2022年二元一次不定方程的解法总结与例题 .pdf

精品资料欢迎下载探究二元一次不定方程（Inquires into the dual indefinite equation）冯晓梁（ XiaoLiang Feng ） （江西科技师范学院数计学院数一班 330031）【摘要】 : 二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次不定方程问题加以解决。我们讨论二元一次方程的整数解。The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution. 【关键字】： 二元一次不定方程初等数论整数解（Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution）二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是1 的方程叫做二元一次方程。一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；等号两边的代数式是整式；具有两个未知数；未知项的次数是1。如：2x-3y=7 是二元一次方程，而方程4xy-3=0 中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是 1，但是未知项 4xy 的次数是 2，所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。定理 1. 形如(不同时为零 ) 的方程称为二元一次不定方程。1 二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限个。通常求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数，如 x-2y=3 变形为 x=3+2y， 然后给出一个 y 的值就能求出 x 的一个对应值， 这样得到的 x、y 的每对对应值，都是x-2y=3 的一个解。定理 2. 方程有解的充要是；2 若，且为的一个解，则方程的一切解都可以表示成：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页精品资料欢迎下载（t 为任意整数）定理 2 的扩展 .元一次不定方程，() 有解的充要条件是. 方法与技巧：1解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。若有解，可先求一个特解，从而写出通解。当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；2 解元一次不定方程时， 可先顺次求出，. 若，则方程无解；若|，则方程有解，作方程组：求出最后一个方程的一切解， 然后把的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。对于解不定方程（组），二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常化为二元一次不定方程问题加以解决，设a，b，c，d 为整数，则不定方程 ax+by=c 有如下两个重要命题：（1）若（a，b）=d，且 d 不等于 c，则不定方程 ax+by=c 没有整数解。（2）若 Xo，Yo是方程 ax+by=c 且（a， b）=1 的一组整数解（称特解）， 则 x=Xo+bt ，（t 为整数）y=Yo-at 是方程的全部整数解（称通解）。求：方程 5x-3y=-7 的正整数解 . 解: 原方程 X=(3y-7)/5 即 X=-2+3(y+1)/5 (1) Y=4时,x=1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页精品资料欢迎下载即 X=1 Y=4 为原方程的一组整数解 , 因此, 原方程的所有整数解为X=1-3k (k 为任意整数 ) Y=4-5k 再令 X大于 0,y 大于 0, 即有不等式组1-3k 大于 0 4-5k 大于 0 解得 K小于 1/3, 所以当 k 取 0,-1,-2, 时原方程可得到无穷多组正整数X=1-3k (k=0,-1,-2, ) Y=4-5k题：某人家的电话号码是八位数，将前四位数组成的数和后四位组成的数相加得14405，将前三位组成的数雨后五位相加得16970，求这个人家中的电话号码。解：可将两个已知条件变为两个方程，用方程只是去解决。关键是怎么样设未知数，不妨将 a b c d e f g h的 a b c 设为 x；d 设为 y，e f g h 设为 z 可以很快构造出方程组。设电话号码是 10000 x+10000y+z，其中 x，y，z 均为自然数，且 100 x999，0y9， 10 x+y+z=14405. 1000z9999，则 x=10000y+z=16970 。- 化简得 1111y-x=285，即 1111y=x+285. 100 x999， 385 x+2851284。385/1111y1284/1111 又y 为整数y=1，x=826，z=6144 即 此电话号码为 82616144. 例：（1）求方程 15x+52y=6的所有整数解。（2）求不定方程 5x+7y=978的正整数解的组数。