2022年中考数学复习滚动小专题圆的有关计算与证明 .pdf

学习必备欢迎下载滚动小专题（八）圆的有关计算与证明圆的有关计算与证明是中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查， 以计算题、 证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系. 例(2014 江西 ) 如图 1，AB是 O的直径，点C在 AB的延长线上， AB 4，BC 2，P是O上半部分的一个动点，连接OP ， CP. (1) 求 OPC 的最大面积；(2) 求 OCP 的最大度数；(3) 如图 2，延长 PO交 O于点 D，连接 DB.当 CP DB时，求证： CP是 O的切线 . 【思路点拨】 (1) 当 OP OC时 OPC 的面积最大， 利用已知条件即可求出OPC 的最大面积；(2) 当 PC与 O相切时 OCP 的度数最大，利用三角函数可求出OCP 的最大度数；(3) 连接 AP ，BP ，由圆的有关知识可得OPC PBD ，从而得出 OPC PBD ，继而可证得结论【解答】 (1) OPC 的边长 OC的是定值，当 OP OC时， OC边上的高为最大值，此时OPC 的面积最大 . AB4，BC 2，OP OB 2，OC OB+BC 4. S OPC12OC OP 12424, 即 OPC的最大面积为4. (2) 当 PC与 O相切，即OP PC时， OCP的度数最大 . 在 RtOPC 中， OPC 90， OC 4，OP 2，sin OCP OPOC12， OCP 30. (3) 证明：如图2，连接 AP，BP. AOP DOB ， AP DB. CPDB ， AP PC ， A C. A D， C D. OC PD 4，PC BD ， OPC PBD ， OPC PBD. PD是 O的直径，PBD 90， OPC 90， OP PC. 又 OP是 O的半径， CP是 O的切线 . 方法归纳： 与圆有关的计算和证明通常都与切线有关，切线的性质和判定的运用是解决这类题目的关键 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习必备欢迎下载1. (2014 黄石 ) 如图， A、 B是圆 O上的两点，AOB=120 ， C是 AB弧的中点 . (1) 求证： AB平分 OAC ；(2) 延长 OA至 P使得 OA=AP ，连接 PC ，若圆 O的半径 R=1，求 PC的长 . 2. (2014 昆明 ) 如图，在 ABC中， ABC=90 ， D是边 AC上的一点，连接BD ，使 A=21，E是 BC上的一点，以BE为直径的 O经过点 D. (1) 求证： AC是 O的切线；(2) 若 A=60， O的半径为2，求阴影部分的面积.( 结果保留根号和) 3. (2014 东营 ) 如图， AB是 O的直径， OD垂直于弦 AC于点 E，且交 O于点 D，F 是 BA延长线上一点，若CDB= BFD. (1) 求证： FD是 O的一条切线；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习必备欢迎下载(2) 若 AB=10 ，AC=8 ，求 DF的长 . 4. (2013 丽水 ) 如图，在 ABC中， AB=AC ， BAC=54 ，以 AB为直径的 O分别交 AC 、BC于点 D、 E ，过点 B作 O的切线，交AC的延长线于点F. (1) 求证： BE=CE ；(2) 求 CBF的度数；(3) 若 AB=6 ，求AD的长 . 5. (2014 临沂 ) 如图，已知等腰三角形ABC的底角为30，以 BC为直径的 O 与底边AB交于点 D，过 D作 DE AC ，垂足为E. (1) 证明： DE为 O的切线；(2) 连接 OE ，若 BC=4 ，求 OEC 的面积 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习必备欢迎下载6. (2013 泸州 ) 如图， D为 O上一点，点C在直径 BA的延长线上，且CDA= CBD. （1）求证： CD2=CA CB ；（2）求证： CD是 O的切线；（3）过点 B作 O的切线交CD的延长线于点E，若 BC=12 ，tan CDA=23. 求 BE的长 . 参考答案1. (1) 证明：连接OC. AOB=120 ， C是 AB弧的中点， AOC= BOC=60 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学习必备欢迎下载OA=OC ， ACO 是等边三角形. OA=AC. 同理 OB=BC. OA=AC=BC=OB. 四边形AOBC 是菱形 . AB平分 OAC. (2) C为弧 AB中点， AOB=120 ， AOC=60 . OA=OC ， OAC 是等边三角形. OA=AC ， AP=AC. APC=30 . OPC是直角三角形 . PC=3OC=3.2. (1) 证明： OD=OB ， 1=ODB ， DOC= 1+ODB=2 1. 又 A=2 1， DOC= A. A+C=90 ， DOC+ C=90，OD DC. AC是 O的切线 . (2) A=60， C=30， DOC=60 . 在 RtDOC 中， OD=2 ， CD=3OD=23. 阴影部分的面积=SCOD-S扇形 DOE=122 23-2602360=23-23.3. (1) 证明： CDB= CAB ， CDB= BFD ， CAB= BFD ， FD AC. AEO=90 ， FDO=90 ，FD是 O的一条切线 . (2) AB=10 ，AC=8，DO AC ，AE=EC=4 ， AO=5 ， EO=3. AEFD， AEO FDO. AEFD=EODO. 35=4FD，解得 FD=203. 4. (1) 证明：连接AE ，AB是 O的直径， AEB=90 ，即 AE BC. 又 AB=AC ， BE=CE. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习必备欢迎下载(2) BAC=54 ， AB=AC ， ABC=63 . 又 BF是 O的切线，ABF=90 ， CBF= ABF- ABC=27 . (3) 连接 OD. BAC=54 ， BOD=108 ， AOD=72 . 又 AB=6 ， OA=3. AD=723180=65. 5. (1) 证明：连接OD ，CD. BC为 O直径， BDC=90 ，即 CD AB. ABC是等腰三角形，AD=BD. OB=OC ， OD是 ABC的中位线 . OD AC. DEAC ， OD DE. D点在 O上， DE为 O的切线 . (2) A= B=30， BC=4，CD=12BC=2 ，BD=BC cos30=23. AD=BD=23， AB=2BD=43，S ABC=12ABCD=1243 2=43. DEAC ， DE=12AD=1223=3，AE=AD cos30=3. S ODE=12OD DE=1223=3，SADE=12AE DE=1233=323. S BOD=12SBCD=1212SABC=1443=3，S OEC=SABC-SBOD-S ODE-SADE=43-3-3-323=32. 6. (1) 证明： CDA= CBD ， C=C， CAD CDB,CDCB=CACD. CD2=CA CB. (2) 证明：连接OD ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习必备欢迎下载AB是 O的直径， ADB=90 . OB=OD ， OBD= ODB. OBD= CDA ， CDA= ODB. ODC= ADB=90 , CD是 O的切线 . (3) tan CDA=23， tan CBD=23. 在 RtABD中， tan CBD=ADBD=23，由(1) 得 CAD CDB ，CDBC=ADBD=23. CD=8.设 BE=x，则 DE=x ，由勾股定理得x2+122=(x+8)2. 解得 x=5，即 BE=5. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页