （1）当 O 的半径为1 时，在点 D、E、F 中， O 的关联点是过点 F 作直线 l 交 y 轴正半轴于点G，使 GFO=30 ，若直线 l 上的点 P（m，n）是 O的关联点，求m 的取值范围；（2）若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页