2022年人教版七年级数学培优班暑期讲义 .pdf

七年级数学培优班暑期讲义第一章有理数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 38 页1.有理数的相关概念整数和分数统称为有理数 , 有理数又可分为正有理数 ,0 和负有理数 . 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大. 正数都大于零 , 负数都小于零 , 正数大于负数 . 只有符号不同的两个数称互为相反数. 例如 2.5和2.5互为相反数 , 即 2.5 是2.5的相反数；2.5是 2.5的相反数 . 在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值 , 记作|a. 例如 , 在数轴上表示5的点与原点的距离是5, 所以5的绝对值是5, 记作| 5 |5. 一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数. 这些基本概念以及它们的性质是初中数学中常考的内容, 必须牢固掌握 . 例 1. 峨眉山上某天的最高气温为12 C, 最低气温为4C, 那么这天的最高气温比最低气温高（） A. 4 C B. 8 C C. 12 C D. 16 C例 2. 下列说法正确的是（）A. 一个有理数不是整数就是分数B. 正整数和负整数统称整数C. 正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数D. 0 不是有理数例 3数 , ,x y z在数轴上的位置如图 , 下列判断正确的是（）A. 0 xyz B. 0yxzC. 0yxz D. 0 xyz例 4. 说出下列各数的相反数：16, 3,0,12007,0.001,m,n,mn. 例 5. 如图 , 若数轴上a的绝对值是 b 的绝对值的3 倍, 则数轴的原点在点 .（填“A”、“B”、“C ”或“D ”）练习一1有如下四个命题：两个符号相反的分数之间至少有一个正整数；两个符号相反的分数之间至少有一个负整数；两个符号相反的分数之间至少有一个整精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 38 页数；两个符号相反的分数之间至少有一个有理数. 其中真命题的个数为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列说服中正确的是（）A. 正整数和负整数统称为整数B. 正数和负数统称为有理数C. 整数和分数统称为有理数D. 自然数和负数统称为有理数3. 以下四个判断中不正确的是A. 在数轴上 , 关于原点对称的两个点所对应的两个有理数互为相反数B. 两个有理数互为相反数 , 则他们在数轴上对应的两个点关于原点对称C. 两个有理数不等 , 则他们的绝对值不等D. 两个有理数的绝对值不等, 则这两个有理数不等4. 下面四个命题中 , 正确的是 ( ) A. 一切有理数的倒数还是有理数B. 一切正有理数的相反数必是负有理数C. 一切有理数的绝对值必是正有理数D. 一切有理数的平方是正有理数5. 在数轴上 , 点 A对应的数是 2006,点 B对应的数是 17,则 A、B两点的距离是（ ）A. 1989 B. 1999 C. 2013 D. 2023 6. 如图所示 , 圆的周长为 4 个单位长度 , 在圆的 4 等分点处标上数字0,1,2,3. 先让圆周上数字 0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合, 再让数轴按逆时针方向绕在该圆上 , 那么数轴上的数 2006 将与圆周上的数字重合. 7. 下列说法中错误的是（）A. 所有的有理数都可以用数轴上的点表示. B. 数轴上原点表示数0. C. 数轴上点 A表示3, 从 A点出发 , 沿数轴上移动 2个单位长度到达 B 点, 则点 B 表示1. D. 在数轴上表示3和2的两点之间的距离是5. 8. 下列说法正确的是（）A. 有最大的整数 B. 有最小的负数C. 有最大的正数 D. 有最小的正整数练习二1. 如果 n 是大于 1 的偶数 , 那么 n 一定小于它的图73210 x0 1 2 3 4 5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 38 页 A. 相反数 B. 倒数 C. 绝对值 D. 平方2. If we have0, 0baba.and a+6O,then the points in real number axis,given by a and b,can be represented as( ) ( 英汉词典 point ：点 real number axis：实数轴 represent ：表示 ) 3. 有理数 a,b,c 大小关系如图 , 则下列式子中一定成立的是 A. a+b+c0 B. c|a+b| C. |a-c|=|a|+c D. |b-c|c-a 4. 如果 a+b+c=0,且|a|b|c|,则下列说法中可能成立的是 A. a,b是正数 ,c0 B. a,c是正数 ,b0 C. b,c是正数 ,a0 5. 