2022年九年级数学上册反比例函数知识点总结及反比例函数练习题 .pdf

第十三讲反比例函数课程目标理解反比例函数的概念和性质，会用待定系数法求反比例函数的解析式。树立数形结合的数学思想，能完成解析式和图像位置、性质之间的转化。综合运用多种数学思想，逐步形成数学应用和建模的意识。课程重点掌握反比例函数的概念及性质，确定反比例函数的解析式。理解函数图像的含义，学习从图像中获取信息解决问题的能力。能运用反比例函数的知识，解决实际应用的问题。课程难点掌握反比例函数图像的几何意义，渗透数形结合的数学思想。运用类比和转化思想，解决实际问题及代几综合题。教学方法建议反比例函数是八年级下的内容，经常与一次函数结合考查，也是中考出题的热点篇章。本身蕴含诸多数学思想：方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、数学建模思想等等。本讲中的每道例题及搭配课堂训练题都是一个考点的小专题。限于课堂容量，部分简单及非典型题将在课后作业中出现，建议教师根据学生情况选择性讲授作为补充。选材程度及数量课堂精讲例题搭配课堂训练题课后作业A 类（ 2 ）道（ 2 ）道（ 10 ）道B 类（ 3 ）道（ 2 ）道（ 10 ）道C 类（ 2 ）道（ 2 ）道（ 10 ）道第一部分知识梳理一、反比例函数的解析式1反比例函数的概念一般地，函数xky（k 是常数， k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成1kxy的形式。自变量x 的取值范围是x0 的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。2反比例函数解析式的确定由于在反比例函数xky中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 38 页二、反比例函数的图像及性质1反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数 y0，所以，它的图象与 x 轴、y 轴都没有交点， 即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。2反比例函数的性质反比例函数)0(kxkyk 的符号k0 k0 时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内， y 随 x 的增大而减小。x 的取值范围是x0，y 的取值范围是y0；当 k0 时，函数图象的两个分支分别在第二、 四象限。 在每个象限内， y随 x 的增大而增大。对称性)0(kxky的图象是轴对称图形，对称轴为)0( kxy或)0( kxy)0(kxky的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0， 0） ；xkyxky和( k0) 在同一坐标系中的图象关于x 轴对称，也关于 y 轴对称3反比例函数中反比例系数的几何意义精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 38 页过双曲线xky(k 0) 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线段， 所得矩形 (如图 )面积为k。过双曲线xky(k 0) 上任意一点作任一坐标轴的垂线段，连接该点和原点，所得三角形（如图）的面积为2k双曲线xky(k0) 同一支上任意两点1P、2P与原点组成的三角形 （如图）的面积=直角梯形1221PPQQ的面积第二部分例题与解题思路方法归纳【例题 1】 已知函数521mxmy是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m 的值是（）A2 B 2 C 2 D21难度分级A 类试题来源2010 年凉山州中考数学试题选题意图对于反比例函数)0(kxky。由于11xx，所以反比例函数也可以写成1xy（k 是常数， k 0）的形式，有时也以xy=k（k 是常数， k0）的形式出现。 （1）k0，反比例函数图象在一、三象限；（2） k0，反比例函数图象在第二、四象限内本题需要理解好反比例函数定义中的系数和指数，同时需要掌握反比例函数的性质，这样才能防止漏解或多解。解题思路根据反比例函数的定义m25=1，又图象在第二、四象限，所以m+10，两式联立方程组求解即可参考答案解：函数521mxmy是反比例函数，且图象在第二、四象限内，yxOQCBAP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 38 页01152mm，解得 m= 2 且 m 1， m=2故选 B【课堂训练题】1 （2000?