解：对于（ 1），通过观察或辗转相除法，先求出特解；对于(2) ，先表示出方程的全部整数解，再解不等式组确定方程的正整数解的组数；【解法一】（ 1）观察易得一个特解x=42，y=-12 ，原方程所有整数解为x=42-52t ，（t 为整数） y=-12+15t 【解法二】（ 1）x=-4y+ 6+8y/15 , 令 6+8y/15= t1 , 得 y=2 t1- t1+6 / 8, 令 t1+6 / 8=t,得 t1=8t-6 ，化简得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页精品资料欢迎下载x=42-52t ，（t 为整数） y=-12+15t （2）可得原不定方程的通解为 x=197-7t （t 为整数） y=-1+5t 由 x0，y0 得 1 t 28 即原不定方程有 28 个正整数解。利用辗转相除法求整数解：例 求方程 407x-2816y=33 的一个整数解，并写出它的通解解：将方程化简为37x-256y=3 即 37x+256（-y ）=3 256=637+34 37=134+3 34=113+1 1=34-113=（256-637）- 1137 - （256-637） =256-637- 1137+11256- 6637=37（ -6-11-66 ）+256（1+11）即 37（-83）+25612=1 上式各项乘以 3 得 37（-249）+25636=3 原方程的一个整数解是Xo =-249 Yo =-36 通解为 （t 为任意整数）x=-249+256t y=-36-37t 这就是用辗转相除法解的，这种方适用于所有的有整数解的方程。因为1是所有整数的约数。辗转相除总能除到余数为1，再逆推，化为原不定方程的形式。但用辗转相除除到余数为 1，再逆推，这一过程较繁，若除到余数是常数项的约数，也可逆推，化为原不定方程的形式，这样就简便些。又如解不定方程 13x+15y=8 解： 15=13+2 （2 是常数 8 的约数）2=15-13 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页精品资料欢迎下载即 8=13（-4）+154 方程一特解Xo =-4 Yo =4 所以原方程的通解为x=-4+15t y=4-13t 求不定方程 47x-97y=501 的整数解解：97=472+3 (3 是 501 的约数 ) 3=97-472 ( 左右同乘 167) 即 501=97167- 47334 47(-334)- 97(-167)=501 Xo =-334 方程的一个特解为 Yo =-167 x=-334+97t 不定方程的通解 (t为整数 ) y=-167+47t 上述用辗转相除 , 除到余数是常数的约数就逆推化为原不定方程的形式, 从而求出它的一个特解的方法 , 得出通解。参考文献：1 闵嗣鹤 严士健，初等数论【 M 】 ，高等教育出版社， 20XX年 7 月第 3 版，P25 2 闵嗣鹤 严士健，初等数论【 M 】 ，高等教育出版社， 20XX年 7 月第 3 版,P25 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页精品资料欢迎下载二元一次不定方程的解法我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程x-2y=3，方程组等，它们的解是不确定的像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组不定方程 ( 组) 是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富我国对不定方程的研究已延续了数千年， “百鸡问题” 等一直流传至今， “物不知其数” 的解法被称为中国剩余定理 近年来，不定方程的研究又有新的进展学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能我们先看一个例子例 小张带了 5 角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3 分，铅笔每支 1 角 1 分，问 5 角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？解 设小张买了 x 块橡皮， y 支铅笔，于是根据题意得方程3x+11y=50这是一个二元一次不定方程从方程来看，任给一个x 值，就可以得到一个y 值，所以它的解有无数多组但是这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，而橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零，所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解因为铅笔每支 1 角 1 分，所以 5 角钱最多只能买到 4 支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是 0，1，2，3，4 支，即 y 的取值只能是 0，1，2，3，4 这五个若 y=3，则 x=17/3，不是整数，不合题意；若 y=4，则 x=2，符合题意所以，这个方程有两组正整数解，即也就是说， 5 角钱刚好能买 2 块橡皮与 4 支铅笔，或者 13块橡皮与 1 支铅笔像这个例子，我们把二元一次不定方程的解限制在非负整数时，那么它的解就确定了 但是否只要把解限制在非负整数时，二元一次不定方程的解就一定能确定了呢？不能！