2022年点线面关系知识总结和练习题 2.pdf
学习必备欢迎下载/ /a/ /ab点线面位置关系总复习知识梳理一、直线与平面平行1.判定方法（1）定义法：直线与平面无公共点。（2）判定定理：（3）其他方法：/ /a2.性质定理：/ /aab二、平面与平面平行1.判定方法（1）定义法：两平面无公共点。（2）判定定理：/ / /abababP/ /（3）其他方法：aa/ /; / / /a/ /2.性质定理：/ /ab三、直线与平面垂直（1）定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。（2）判定方法用定义 . / /abab/ /a/ /ab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页学习必备欢迎下载/ /ab判定定理 :abacbcAbca推论 :/ /aabb（3）性质ababab四、平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。（2）判定定理aa（3）性质性质定理laallPP AA垂足为AllPPAPA“转化思想”面面平行线面平行线线平行面面垂直线面垂直线线垂直精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页学习必备欢迎下载求二面角1.找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角. 2.在二面角的棱上任取一点O， 在两半平面内分别作射线OAl， OB l， 则 AOB叫做二面角的平面角例 1如图，在三棱锥 S-ABC中，SA 底面 ABC ， AB BC， DE垂直平分SC ，且分别交 AC于 D，交 SC于 E，又 SA=AB ，SB=BC ，求以 BD 为棱，以 BDE和 BDC为面的二面角的度数。求线面夹角定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。例 1：在棱长都为1 的正三棱锥SABC中，侧棱SA与底面 ABC所成的角是 _例 2：在正方体ABCDA1B1C1D1中，BC1与平面 AB1 所成的角的大小是_；BD1 与平面 AB1所成的角的大小是_；CC1与平面 BC1D所成的角的大小是_；BC1与平面 A1BCD1所成的角的大小是_；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页学习必备欢迎下载BD1 与平面 BC1D所成的角的大小是_；例 3：已知空间内一点O 出发的三条射线OA、OB、OC两两夹角为60，试求 OA 与平面 BOC所成的角的大小求线线距离说明： 求异面直线距离的方法有：(1)（直接法）当公垂线段能直接作出时，直接求此时，作出并证明异面直线的公垂线段，是求异面直线距离的关键(2)（转化法）把线线距离转化为线面距离，如求异面直线a、b距离，先作出过a且平行于b的平面，则b与距离就是a、b距离 （线面转化法） 也可以转化为过a平行b的平面和过b平行于a的平面，两平行平面的距离就是两条异面直线距离（面面转化法）(3)（体积桥法）利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求(4)（构造函数法）常常利用距离最短原理构造二次函数，利用求二次函数最值来解两条异面直线间距离问题，教科书要求不高（要求会计算已给出公垂线时的距离），这方面的问题的其他解法，要适度接触，以开阔思路，供学有余力的同学探求例： 在棱长为a的正方体中，求异面直线BD和CB1之间的距离。线面平行（包括线面距离）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页学习必备欢迎下载1111ABCDA B C D111/ /B ADBC D平面平面例 ：已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SCSBSA，SG为SAB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF内的位置关系，并给予证明面面平行（包括面面距离）例 1：已知正方体，求证例 2：在棱长为a的正方体中，求异面直线BD和CB1之间的距离面面垂直精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页学习必备欢迎下载例 1：已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面， A 为垂足。求证：平面PAC 平面 PBD。例 2：已知直线PA垂直于O 所在的平面，A 为垂足， AB为O 的直径， C 是圆周上异于A、B 的一点。求证：平面 PAC 平面 PBC 。课后作业：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页学习必备欢迎下载一、选择题1.教室内任意放一支笔直的铅笔，则在教室的地面上必存在直线与铅笔所在的直线() A.平行B.相交C.异面D.垂直2.若 m、n 是两条不同的直线， 、 、 是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是() A.若 m? ， ，则 m B.若 m， n，mn，则 C.若 m ， m ，则 D.若 ， ，则 3.(改编题 )设 P 是 ABC 所在平面外一点，P 到 ABC 各顶点的距离相等，而且 P 到 ABC 各边的距离也相等，那么 ABC() A.是非等腰的直角三角形B.是等腰直角三角形C.是等边三角形D.不是 A、B、C 所述的三角形4.把等腰直角 ABC 沿斜边上的高AD 折成直二面角BADC， 则 BD 与平面 ABC 所成角的正切值为() A.2B.22C.1D.335.如图，已知 ABC 为直角三角形，其中ACB90 ，M 为 AB 的中点， PM 垂直于 ACB 所在平面，那么() A.PAPBPCB.PAPBPCC.PAPBPCD.PAPBPC二、填空题：6. 正四棱锥 SABCD 的底面边长为2，高为 2，E 是边 BC 的中点， 动点 P 在表面上运动， 并且总保持PEAC，则动点 P 的轨迹的周长为. 7. 、是两个不同的平面，m、n 是平面 及 之外的两条不同直线，给出四个论断： mn； ；n ； m . 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：. 三、解答题11.