甘肃） 已知 y=y1+y2，y1与 x 成正比例， y2与 x2 成反比例， 且当 x=1 时，y= 1；当 x=3 时， y=5求 y与 x 的函数关系式难度分级A 类参考答案解：设 y1=k1x（k10 ） ，y2=错误！未找到引用源。y=k1x+错误！未找到引用源。当 x=1 时， y= 1；当 x=3 时， y=5，5312121kkkk，2121kk。22xxy。2定义：已知反比例函数xky1与xky2，如果存在函数xkky21（k1k20）则称函数xkky21为这两个函数的中和函数。（1）试写出一对函数，使得它的中和函数为xy2，并且其中一个函数满足：当x0 时，y 随 x 的增大而增大。（2）函数xy3和xy12的中和函数xky的图象和函数y=2x 的图象相交于两点，试求当xky的函数值大于y=2x 的函数值时x 的取值范围。难度分级B 类参考答案解： （1）试写出一对函数，使得它的中和函数为错误！未找到引用源。 ，并且其中一个函数满足：当x0 时， y 随 x 的增大而增大答案不唯一，如错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。等；y=x3（2） 错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。的中和函数 错误！未找到引用源。 ，联立方程组xyxy26，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 38 页解之得两个函数图象的交点坐标为（3，32） （3，32） ，结合图象得到当xky的函数值大于y=2x 的函数值时x 的取值范围是3x或30 x【例题 2】如图所示是反比例函数xny42的图象的一支，根据图象回答下列问题：（1）图象的另一支在哪个象限？常数n 的取值范围是什么？（2）若函数图象经过点（3，1） ，求 n 的值；（3）在这个函数图象的某一支上任取点A（a1，b1）和点 B（ a2，b2） ，如果 a1a2，试比较 b1和 b2的大小难度分级B 类试题来源2010 年肇庆市中考数学试题选题意图 本题主要考查反比例函数图象的性质和待定系数法求函数解析式的方法，需要熟练掌握解题思路（1）根据反比例函数图象的性质，这一支位于第一象限，另一支一定位于第三象限；（2）把点的坐标代入反比例函数求出n 值，即可求出函数解析式；（3）根据反比例函数图象的性质，当k0 时，在每个象限内，函数值y 随 x 增大而减小。参考答案解： （1）图象的另一支在第三象限由图象可知，2n40，解得： n2 （2）将点（ 3，1）代入xny42得：3421n，解得： n=错误！未找到引用源。 ；（3） 2n 40，在这个函数图象的任一支上，y 随 x 增大而减小，当 a1a2时， b1 b2【课堂训练题】1如图是反比例函数xmy5的图象的一支（1）求 m 的取值范围，并在图中画出另一支的图象；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 38 页（2）若 m=1，P（a， 3）是双曲线上点，PHy 轴于 H，将线段OP 向右平移3PH 的长度至 O P，此时 P 的对应点 P 恰好在另一条双曲线xky的图象上，则平移中线段OP 扫过的面积为，k= （直接填写答案）难度分级B 类参考答案解： （1）由反比例函数的图象可知m5 0，即 m5（2） m=1，反比例函数xmy5的解析式为xy6，把 P（ a，3）代入上式得a=2向右平移3PH，可得 P 坐标为（ 4，3） ，第一象限内抛物线解析式为xy12S?oopp =S? A PPA=2 3+4 3=18则平移中线段OP 扫过的面积为18，k=122 （ 2006?临沂）我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数23yx的图象向左平移 2 个单位，再向下平移4 个单位，所图象的函数表达式是23(2)4yx。类比二次函数的图象的平移，我们对反比例函数的图象作类似的变换：（1）将y=错误！未找到引用源。的图象向右平移1 个单位，所得图象的函数表达式为，再向上平移1 个单位，所得图象的函数表达式为；（2）函数 y=错误！ 未找到引用源。 的图象可由y=错误！ 未找到引用源。的图象向平移个单位得到；y=错误！未找到引用源。的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 38 页样的变换得到；（3）一般地，函数y=错误！未找到引用源。 （ab0 ，且ab）的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？难度分级B 类参考答案 解： （1）可设新反比例函数的解析式为y=错误！未找到引用源。 ，可从原反比例函数找一点（1，1） ，向右平移1 个单位得（ 2，1） ，代入解析式可得：a= 1故所得图象的函数表达式为 错误！未找到引用源。 ；再向上平移1 个单位，所得图象的函数表达式为错误！未找到引用源。（2）先把函数化为标准反比例的形式y=错误！未找到引用源。+1，然后即可根据反比例函数图象平移的性质解答：y=错误！未找到引用源。可转化为 错误！未找到引用源。 故函数 y=错误！未找到引用源。的图象可由y=错误！未找到引用源。的图象向上移1 个单位得到； y=错误！未找到引用源。的图象可由反比例函数错误！未找到引用源。的图象先向右平移2 个单位，再向上平移1 个单位得到（3）函数 错误！未找到引用源。（ ab0 ，且 ab）可转化为 错误！未找到引用源。 当 a0 时， 错误！未找到引用源。的图象可由反比例函数错误！未找到引用源。的图象向左平移 a 个单位，再向上平移1 个单位得到；当 a0 时， 错误！未找到引用源。的图象可由反比例函数错误！未找到引用源。的图象向右平移 a 个单位，再向上平移1 个单位得到【例题 3】在反比例函数xky的图象的每一条曲线上，y 都随 x 的增大而减小（1）求 k 的取值范围；（2）在曲线上取一点A，分别向x 轴、 y 轴作垂线段，垂足分别为B、C，坐标原点为O，若四边形 ABOC 面积为 6，求 k 的值难度分级B 类试题来源2009 年湖南省湘西自治州中考数学试题选题意图主要考查了反比例函数xky中 k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y 轴垂线， 所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义 图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、 向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即 S=错误！未找到引用源。|k|精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 38 页解题思路（1）直接根据反比例函数的性质求解即可，k0； （ 2）直接根据k 的几何意义可知：过双曲线上任意一点引x 轴、 y 轴垂线，所得矩形面积为|k|，所以 |k|=6，而 k0，则k=6参考答案解： （1） y 的值随 x 的增大而减小，k0（2）由于点A 在双曲线上，则S=|k|=6，而 k0，所以 k=6【课堂训练题】1 （2009?莆田）如图，在x 轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，过点 A1、A2、A3、A4、A5分别作 x 轴的垂线与反比例函数y=错误！未找到引用源。（x0 ）的图象相交于点P1、P2、 P3、P4、P5，得直角三角形OP1A1、A1P2A2、 A2P3A3、A3P4A4、A4P5A5，并设其面积分别为S1、S2、S3、S4、S5，则 S5的值为难度分级B 类参考答案 解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、 向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 是个定值， S=错误！未找到引用源。|k|所以 S1=1，S2=错误！未找到引用源。S1=错误！未找到引用源。 ，S3=错误！未找到引用源。S1=错误！未找到引用源。 ，S4=错误！未找到引用源。S1=错误！未找到引用源。 ，S5=错误！未找到引用源。S1=错误！未找到引用源。 2 如图，已知 A、 C 两点在双曲线上， 点 C 的横坐标比点A 的横坐标多2， AB x 轴，CDx轴， CEAB ，垂足分别是B、D、E（1）当 A 的横坐标是1 时，求 AEC 的面积 S1；（2）当 A 的横坐标是n 时，求 AEC 的面积 Sn；（3）当 A 的横坐标分别是1，2，10 时， AEC 的面积相应的是S1，S2，S10，求S1+S2+ +S10的值难度分级B 类精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 38 页参考答案解： （1）点 A 的坐标为（ 1，1） ，反比例函数的比例系数k 为 1 1=1；A 的横坐标是1，点 C 的横坐标比点A 的横坐标多2，点 A 的纵坐标为1，点 C 的横坐标为3，纵坐标为 错误！未找到引用源。， AEC 的面积 S1=错误！未找到引用源。 AEEC=错误！未找到引用源。 2 （1错误！未找到引用源。 ）=错误！未找到引用源。 ；（2）由（ 1）可得当 A 的横坐标是n 时， AEC 的面积 Sn=错误！未找到引用源。 