现举例说明例 求不定方程 x-y=2的正整数解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页精品资料欢迎下载解 我们知道： 3-1=2，4-2=2，5-3=2，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是其中 n 可以取一切自然数因此，所要解的不定方程有无数组正整数解，它的解是不确定的上面关于橡皮与铅笔的例子，我们是用逐个检验的方法来求它们的非负整数解的，但是这种方法在给出的数比较大的问题或者方程有无数组解的时候就会遇到麻烦那么能不能找到一个有效而又方便的方法来求解呢？我们现在就来研究这个问题，先给出一个定理定理 如果 a，b 是互质的正整数， c 是整数，且方程ax+by=c 有一组整数解 x0，y0则此方程的一切整数解可以表示为其中 t=0，1，2，3，证 因为 x0，y0是方程的整数解，当然满足ax0+by0=c， 因此a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c这表明 x=x0-bt ，y=y0+at 也是方程的解设 x，y是方程的任一整数解，则有ax+bx=c. -得a(x -x0)=b(y -y0) 由于(a，b)=1，所以 ay-y0，即 y=y0+at，其中 t 是整数将 y=y0+at 代入，即得 x=x0-bt 因此 x， y 可以表示成 x=x0-bt ，y=y0+at 的形式，所以 x=x0-bt ，y=y0+at表示方程的一切整数解，命题得证有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解例 1 求 11x+15y=7的整数解解法 1 将方程变形得因为 x 是整数，所以 7-15y 应是 11 的倍数由观察得 x0=2，y0=-1 是这个方程的一组整数解，所以方程的解为解法 2 先考察 11x+15y=1，通过观察易得11( -4)+15(3)=1 ，所以11( -47)+15(37)=7，可取 x0=-28，y0=21从而可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的将解中的参数 t 做适当代换，就可化为同一形式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页精品资料欢迎下载例 2 求方程 6x+22y=90的非负整数解解 因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2 得3x+11y=45 由观察知， x1=4，y1=-1 是方程3x+11y=1 的一组整数解，从而方程的一组整数解为由定理，可得方程的一切整数解为因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有由于 t 是整数，由，得15t 16，所以只有 t=15，t=16 两种可能当 t=15 时，x=15，y=0；当 t=16 时，x=4，y=3所以原方程的非负整数解是例 3 求方程 7x+19y=213的所有正整数解分析 这个方程的系数较大， 用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解解 用方程7x+19y=213 的最小系数 7 除方程的各项，并移项得因为 x，y 是整数，故 3-5y/7=u 也是整数，于是5y+7u=3儆 *5 除此式的两边得2u+5v=3 由观察知 u=-1， v=1是方程的一组解将 u=-1， v=1 代入得 y=2 y=2代入得 x=25 于是方程有一组解x0=25，y0=2，所以它的一切解为由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得 t 只能取 0，1因此得原方程的正整数解为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页精品资料欢迎下载当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明例 4 求方程 37x+107y=25的整数解解 107=237+33，37=133+4，33=84+1为用 37 和 107 表示 1，我们把上述辗转相除过程回代，得1=33-84=37-4-84=37-94 =37-9(37-33)=933-837 9(107-237)8379107-2637 =37(-26)+1079由此可知 x1=-26，y1=9是方程 37x+107y=1的一组整数解于是x0=25(-26)=-650，y0=259=225 是方程 37x+107y=25的一组整数解所以原方程的一切整数解为例 5 某国硬币有 5 分和 7 分两种，问用这两种硬币支付142 分货款，有多少种不同的方法？解 设需 x 枚 7 分，y 枚 5 分恰好支付 142分，于是7x+5y=142. 所以由于 7x142，所以 x20，并且由上式知 52(x -1) 因为(5 ，2)=1，所以 5x-1，从而 x=1，6，11，16，的非负整数解为所以，共有 4 种不同的支付方式说明 当方程的系数较小时， 而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程例 6 求方程 9x+24y-5z=1000的整数解解 设 9x+24y=3t，即 3x+8y=t，于是 3t -5z=1000于是原方程可化为用前面的方法可以求得的解为的解为消去 t ，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页精品资料欢迎下载大约 1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的张丘建算经里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例例 7 今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只用100个钱买 100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？