如图 (1)，等腰梯形ABCD 中， AD BC，ABAD， ABC60 ， E 是 BC 的中点，如图 (2)，将 ABE 沿 AE折起，使二面角BAEC 成直二面角，连接BC，BD， F 是 CD 的中点， P 是棱 BC 的中点 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页学习必备欢迎下载,12345 ,OPAABCDM NAB PCMNPADMNCDPDAMNPCD如图，已知矩形所在平面。分别是的中点。（）求证：面（ ）求证：（ ）若求证：面(1)求证： AEBD；(2)求证：平面PEF平面 AECD；(3)判断 DE 能否垂直于平面ABC？并说明理由 . 12. 12.如图所示，已知BCD 中， BCD90 ，BCCD1，AB平面 BCD， ADB60 ，E、F 分别是 AC、AD上的动点，且AEACAFAD (0 1). (1)求证：不论 为何值，总有平面BEF平面 ABC；(2)当 为何值时，平面BEF平面 ACD？13.如图，在矩形ABCD 中， AB2BC，P、Q 分别为线段AB、 CD 的中点， EP平面 ABCD. (1)求证： DP平面 EPC；(2) 问在EP上是否存在点F使平面AFD平面BFC？若存在，求出FPAP的值 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页学习必备欢迎下载参考答案求二面角分析 :找二面角的平面角,有一种方法是找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角. 解：在 RtSAC 中， SA=1 ，SC=2 ， ECA=30，在 RtDEC 中， DEC=90， EDC=60， 所求的二面角为60 。求线线距离解法 1： （直接法）如图：取BC的中点P，连结PD、1PB分别交AC、1BC于M、N两点，易证：MNDB /1，ACDB1，11BCDB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页学习必备欢迎下载MN为异面直线AC与1BC的公垂线段，易证：aDBMN33311小结： 此法也称定义法，这种解法是作出异面直线的公垂线段来解但通常寻找公垂线段时，难度较大解法 2： （转化法）如图：/AC平面BCA11，AC与1BC的距离等于AC与平面BCA11的距离，在1OBORt中，作斜边上的高OE，则OE长为所求距离，aOB22，aOO1，aBO231，aBOOBOOOE3311小结： 这种解法是将线线距离转化为线面距离解法 3： （转化法）如图：平面1ACD/平面BCA11，AC与1BC的距离等于平面1ACD与平面BCA11的距离1DB平面1ACD，且被平面1ACD和平面BCA11三等分；所求距离为aDB33311小结： 这种解法是线线距离转化为面面距离精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页学习必备欢迎下载解法 4： （构造函数法）如图：任取点1BCQ，作BCQR于R点，作ACPK于K点，设xRC，则xaQRBR，KRCK，且222CRCKKR2222121xCRKR则222)(21xaxQK2223131)32(23aaax，故QK的最小值，即AC与1BC的距离等于a33小结： 这种解法是恰当的选择未知量，构造一个目标函数，通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距离解法 5： （体积桥法）如图：当求AC与1BC的距离转化为求AC与平面BCA11的距离后，设C点到平面BCA11的距离为h，则1111BCCABCACVV222131)2(4331aaah，ah33即AC与1BC的距离等于a33精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页学习必备欢迎下载小结： 本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体化为锥体的高，然后用体积公式求之这种方法在后面将要学到线面平行例：分析 1：如图，观察图形，即可判定/SG平面DEF，要证明结论成立，只需证明SG与平面DEF内的一条直线平行观察图形可以看出：连结CG与DE相交于H，连结FH，FH就是适合题意的直线怎样证明FHSG/？只需证明H是CG的中点证法 1：连结CG交DE于点H，DE是ABC的中位线，ABDE /在ACG中，D是AC的中点，且AGDH /，H为CG的中点FH是SCG的中位线，SGFH /又SG平面DEF，FH平面DEF，/SG平面DEF分析 2：要证明/SG平面DEF，只需证明平面SAB/平面DEF，要证明平面DEF/平面SAB，只需证明DFSA/，EFSB/而DFSA/，EFSB/可由题设直接推出证法 2：EF为SBC的中位线，SBEF /EF平面SAB，SB平面SAB，/EF平面SAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页学习必备欢迎下载同理：/DF平面SAB，FDFEF，平面SAB/平面DEF，又SG平面SAB，/SG平面DEF面面平行例一：证明： 1111-DCBAABCD为正方体，BCAD11/，又BC1平面BDC1，故/1AD平面BDC1同理/11BD平面BDC1又1111DBDAD， 平面/11DAB平面BDC1例二：根据正方体的性质，易证：1111111/DCBBDACDBADBBD平面平面连结1AC，分别交平面BDA1和平面11DCB于M和N因为1CC和1AC分别是平面ABCD的垂线和斜线，AC在平面ABCD内，BDAC由三垂线定理：BDAC1，同理：DAAC111AC平面BDA1，同理可证：1AC平面11DCB平面BDA1和平面11DCB间的距离为线段MN长度如图所示：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页学习必备欢迎下载在对角面1AC中，1O为11CA的中点，O为AC的中点aACNCMNAM333111BD和CB1的距离等于两平行平面BDA1和11DCB的距离为a33面面垂直例 1：例 2：作业：一、选择题：1. D 2. C 3. C 4. B 5. C 6.解析：如图，取CD的中点 F、SC的中点 G，连接 EF ，EG， FG，EF交 AC于点 H，易知 ACEF ，又 GHSO，AB是圆 O 的直径C是圆周上异于 A、B的一点BCACPA平面 ABCBC平面 ABCBCPAAC平面 PAC ，PA平面 PACACPAABC平面 PACBC平面 PBC平面 PAC平面 PBC 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页学习必备欢迎下载GH平面 ABCD，ACGH， AC平面 EFG ，故点 P的轨迹是 EFG ，其周长为26. 答案：26 7. ? ；? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页