2 （ 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 ）=错误！未找到引用源。 ；（3）解法一： S1+S2+ +S10=（1错误！未找到引用源。）+（错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。）+（错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。）+（错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 ）+（ 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 ）+ （错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 ）=1+错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 【例题 4】已知反比例函数xky1， k 为常数， k1 （1）若点 A（1，2）在这个函数的图象上，求k 的值；（2）若在这个函数图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小，求k 的取值范围；（3）若 k=13，试判断点B（3， 4） ，C（2， 5）是否在这个函数的图象上，并说明理由难度分级A 类试题来源2010 年天津市中考数学试题选题意图此题是一道基础题，考查了三方面的内容：用待定系数法求函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特点解题思路 （1）将点 A（1，2）代入解析式即可求出k 的值；（2）根据反比例函数的性质，判断出图象所在的象限，进而可求出k 的取值范围；（3）将 k=13 代入 y=错误！未找到引用源。 ，得到反比例函数解析式，再将B（3， 4） ，C（2，5）代入解析式解答即可参考答案解： （1）点 A（1，2）在这个函数的图象上，2=k1，解得 k=3（2）在函数 错误！未找到引用源。图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小，k10，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 38 页解得 k 1（3） k=13，有 k1=12，反比例函数的解析式为错误！未找到引用源。 ，将点 B 的坐标代入 错误！未找到引用源。，可知点 B 的坐标满足函数关系式，点 B 在函数 错误！未找到引用源。的图象上，将点 C 的坐标代入 错误！未找到引用源。，由 错误！未找到引用源。，可知点C 的坐标不满足函数关系式，点 C 不在函数 错误！未找到引用源。的图象上【课堂训练题】1 （2008?肇庆）已知点A（2，6） 、B（3，4）在某个反比例函数的图象上（1）求此反比例函数的解析式；（2）若直线y=mx 与线段 AB 相交，求m 的取值范围难度分级A 类参考答案 解： （1）设所求的反比例函数为y=错误！ 未找到引用源。 ，依题意得： 6=错误！未找到引用源。 ； k=12反比例函数为y=错误！未找到引用源。（2）设 P（x，y）是线段AB 上任一点，则有2x3，4y6；m=错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。m 错误！未找到引用源。 所以 m 的取值范围是错误！未找到引用源。m 3 2 （2009?长春）如图，点P 的坐标为（ 2，错误！未找到引用源。 ） ，过点 P作 x 轴的平行线交 y 轴于点A，交双曲线y=错误！未找到引用源。（x0）于点 N；作 PMAN 交双曲线y=错误！未找到引用源。（x0）于点 M，连接 AM 已知 PN=4（1）求 k 的值（2）求 APM 的面积难度分级A 类参考答案解： （1）点 P 的坐标为（ 2，错误！未找到引用源。 ） ， AP=2，OA= 错误！未找到引用源。 PN=4， AN=6 ，点 N 的坐标为（ 6， 错误！未找到引用源。 ） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 38 页把 N（6，错误！未找到引用源。 ）代入 y=错误！未找到引用源。中，得 k=9（2） k=9， y=错误！未找到引用源。 当 x=2 时，y=错误！未找到引用源。 MP=错误！ 未找到引用源。错误！ 未找到引用源。=3SAPM=错误！未找到引用源。 2 3=3【例题 5】如图， A、B 两点在函数y=错误！未找到引用源。 （ x0）的图象上（1）求 m 的值及直线AB 的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数难度分级B 类试题来源2009 年北京市高等中学招生考试选题意图本题考查了一次函数和反比例函数的图象性质，综合性较强，体现了数形结合的思想解题思路 （1）将 A 点或 B 点的坐标代入y=错误！未找到引用源。求出 m，再将这两点的坐标代入y=kx+b 求出 k、 b 的值即可得到这个函数的解析式；（2）画出网格图帮助解答参考答案 解： （1）由图象可知， 函数 错误！ 未找到引用源。 （x0）的图象经过点A（ 1，6） ，可得 m=6设直线 AB 的解析式为y=kx+b A（1，6） ，B（6，1）两点在函数y=kx+b 的图象上，166bkbk，解得71bk直线 AB 的解析式为y=x+7；（2）图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数是3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 38 页【课堂训练题】1如图，在平面直角坐标系中，直线y=x5 交 x 轴于 A，交 y 轴于 B，点 P（0， 1） ，D 是线段 AB 上一动点， DCy 轴于点 C，反比例函数 错误！未找到引用源。的图象经过点D（1）若 C 为 BP 的中点，求k 的值（2）DH DC 交 OA 于 H，若 D 点的横坐标为x，四边形DHOC 的面积为y，求 y 与 x 之间的函数关系式难度分级B 类参考答案解： （1） B 点是直线y=x5 与 y 轴的交点，x=0，y=5，即 B 点坐标为（ 0，5） ，点 P（0， 1） ，C 为 BP 的中点， C 点的坐标为（0， 3） ，D 点纵坐标为 3，即 3=x 5，x= 2， D 点坐标为（2， 3） ，D 在反比例函数y=错误！未找到引用源。的图象上， k=（ 2） （ 3）=6（2） D 点的横坐标为x，其纵坐标为x5，D 点在第三象限，x0， x50，y=|x|?|x5|=x?（x+5）= x25x2 （ 2006?北京）在平面直角坐标系xOy 中，直线y=x 绕点 O 顺时针旋转90 得到直线l，直线 l 与反比例函数 错误！未找到引用源。的图象的一个交点为A（a， 3） ，试确定反比例函数的解析式难度分级A 类精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 38 页参考答案解：依题意得，直线l 的解析式为y=x 因为 A（a， 3）在直线y=x 上，则 a=3即 A（3，3） 又因为 A（3，3）在 y=错误！未找到引用源。的图象上，可求得k=9，所以反比例函数的解析式为y=错误！未找到引用源。3 （ 2009?兰州）如图，已知A（ 4，n） ，B（2， 4）是一次函数y=kx+b 的图象和反比例函数 y=错误！未找到引用源。的图象的两个交点（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB 与 x 轴的交点C 的坐标及 AOB 的面积；（3）求方程kx+b错误！未找到引用源。=0 的解（请直接写出答案）；（4）求不等式kx+b 错误！未找到引用源。0 的解集（请直接写出答案）难度分级B 类参考答案 解： （1） B（2，4）在函数 y=错误！未找到引用源。的图象上， m= 8反比例函数的解析式为：y=错误！未找到引用源。 点 A（ 4，n）在函数 y= 错误！未找到引用源。的图象上，n=2， A（ 4，2） ，y=kx+b 经过 A（ 4，2） ，B（2， 4） ，4224bkbk，解之得：21bk一次函数的解析式为：y=x2（2） C 是直线 AB 与 x 轴的交点，当y=0 时， x=2点 C（ 2，0） ，OC=2SAOB=SACO+SBCO=错误！未找到引用源。 2 2+错误！未找到引用源。 2 4=6（3）x1=4，x2=2（4） 4x0 或 x2【例题 6】 水产公司有一种海产品共2104 千克，为寻求合适的销售价格，进行了 8 天试销，试销情况如下：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 38 页观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品的每天销售量y（千克）与销售价格x（元 /千克）之间的关系现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y（千克）与销售价格 x（元 /千克）之间都满足这一关系（1）写出这个反比例函数的解析式，并补全表格；（2）在试销 8 天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150 元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？