解 设公鸡、母鸡、小鸡各买x，y，z 只，由题意列方程组化简得 15x+9y+z=300 -得 14x+8y=200，即 7x+4y=100解 7x+4y=1 得于是 7x+4y=100的一个特解为由定理知 7x+4y=100的所有整数解为由题意知， 0 x，y，z100，所以由于 t 是整数，故 t 只能取 26，27，28，而且 x，y，z 还应满足x+y+z=100t x y z 26 4 18 78 27 8 11 81 28 12 4 84 即可能有三种情况： 4 只公鸡， 18 只母鸡， 78 只小鸡；或 8 只公鸡， 11 只母鸡， 81只小鸡；或 12 只公鸡， 4 只母鸡， 84 只小鸡练习1求下列不定方程的整数解：(1) 72x+157y=1 ；(2)9x+21y=144 ；(3)103x -91y5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页精品资料欢迎下载2求下列不定方程的正整数解：(1)3x -5y=19； (2)12x+5y=125 3求下列不定方程的整数解：(1)5x+8y+19z=50 ； (2)39x -24y+9z=784求不定方程 2x+5y+7z+3t=10 的整数解5求不定方程组的正整数解 . 不定方程与整数拆分求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法，与此相关或涉及整数分拆的数论问题补充说明：对于不定方程的解法，本讲主要利用同余的性质来求解，对于同余性质读者可参考思维导引详解五年级 第 15 讲余数问题 . 解不定方程的4 个步骤：判断是否有解；化简方程；求特解；求通解本讲讲解顺序：包括 1、2、3 题包括 4、5 题包括 6、7 题，其中步骤中加入百鸡问题复杂不定方程：、依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程整数分拆问题：11、12、13、14、15 1在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4 的数有多少个? 【分析与解】设这个两位数为ab，则数字和为ab，这个数可以表达为10ab，有104abab即1044abab，亦即2ba注意到a和b都是 0 到 9 的整数，且a不能为 0，因此a只能为 1、2、3 或 4，相应地b的取值为2、4、6、8综上分析，满足题目条件的两位数共有4 个，它们是12、24、36 和 48 2设 A和 B都是自然数，并且满足1711333AB,那么 A+B 等于多少 ? 【分析与解】将等式两边通分，有3A+llB=17, 显然有 B=l， A=2时满足，此时A+B=2+1=3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页精品资料欢迎下载 3甲级铅笔7 分钱一支， 乙级铅笔3 分钱一支 张明用 5 角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支? 【分析与解】设购买甲级铅笔x支，乙级铅笔y支有 7x+3y=50， 这个不定方程的解法有多种，在这里我们推荐下面这种利用余数的性质来求解的方法：将系数与常数对3 取模 ( 系数 7，3 中， 3 最小 ) ：得x=2(mod 3) ，所以x可以取 2，此时y取 12；x还可以取2+3=5，此时y取 5；即212xy、55xy,对应xy为 14、10 所以张明用5 角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共14 支或 10 支4有纸币60 张，其中1 分、 l 角、 1 元和 10 元各有若干张问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元? 【分析与解】设 1 分、 1 角、 1 元和 10 元纸币分别有a 张、 b 张、 c 张和 d 张，列方程如下：由60 110100100010000 2abcdabcd (2)(1)得9999999940bcd注意到式左边是9 的倍数， 而右边不是9 的倍数，因此无整数解，即这些纸币的总面值不能恰好为100元 5. 将一根长为374 厘米的合金铝管截成若干根36 厘米和 24 厘米两种型号的短管， 加工损耗忽略不计 问：剩余部分的管子最少是多少厘米? 【分析与解】24 厘米与 36 厘米都是12 的倍数，所以截成若干根这两种型号的短管，截去的总长度必是 12 的倍数，但374 被 12 除余 2，所以截完以后必有剩余剩余管料长不小于2 厘米另一方面， 374=2712+412+2，而3612=3，2412=2，有39+2 2=31即可截成9 根 36 厘米的短管与 2 根 24 厘米的短管，剩余2 厘米因此剩余部分的管子最少是2 厘米 6 某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参加男职工每人种 13 棵树，女职工每人种10 棵树，每个孩子种6 棵树，他们一共种了216 棵树那么其中有多少名男职工 ? 