如果3333|abab, 那么下列不等式中成立的是 A. 0ab B. 0ab C. 0ab D. 0ab6. a为有理数 , 下列说法中正确的是A. 21()2007a为正数 B. 21()2007a为负数C. 21()2007a为正数 D. 212007a为正数7. 若 ab0cd,则以下四个结论中 , 正确的是 ( ) A. a+b+c+d 一定是正数 B. d+c-a-b可能是负数C. d-c-b-a一定是正数 D. c-d-b-a一定是正数8. 已知 23m和7互为相反数 , 求m的值. 9. 若a与 b互为相反数 ,c到原点的距离为 3, 求 2acb的值. 10. 已知|4 |7 |3|0 xyz, 求 xyz的值. 2. 有理数的运算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 38 页、知识提要1. 整数和分数统称为有理数 . 2. 有理数还可以这样定义：形如pm( 其中,m p 均为整数 , 且0m)的数是有理数 . 这种表达形式常被用来证明或判断某个数是不是有理数. 3. 有理数可以用数轴上的点表示. 4. 零是正数和负数的分界点；零不是正数也不是负数. 5. 如果两个数的和为0, 则称这两个数互为 相反数 . 如果两个数的积为1,则称这两个数互为 倒数. 6. 有理数的运算法则：(1) 加法：两数相加 , 同号的取原来的符号 , 并把绝对值相加； 异号的取绝对值较大的加数的符号 , 并用较大的绝对值减去较小的绝对值, 绝对值相等时 , 和为0；一个数与 0 相加, 仍得这个数 . (2) 减法：减去一个数等于加上这个数的相反数. (3) 乘法：两数相乘 , 同号得正 , 异号得负 , 并把绝对值相乘；一个数与0 相乘, 积为 0. 乘方：求n个相同因数a的积的运算称为乘方 , 记为na. (4) 除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数. 整数的运算律对有理数的运算也适合. 二、例题与练习例 1. 2243( 43)=_. 例 2.13117 (0.125)( 1.2)( 1)3213_ . 实践练习：1. 计算： 4.40.56.60.258.8 1.25. 2. 计算：78( 0.125)8. 例 3. 用简便方法计算 797997999799997_ . 例 4.314151617181()()()()()()4556677889910=_. 实践练习：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 38 页1. 计算： 999999 999999 1999999_ . 2. 计算：112123()()2334441234124849()()555550505050_ . 3. 计算：11111(1)(1)(1)(1)(1)20082007200610011000_ . 例 5. 若 9160ab, 则 ab是 ( ) (A) 正数. (B) 非正数 . (C) 负数. (D) 非负数 . 例 6. 若n是自然数 , 并且有理数,a b满足10ab, 则必有 ( ) (A)210nnab. (B)21210nnab. (C)3210nnab. (D)212110nnab. 实践练习：1. 2008 个不全相等的有理数之和为零, 则这 2008个有理数中 ( ) (A) 至少有一个是零 . (B) 至少有 1004 个正数 . (C) 至少有一个是负数 . (D) 至多有 2006 个是负数 . 2. 有理数a等于它的倒数 , 有理数 b等于它的相反数 , 则20082008ab等于 ( ) (A) 0. (B) 1. (C) 1. (D) 2. 练习三精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 38 页1. 计算：211( 455)365455211545545365_ . 2. 计算： 2001 20082008 2008 20012000_ . 3. 计算：374841( 0.625)( )8( 1 )54. 4. 2( 3)( 4)56( 7)( 8)910( 11)( 12)131415_. 5. 20(0.300.310.320.69)的值的整数部分是 _ . 6. 设a是 最 小 的自 然数 , b 是最 大负 整 数 ,c是绝 对值 最小 的 有 理 数, 则abc_ . 7. 数轴上对应是整数的点称为整点, 某数轴的单位长度是1 厘米, 若在这个数轴上随意画出一条长为1995 厘米的线段 AB , 则线段 AB 盖住的整点有 _个. 8. 电子跳蚤落在数轴上的某点0K,第一步从0K向左跳1 个单位到1K,第二步从1K向右跳 2 个单位到2K,第三步从2K向左跳 3个单位到3K,第四步从3K向右跳 4个单位到4K,按以上规律跳了 100步时,电子跳蚤落在数轴上的点100K所表示的数恰是 20.08,则电子跳蚤的初始位置0K点所表示的数是多少 ? 3.有理数的巧算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 38 页知识要点：整数和分数统称为有理数.