（3）在按（ 2）中定价继续销售15 天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2 天内全部售出， 此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？难度分级C 类试题来源2009 年衢州市中考数学试题选题意图现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式解题思路 （1）根据图中数据求出反比例函数，再分别将y=40 和 x=240 代入求出相对应的 x 和 y；（2）先求出8 天销售的总量和剩下的数量m，将 x=150 代入反比例函数中得到一天的销售量 y，错误！未找到引用源。即为所需要的天数；（3）求出销售15 天后剩余的数量除2 得到后两天每天的销售量y，将 y 的值代入反比例函数中即可求出x参考答案解： （1） xy=12000 ，函数解析式为错误！未找到引用源。，将 y=40 和 x=240 代入上式中求出相对应的x=300 和 y=50，故填表如下：；（2）销售 8 天后剩下的数量m=2104（ 30+40+48+50+60+80+96+100 ）=1600，当 x=150 时， 错误！未找到引用源。=80 错误！未找到引用源。=160080=20，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 38 页所以余下的这些海产品预计再用20 天可以全部售出（3） 160080 15=400， 400 2=200，即如果正好用2 天售完，那么每天需要售出200 千克当 y=200 时， 错误！未找到引用源。=60所以新确定的价格最高不超过60 元/千克才能完成销售任务【课堂训练题】1 (2008 四川省巴中市 ) 为预防“手足口病” ，某校对教室进行“药熏消毒”已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（ mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例现测得药物10 分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8mg据以上信息解答下列问题：（1）求药物燃烧时y与x的函数关系式（2）求药物燃烧后y与x的函数关系式（3）当每立方米空气中含药量低于1.6mg 时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间学生才可以回教室？难度分级C 类参考答案解： （1）设药物燃烧阶段函数解析式为11(0)yk x k，由题意得：1810k，145k此阶段函数解析式为45yx（2）设药物燃烧结束后的函数解析式为22(0)kykx，由题意得：2810k，280k此阶段函数解析式为80yx（3）当1.6y时，得801.6x0 x，1.680 x，50 x从消毒开始经过50 分钟后学生才可回教室2(2009 辽宁省大连市) 甲、乙两车间生产同一种零件，乙车间比甲车间平均每小时多生产 30 个，甲车间生产600 个零件与乙车间生产900 个零件所用的时间相等，设甲车间平均每小时生产x 个零件，请按要求解决下列问题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 38 页（1）根据题意，填写下表：车间零件总个数平均每小时生产零件个数所用时间甲车间600 x x600乙车间900 _ _ （2）甲、乙两车间平均每小时各生产多少个零件？难度分级C 类参考答案解： （1）30 x，3900 x；（2）根据题意，得30900600 xx，解得60 x9030 x经检验60 x是原方程的解，且都符合题意答：甲车间每小时生产60 个零件，乙车间每小时生产90 个零件【例题 7】问题情境：已知矩形的面积为a（ a为常数， a0） ，当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？数学模型：设该矩形的长为x，周长为y，则 y 与 x 的函数关系式为 y=2（x+错误！未找到引用源。） （x0） 探索研究：（ 1）我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y=x+ 错误！未找到引用源。 （x0）的图象和性质填写下表，画出函数的图象；x 1 2 3 4 y 观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；求函数y=ax2+bx+c（a0 ） 的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到请你通过配方求函数y=x+错误！