【分析与解】设男职工x人，孩子y人，则女职工3y-x人( 注意，为何设孩子数为y人，而不是设女职工为y人) ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页精品资料欢迎下载那么有1310 36xyxy=216，化简为336xy=216，即12xy=72有122436486054321xxxxxyyyyy. 但是，女职工人数为3yx必须是自然数，所以只有125xy时，33yx满足那么男职工数只能为12 名 7 一居民要装修房屋，买来长0.7 米和 O.8 米的两种木条各若干根如果从这些木条中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如：O.7+O.7=1.4 米， 0.7+0.8=1.5米那么在3.6 米、 3.8 米、 3.4米、 3.9 米、 3.7 米这 5 种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的? 【分析与解】设 0.7 米， 0.8 米两种木条分别x，y根，则 0.7x+0.8y=3.4 3.6 ，即 7x+8y=34，36， 37，38，39 将系数，常数对7 取模，有y6，l ， 2，3，4(mod 7) ，于是y最小分别取6,1, 2，3，4但是当y取 6 时，86=48 超过 34，x无法取值所以 3.4 米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的 8. 小萌在邮局寄了3 种信， 平信每封8 分，航空信每封1 角，挂号信每封角， 她共用了1 元 2 角 2 分那么小萌寄的这3 种信的总和最少是多少封? 【分析与解】显然，为了使3 种信的总和最少，那么小萌应该尽量寄最贵的挂号信，然后是航空信，最后才是平信但是挂号信、航空信的邮费都是整数角不会产生几分所以， 2 分， 10n+2 分应该为平信的邮费，n最小取 3，才是 8 的倍数，所以平信至少要寄4 封，此时剩下的邮费为122-32=90 ，所以再寄4 封挂号信，航空信1 封即可于是，小萌寄的这3 种信的总和最少是4+1+4=9 封 9.有三堆砝码，第一堆中每个砝码重3 克，第二堆中每个砝码重5 克，第三堆中每个砝码重7 克现在要取出最少个数的砝码，使它们的总重量为130 克那么共需要多少个砝码?其中 3 克、5 克和 7 克的砝码各有几个 ? 【分析与解】为了使选取的砝码最少，应尽可能的取7 克的砝码 1307： 18 4，所以 3 克、 5 克的砝码应组合为4 克，或 4+7k克重设 3 克的砝码x个， 5 克的砝码y个，则3547xyk当k=0 时，有354xy，无自然数解；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页精品资料欢迎下载当k=1 时，有3511xy，有x=2，y=1，此时 7 克的砝码取17 个，所以共需 2+1+17=21 个砝码，有3 克、 5 克和 7克的砝码各2、1、17 个当k1 时， 7 克的砝码取得较少，而3、5 克的砝码却取得较多，不是最少的取砝码情形所以共需2+1+17=20 个砝码，有3 克、 5 克和 7 克的砝码各2、 1、17 个 10 5 种商品的价格如表81，其中的单位是元现用60 元钱恰好买了10 件商品，那么有多少种不同的选购方式 ? 【分析与解】设 B、C、 D、E、A商品依次买了b、c、d、e、(10-b-c-d-e) 件，则有2.9 104.77.210.614.9bcdebcde=60184377120bcde=310，显然e只能取 0，1，2有184377bcd=310，其中 d 可取 0，1，2，3，4 (1)当 d=0 时，有1843bc=310，将系数，常数对6 取模得：c4(mod 6)，于是c最小取 4，那么有18b=310- 434=138， b 不为自然数所以d=0 时。不满足；(2)有1843bc=233，将系数，常数对6 取模得：c5(mod 6),于是最小, 那么有 18b=233- 43 5=18,；(3)有1843bc=156，将系数，常数对6 取模得：cO(mod 6) ，于是c最小取 0，那么有18b=156，b 不为自然数，所以d=2 时，不满足；(4)有1843bc=79，将系数、常数对6 取模得：c1(mod 6) ，于是最小那么有 18b=7943=36(5) 当 d=4 时，有1843bc=2，显然不满足有184377bcd=190，其中 d 可以取 0、1、2(1)有1843bc=190，将系数、常数对6 取模有：c4(mod 6) ，于是最小那么有 18b=190-43 4=18,(2) 当 d=1 时，有1843bc=113，将系数、常数对6 取模有：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页精品资料欢迎下载c5(mod 6) ，于是c最小取 5，即 18b+215=113，显然 d=1 时，不满足；(3)有1843bc=36, 显然有时有184377bcd=70，d只能取 0，有1843bc=70，将系数、常数对6 取模有：c4(rood 6)，于是c最小取 4，那么有18b+172=70，显然不满足最后可得到如下表的满足情况：共有 4 种不同的选购方法 11 有 43 位同学，他们身上带的钱从8 分到 5 角，钱数都各不相同每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片画片只有两种：3 分一张和5 分一张每11 人都尽量多买5 分一张的画片问他们所买的3 分画片的总数是多少张? 