有理数通常可以表示成分数nm的形式 ,这里,m n都是整数 ,且0,mm n互质. 有理数运算是中学数学中一切运算的基础它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上 ,能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算不仅如此,还要善于根据题目条件 ,将推理与计算相结合 ,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题 ,从而提高运算能力 ,发展思维的敏捷性与灵活性四则运算对有理数是封闭的,即任意两个有理数相加、相减、相乘、相除（除数不能为 0）,其结果还是有理数 .有理数可以比较大小 ,任意两个有理数之间都有无穷多个有理数 . 有理数计算中常用到的一些等式如下：（1）11mnmnmn； （2）11111n nnn； （3）11mn nmnnm（4）22ababab ； （5）11232n nn；（6）22221211236n nnn例 1：计算： 1010.55.2 14.69.2 5.25.4 3.74.6 1.5实践练习：1、计算：831.8216.931.161.32552、计算：431884312.5242426415153、计算：591119219930.41.6910505271119950.5199519195050例 2.（1）计算：11111 22 33 41999 2000精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 38 页（2）计算：11111 3243 51998 2000实践练习：1、计算：11115 99 1313 17101 1052、计算： 1311272093011421356153、计算：2222222271911119917191111991例 3.计算：2222222123499100101实践练习：1、计算：222222219491950195119521997199819992、计算：2222222224681012981003、计算：222222222461001359912389109832 1练习四精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 38 页1、计算：237970.7 16.62.20.73.311731182、计算：1371531631272552481632641282563、计算： 1311272093011421356154、计算：3112122911532140.255343355、计算：1111111113579111315176122030425672906、计算：22222222135791149517、计算：11111 66 1111 1651 568、 1999减去它的12,再减去余下的13,再减去余下的14,依此类推 ,一直减去余下的11999,那么最后剩下的数是多少 ? 第二章整式1单项式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 38 页1.单项式的概念由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式.单独一个数或一个字母也是单项式,如 a,5. 判断下列各代数式哪些是单项式? (1)21x； (2)abc； (3)b2； (4)5ab2； (5)y；(6)xy2； (7)5. 2.单项式系数和次数单项式是由数字因数和字母因数两部分组成的.说出下列四个单项式31a2h,2r,abc,m 的系数和次数 . 例 1.判断下列各代数式是否是单项式.如不是 ,请说明理由；如是,请指出它的系数和次数 . x1；x1；r2；23a2b. 例 2.下面各题的判断是否正确? 7xy2的系数是 7；x2y3与 x3没有系数； ab3c2的次数是 032；a3的系数是 1；32x2y3的次数是 7；31r2h 的系数是31. 注意：圆周率 是常数；当一个单项式的系数是1 或1 时,“1”通常省略不写 ,如 x2,a2b 等；单项式次数只与字母指数有关. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 38 页2多项式1列代数式：(1) 长 方 形 的 长 与 宽 分 别 为a 、 b, 则 长 方 形 的 周 长是；(2)某班有男生 x 人,女生 21人,则这个班共有学生人_；(3)图中阴影部分的面积为_ ；(4)鸡兔同笼 ,鸡 a 只,兔 b 只,则共有头个,脚只. 2观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别. (1)2(ab); (2)21x ; (3)ab ; (4)2a4b . 几个单项式的和叫做多项式(polynomial).在多项式中 ,每个单项式叫做多项式 的项 (term).其中,不 含字母 的项 ,叫 做常 数项 (constant term).例如 ,多 项式5232xx有三项 ,它们是23x,2x,5.其中 5 是常数项 . 