未找到引用源。 （x0）的最小值解决问题：（ 2）用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案难度分级C 类试题来源2011 年南京市中考数学试题（有改动）选题意图 本题主要考查对完全平方公式，反比例函数的性质，二次函数的最值，配方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 38 页的应用， 一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用学过的性质进行计算是解此题的关键解题思路（1）把 x 的值代入解析式计算即可；根据图象所反映的特点写出即可；根据完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，进行配方即可得到最小值；（2）根据完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，进行配方得到222axaxy，即可求出答案参考答案 解： （1）故答案为：错误！未找到引用源。 ，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。 ，2，错误！未找到引用源。 ，错误！未找到引用源。 ，错误！未找到引用源。 函数 y=x+错误！未找到引用源。的图象如图：答： 函数两条不同类型的性质是：当 0 x1 时，y 随 x 的增大而减小， 当 x1 时，y 随x 的增大而增大；当x=1 时，函数y=x+错误！未找到引用源。（x0）的最小值是2解：xxxxxxxxy12121122212xx，当01xx，即 x=1 时，函数y=x+错误！未找到引用源。 （x0）的最小值是2，答：函数y=x+ 错误！未找到引用源。 （x0）的最小值是2（2）答：矩形的面积为a（a 为常数， a0） ，当该矩形的长为a时，它的周长最小，最小值是a4【课堂训练题】1已知： A（a，y1） B（2a，y2）是反比例函数xky（k0）图象上的两点（1）比较 y1与 y2的大小关系；（2）若 A、 B 两点在一次函数bxy34第一象限的图象上（如图所示） ，分别过 A、B 两点作 x 轴的垂线，垂足分别为C、 D，连接 OA、OB，且 SOAB=8，求 a 的值；（3）在（ 2）的条件下，如果3m=4x+24，xn323，求使得m n的 x 的取值范围难度分级C 类精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 38 页参考答案解： （1） A、B 是反比例函数y=错误！未找到引用源。 （ k0）图象上的两点， a0 ，当 a0 时， A、B 在第一象限，由a 2a 可知， y1 y2，同理， a0 时， y1y2；（2） A（a，y1） 、B（2a， y2）在反比例函数y=错误！未找到引用源。 （k0）的图象上，AC=y1=错误！未找到引用源。 ，BD=y2=错误！未找到引用源。， y1=2y2又点 A（a，y1） 、B（2a，y2）在一次函数y=错误！ 未找到引用源。a+b 的图象上， y1=错误！未找到引用源。a+b，y2=错误！未找到引用源。a+b， 错误！未找到引用源。a+b=2（ 错误！未找到引用源。a+b） ， b=4a， SAOC+S梯形ACBD=SAOB+SBOD，又 SAOC=SBOD， S梯形ACBD=SAOB，错误！未找到引用源。 （错误！未找到引用源。 a+b） + （ 错误！未找到引用源。 a+b） ?a=8，a2=4， a0， a=2（3）由（ 2）得，一次函数的解析式为y=错误！未找到引用源。x+8，反比例函数的解析式为： y=错误！未找到引用源。，A、B 两点的横坐标分别为2、4，且 m=错误！未找到引用源。x+8，n=错误！未找到引用源。 ，因此使得 mn 的 x 的取值范围就是反比例函数的图象在一次函数图象下方的点中横坐标的取值范围，从图象可以看出x0 或 2x42如图，点P 是反比例函数 错误！未找到引用源。（k10，x0）图象上一动点，过点P作 x 轴、 y 轴的垂线，分别交x 轴、 y 轴于 A、B 两点，交反比例函数错误！未找到引用源。（k2 0 且 |k2|k1， ）的图象于E、F 两点（1）图 1中，四边形PEOF 的面积 S1=（用含 k1、 k2的式子表示） ；（2）图 2中，设 P点坐标为（ 2， 3） 点 E 的坐标是（，错误！未找到引用源。 ） ，点F 的坐标是（ 错误！未找到引用源。 ，） （用含 k2的式子表示） ；若 OEF 的面积为 错误！未找到引用源。 ，求反比例函数错误！ 未找到引用源。 