【分析与解】钱数除以5余 0， 1，2，3，4 的人，分别买0，2，4，1，3 张 3 分的画片因此，可将钱数 8分至 5 角 2分这 45种分为 9组， 每连续 5个在一组，每组买 3分画片 0+2+4+1+3=10张， 9组共买 109=90张，去掉 5 角 1 分钱中买的2 张 3 分画片， 5 角 2 分中买的 4 张 3 分画片， 43 个人买的 3 分画片的总数是90-2-4=84 张 12 哥德巴赫猜想是说：“每个大于2 的偶数都可以表示成两个质数之和”试将168 表示成两个两位质数的和，并且其中的一个数的个位数字是1【分析与解】个位数字是1 的两位质数有11，31，41，61，71其中 168-11=157，168-31=137 ，168-41=127 ，168-61=107 ，都不是两位数，只有168-71=97 是两位数，而且是质数，所以168=71+97 是惟一解13(1) 将 50 分拆成 10 个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大质数是多少? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页精品资料欢迎下载(2) 将 60 分拆成 10 个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是多少? 【分析与解】 (1) 首先确定这10 个质数或其中的几个质数可以相等，不然10 个互不相等的质数和最小为 2+3+5+7+11+13+17+19+23+29，显然大于50所以，其中一定可以有某几个质数相等欲使最大的质数尽可能大，那么应使最小的质数尽可能小，最小的质数为2，且最多可有9 个 2，那么最大质数不超过5029=32，而不超过32 的最大质数为31又有82502222331个，所以满足条件的最大质数为31 (2) 最大的质数必大于5，否则 10 个质数的之和将不大于50所以最大的质数最小为7，为使和为60，所以尽可能的含有多个7607=84，8760=7+7+7+7+4个，而 4=2+2，恰好有8760=7+7+7+7+2+2个即 8 个 7 与 2 个 2的和为 60，显然其中最大的质数最小为7 14 有 30 个贰分硬币和8 个伍分硬币，用这些硬币不能构成的1 分到 1 元之间的币值有多少种? 【分析与解】注意到所有38 枚硬币的总币值恰好是100 分( 即 1 元) ，于是除了50 分和 100 分外，其他98 种币值就可以两两配对了，即 (1，99) ；(2 ，98) ；(3 ，97) ；(4 ， 96)； (49， 51)；每一对币值中有一个可用若干个贰分和伍分硬币构成，则另一个也一定可以，显然50 分和 100 分的币值是可以组成的，因此只需要讨论币值为1 分， 2 分， 3 分， 48 分和 49 分这 49 种情况 1分和 3 分的币值显然不能构成 2分， 4 分， 6 分， 46 分， 48 分等 2；4 种偶数币值的都可以用若干个贰分硬币构成 5分， 7 分， 9 分， 47 分， 49 分等 23 种奇数币值的只须分别在4 分， 6 分,8 分， 46 分、 48 分的构成方法上，用一枚伍分硬币去换两枚贰分硬币即可，譬如，37 分币值的，由于36 分币值可用18 枚贰分硬币构成，用一枚伍分硬币换下两枚贰分硬币，剩下的币值即为37 分综合以上分析，不能用 30 个贰分和8 个伍分硬币构成的1分到 1 元之间的币值只有四种，即1 分，3 分，97 分， 99 分 15 小明买红、蓝两支笔，共用了17 元两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵小强打算用35元来买这两种笔( 也允许只买其中一种) ，可是他无论怎么买，都不能把35 元恰好用完那么红笔的单价是多少元 ? 【分析与解】如下表精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页精品资料欢迎下载先枚举出所有可能的单价如表1再依次考虑：首先，不能出现35 的约数否则只买这种笔就可以刚好用完35 元，所以含有7，5，1 的组合不可能然后，也不能出现3517=18 的约数否则先各买一支需17 元，那么再买这种笔就可以花去18 元，一共花 35 元所以含有9，6，3，2 的组合也不可能所以， 只有 13+4 的组合可能， 经检验 13x+4y=35 这个不定方程确实无自然数解所以红笔的单价为13 元1庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知每7 个大和尚每天共吃41 个馒头，每29 个小和尚每天共吃 11 个馒头 . 平均每个和尚每天恰好吃1 个馒头，问：庙里至少有多少个和尚2小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声细心的小娟对它们叫声统计了15 天，它们并不是，每天早晚都见面，在这15 天内它们共叫61 声问：波斯猫至少叫了多少声? 3 张邱建算经百鸡问题：今有百钱，鸡翁直钱五，鸡母直钱三，鸡雏三直一, 百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页