2022年二次函数知识点 2.pdf
二次函数知识点一、二次函数的定义1.一般地，形如2yaxbxc（a b c， ，为常数，0a）的函数称为x的二次函数，其中x为自变量，y为因变量，, ,a b c分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数. 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数2yaxbxc的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2abc， ，是常数， a是二次项系数，b是一次项系数，c 是常数项二、二次函数的性质1二次函数2yax0a（）的性质：（1） 抛物线2yax的顶点是坐标原点（0，0） ，对称轴是0 x（ y轴）. （2） 函数2yax的图像与 a的符号关系 . 当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点；2. 2yaxc的性质：3. 二次函数2yaxbxc0a（）的相关性质若二次函数解析式为2yaxbxc（或2()ya xhk）(0a)，则：（1） 开口方向：00aa向上向下，（2） 对称轴：2bxa（或xh） ，（3） 顶点坐标：24(,)24bacbaa（或( , )h k）（4） 最值：0a时有最小值244acba（或k） （如图 1） ；0a时有最大值244acba（或k） （如图 2） ；a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上00，y轴0 x时， y随 x的增大而增大；0 x时， y随 x的增大而减小；0 x时，y 有最小值00a向下00，y轴0 x时， y随 x的增大而减小；0 x时， y随 x的增大而增大；0 x时，y 有最大值0a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0c，y轴0 x时， y随 x的增大而增大；0 x时， y随 x的增大而减小；0 x时，y 有最小值 c 0a向下0c，y轴0 x时， y随 x的增大而减小；0 x时， y随 x的增大而增大；0 x时，y 有最大值 c 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页图1图2（5）单调性：二次函数2yaxbxc（0a）的变化情况（增减性） 如图 1 所示，当0a时，对称轴左侧2bxa， y 随着 x的增大而减小，在对称轴的右侧2bxa，y随x的增大而增大； 如图 2所示，当0a时，对称轴左侧2bxa， y 随着 x 的增大而增大，在对称轴的右侧2bxa， y 随 x的增大而减小；（6）与坐标轴的交点： 与 y轴的交点： （0， C） ； 与 x轴的交点： 使方程20axbxc（或2()0a xhk）成立的 x值. 3. 二次函数2yaxbxc图象的画法五点绘图法： 利用配方法将二次函数2yaxbxc化为顶点式2()ya xhk，确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标， 然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与 x轴的交点10 x ，20 x ，（若与 x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点） . 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y 轴的交点. 三、二次函数的图像与系数关系1. a决定抛物线的开口方向：当0a时抛物线开口向上；当0a时抛物线开口向下a决定抛物线的开口大小：a越大，抛物线开口越小；a越小，抛物线开口越大. 注：几条抛物线的解析式中，若a相等，则其形状相同，即若a相等，则开口及形状相同，若 a互为相反数，则形状相同、开口相反. 2. b和a共同决定抛物线对称轴的位置.（对称轴为：2bxa）当0b时，抛物线的对称轴为y轴；当,a b同号时，对称轴在y轴的左侧；当,a b异号时，对称轴在y轴的右侧 . 3. c 的大小决定抛物线与y轴交点的位置 .（抛物线与y轴的交点为0 c，）当0c时，抛物线与y轴的交点为原点；当0c时，交点在y轴的正半轴；当0c时，交点在y轴的负半轴 . 板块二二次函数图像特征函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2yax当0a时， 开口向0 x（ y轴）0 0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页2yaxk上当0a时， 开口向下0 x（ y轴）0 k，2ya xhxh0h，2ya xhkxhh k，2yaxbxc2bxa2424bacbaa，二、二次函数的三种表达方式（1）一般式：20yaxbxc a（2）顶点式：2ya xhk0a（3）双根式（交点式） ：120ya xxxxa2. 如何设点： 一次函数yaxb（0a）图像上的任意点可设为11xaxb，. 其中10 x时，该点为直线与 y 轴交点 . 二次函数2yaxbxc（0a）图像上的任意一点可设为2111xaxbxc，.10 x时，该点为抛物线与y 轴交点，当12bxa时，该点为抛物线顶点 点11xy，关于00 xx，的对称点为010122xxyy，4. 如何设解析式： 已知任意 3 点坐标，可用一般式求解二次函数解析式； 已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式； 已知抛物线与x的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式. 已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可用对称点式求解函数解析式（交点式可视为对称点式的特例）注：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式， 只有抛物线与x轴有交点， 即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. 一、二次函数与一次函数的联系一次函数0ykxn k的图像l与二次函数20yaxbxc a的图像G的交点，由方程组2ykxnyaxbxc的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点 ; 方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点 . 二、二次函数与方程、不等式的联系1.二次函数与一元二次方程的联系：1.直线与抛物线的交点: （1） y 轴与抛物线2yaxbxc得交点为 (0, c). （ 2 ） 与y轴 平 行 的 直 线xh与 抛 物 线2yaxbxc有 且 只 有 一 个 交 点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页(h,2ahbhc). （3）抛物线与x轴的交点 :二次函数2yaxbxc的图像与 x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程20axbxc的两个实数根 .