的解析式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 38 页难度分级C 类参考答案解： （1） P 是点 P 是反比例函数xky1（k10，x 0）图象上一动点，S矩形PBOA=k1，E、F 分别是反比例函数xky2（k20 且|k2|k1， ）的图象上两点，SOBF=SAOE=错误！未找到引用源。|k2|，四边形 PEOF 的面积 S1=S矩形PBOA+SOBF+SAOE=k1+|k2|，k2 0，四边形 PEOF 的面积 S1=S矩形PBOA+SOBF+SAOE=k1+|k2|=k1k2（2） PEx 轴， PF y 轴可知， P、E 两点的横坐标相同，P、F 两点的纵坐标相同，E、F 两点的坐标分别为E（2，错误！未找到引用源。） ，F（错误！未找到引用源。 ，3） ； P（2，3）在函数y=错误！未找到引用源。的图象上， k1=6，E、F 两点的坐标分别为E（2，错误！未找到引用源。） ，F（错误！未找到引用源。 ，3） ；PE=3错误！未找到引用源。 ，PF=2错误！未找到引用源。，SPEF=错误！未找到引用源。（3错误！未找到引用源。） （2 错误！未找到引用源。）=错误！未找到引用源。，SOEF=（k1 k2） 错误！未找到引用源。=（6k2） 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，k20，k2=2反比例函数 错误！未找到引用源。的解析式为y=错误！未找到引用源。第三部分课后自我检测试卷精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 38 页A 类试题：1 （2010?丽江）反比例函数y=错误！未找到引用源。和一次函数y=kx k 在同一直角坐标系中的图象大致是（）ABCD2已知点M（ 3，y1） ，N（1，y2） ，P（3， y3）均在反比例函数y=错误！未找到引用源。 的图象上，试比较y1，y2，y3的大小关系是。3 （ 1）点（ 3，6）关于 y 轴对称的点的坐标是（2）反比例函数错误！未找到引用源。关于 y 轴对称的函数的解析式为（3）反比例函数 错误！未找到引用源。（k0 ）关于 x 轴对称的函数的解析式是4在学习了函数y=ax+b，y=ax，错误！未找到引用源。之后，几个同学讨论归纳了它们的特性，得出了以下结论：当 a 0 时，三种函数都经过第一，三象限；函数 y=ax+b，y=ax 中自变量x 可以是任意实数；当 a 0 时，函数y=ax+b，y=ax 随 x 增大而减小；当 a 0 时，函数 错误！未找到引用源。 ，y 随 x 增大而减小试判断哪几个结论是准确的，然后将错误的结论中选择一个说明理由并改正5如图，点 A 是反比例函数y=错误！未找到引用源。的图象上任意一点，延长AO 交该图象于点 B，AC x 轴， BC y 轴，求 RtACB 的面积6 （ 2010?贵港）已知点P（1，2）在反比例函数y=错误！未找到引用源。的图象上（1）当 x=2 时，求 y 的值；（2）当 1x4 时，求 y 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 38 页7已知：反比例函数23mxmy的图象是双曲线（1）求 m 的值；（2）若点（ 2，y1） ， （ 1，y2） ， （1，y3）都在双曲线上，试比较y1，y2，y3的大小关系8已知 y=y1+y2，y1与（ x1）成正比例， y2与（ x+1）成反比例，当x=0 时， y=3，当x=1 时， y=1（1）求 y 的表达式；（2）求当21x时 y 的值9如图所示，在平面直角坐标系中，A 是反比例函数y=错误！未找到引用源。（x0）图象上一点；作AB 垂直 x 轴于 B 点， AC 垂直 y 轴于 C 点，正方形OBAC 的面积为16（1）求该反比例函数的解析式；（2）若点 P 在反比例函数的图象上，连PO、PC 且 SPCO=6求 P 点的坐标10已知反比例函数错误！未找到引用源。（k 为常数）的图象过点（2，2） （）求这个反比例函数的解析式；（）当 3x 1 时，求反比例函数y 的取值范围；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 38 页（）若点A（x1，y1） ，B（x2， y2）是这个反比例函数图象上的两点，且x1 0 x2，试比较 y1，y2的大小，直接写结果B 类试题：11(2010 内蒙古鄂尔多斯市) 定义新运算：1()(0)aababaabbb且，则函数3yx的图象大致是（） 12 (2010 湖北省黄石市) 如图，反比例函数(0)kykx与一次函数12yxb的图象相交，于两点1122()()A xyB xy，线段AB交y轴于C， 当122xx且2AC