抛物线与 x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与 x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与 x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离 . （4）平行于 x轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 .当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是2axbxck的两个实数根 . （ 5）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线2yaxbxc与 x 轴两交点为1200A xB x， ，由于1x、2x是方程20axbxc的两个根，故1212,bcxxxxaa222212121212444bcbacABxxxxxxx xaaaa2.二次函数常用解题方法 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc中 a，b，c 的符号，或由二次函数中a，b， c 的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)axbxc a本身就是所含字母 x的二次函数；下面以0a时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0抛物线与x 轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0抛物线与x 轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0抛物线与x 轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根. 3.二次函数与一元二次方程之根的分布（选讲）所谓一元二次方程，实质就是其相应二次函数的零点（图象与x轴的交点问题，因此，二次方程的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用数形结合的方法来研究是非常有益的设20fxaxbcc a的 二 实 根为1x，2x，12xx，24bac，且，是预先给定的两个实数 当两根都在区间，内，方程系数所满足的充要条件：12xx，对应的二次函数fx的图象有下列两种情形：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页x1x2a 0OxyyxOx2x1当0a时的充要条件是：0，2ba，0f，0f当0a时的充要条件是：0，2ba，0f，0f两种情形合并后的充要条件是：0200baff， 当两根中有且仅有一根在区间,内，方程系数所满足的充要条件；1x或2x，对应的函数fx的图象有下列四种情形：x1xyOx1xyOxyx1Oxyx1O从四种情形得充要条件是：0ff 当两根都不在区间，内方程系数所满足的充要条件：当两根分别在区间，的两旁时；12xx对应的函数fx的图象有下列两种情形：xyx2x1OOx1x2yx当0a时的充要条件是：0f，0f当0a时充要条件是：0f，0f精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页两种情形合并后的充要条件是：()0f，()0f当两根分别在区间,之外的同侧时：12xx或12xx，对应函数fx的图象有下列四种情形：xyx1x2Oxyx1x2Oxyx1x2Oxyx1x2O当12xx时的充要条件是：0，2ba，0f 当12xx时的充要条件是：0，2ba，0f 4 区间根定理如果在区间a b，上有0faf b，则至少存在一个xa b，使得0fx此定理即为区间根定理，又称作勘根定理，它在判断根的位置的时候会发挥巨大的威力f(b)f(a)ba二次函数与三角形在直角坐标系中， 已知三角形三个顶点的坐标，如果三角形的三条边中有一条边与坐标轴平行，可以直接运用三角形面积公式求解三角形面积.如果三角形的三条边与坐标轴都不平行，则通常有以下方法：EDCBAFEDABCDFEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页h45DCBA1.如图，过三角形的某个顶点作与x轴或 y轴的平行线，将原三角形分割成两个满足一条边与坐标轴平行的三角形，分别求出面积后相加1122ABCACDADBCBACECEBABSSSADyySSCExx其中 D , E 两点坐标可以通过BC或 AB 的直线方程以及A 或C点坐标得到2.如图，首先计算三角形的外接矩形的面积，然后再减去矩形内其他各块面积ABCDEBFDACAEBCBFSSSSS. 所涉及的各块面积都可以通过已知点之间的坐标差直接求得3.如图，通过三个梯形的组合，可求出三角形的面积.该方法不常用111222ABCADEBCFEBADFCABABBCBcCSSSSxxyyxxyyxxyy4.如图，作三角形的高，运用三角形的面积公式求解四边形的面积该方法不常用，如果三角形的一条边与0 xy平行，则可以快速求解12ABCSh BC二次函数图象的平移1. 平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk，确定其顶点坐标hk，； 保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：向右(h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k0)】平移 |k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax22. 平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减”精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页二、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称2ya xb xc关于x轴对称后，得到的解析式是2ya xb xc；2ya xhk关于x轴对称后，得到的解析式是2ya xhk；2. 关于y轴对称2ya xb xc关于y轴对称后，得到的解析式是2ya xb xc；2ya xhk关于y轴对称后，得到的解析式是2ya xhk；3. 关于原点对称2ya xb xc关于原点对称后，得到的解析式是2ya xb xc；2ya xhk关于原点对称后，得到的解析式是2ya xhk；4. 关于顶点对称2ya xb xc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；2ya xhk关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk5. 关于点mn，对称2ya xhk关于点mn，对称后，得到的解析式是222ya xhmnk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