一个多项式含有几项,就叫几项式 .多项式里 ,次数最高项的次数 ,就是这个多项式的次数 .例如,多项式5232xx是一个二次三项式 . 单项式与多项式统称整式 (integral expression). 注意：(1)多项式的次数不是所有项的次数之和；多项式的次数为最高次项的次数.(2)多项式的每一项都包括它前面的符号. 例 1.判断：多项式 a3a2ab2b3的项为 a3、a2、ab2、b3,次数为 12；多项式 3n42n21 的次数为 4,常数项为 1. 例 2.指出下列多项式的项和次数：(1)3x13x2；(2)4x32x2y2. 例 3.指出下列多项式是几次几项式. (1)x3x1；(2)x32x2y23y2. 例 4.已知代数式 3xn(m1)x1 是关于 x 的三次二项式 ,求 m、n 的条件 . 课堂练习：填空：45a2b34ab1 是次项式 ,其中三次项系数是,二次项精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 38 页为,常数项为,写出所有的项. 已知代数式 2x2mnx2y2是关于字母 x、y 的三次三项式 ,求 m、n 的条件 . 3多项式的升 (降)幂排列请运用加法交换律 ,任意交换多项式 x2x1中各项的位置 ,可以得到几种不同的排列方式 ?在众多的排列方式中 ,你认为那几种比较整齐 ? 1升幂排列与降幂排列：有两种排列 x的指数是逐渐变大 (或变小 )的.我们把这种排列叫做升幂排列与降幂排列 . 例如：把多项式 5x23x2x31 按 x 的指数 从大到小的顺序排列 ,可以写成2x35x23x1,这叫做这个多项式按字母x 的降幂排列 .若按 x 的指数从小到大的顺序排列,则写成 13x5x22x3,这叫做这个多项式按字母 x 的升幂排列 .例 1.五个学生上前自己选一张卡片,根据老师要求排成一列 ,并把排列正确的式子写下来 . 例如：按 x 降幂排列：例 2.把多项式 2r13r32r2按 r 升幂排列 .例 3.把多项式 a3b33a2b3ab2重新排列 . (1)按 a 升幂排列；(2)按 a 降幂排列 .想一想 ：观察上面两个排列 , 从字母 b 的角度看 , 它们又有何特点 ?例 4.把多项式 12x2xx3y 用适当的方式排列 . 例 5.把多项式 x4y43x3y2xy25x2y3用适当的方式排列 . 3x2y27xy32y 11x7y535x335x33x2y22y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 38 页(1)按字母 x 的升幂排列得：；(2)按字母 y 的升幂排列得：. 小结：对一个多项式进行排列, 这样的写法除了美观之外, 还会为今后的计算带来方便. 在排列时我们要 注意: (1)重新排列多项式时 ,每一项一定要连同它的符号一起移动；原首项省略的“”号交换到后面时要添上；(2)含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列 . 4.同类项创设问题情境、5个人+8 个人= 、5只羊+8 只羊= 、5个人+8 只羊= 观察下列各单项式 ,把你认为相同类型的式子归为一类. 8x2y,mn2, 5a,x2y, 7mn2, 83, 9a, 32xy, 0, 0.4mn2, 95,2xy2我们常常把具有相同特征的事物归为一类.8x2y 与x2y 可以归为一类 ,2xy2与32xy可以归为一类 ,mn2、 7mn2与 0.4mn2可以归为一类 ,5a 与 9a 可以归为一类,还有83、0 与95也可以归为一类 .8x2y 与x2y 只有系数不同 ,各自所含的字母都是 x、y,并且 x 的指数都是 2,y 的指数都是 1；同样地,2xy2与32xy也只有系数不同,各自所含的字母都是x、y,并且 x 的指数都是 1,y 的指数都是 2. 像这样 ,所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项(similar terms).另外,所有的常数项都是同类项 .比如,前面提到的83、0 与95也是同类项.例 1.判断下列说法是否正确 ,正确地在括号内打“” ,错误的打“” . (1)3x 与 3mx 是同类项 . ( ) (2)2ab与5ab 是同类项 . ( ) (3)3x2y 与31yx2是同类项 . ( ) (4)5ab2与2ab2c 是同类项 . ( ) (5)23与 32是同类项 . ( ) 例 2.指出下列多项式中的同类项：(1)3x2y13y2x5；(2)3x2y2xy231xy223yx2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 38 页例 3.k 取何值时 ,3xky 与x2y 是同类项 ? 例 4.若把(st)、(st)分别看作一个整体 ,指出下面式子中的同类项. (1)31(st)51(st)43(st)61(st)；(2)2(st)3(st)25(st)8(st)2st. 课堂练习：1.请写出 2ab2c3的一个同类项你能写出多少个?它本身是自己的同类项吗?2.若 2amb2m+3n与 a2n3b8的和仍是一个单项式 ,则 m 与 n 的值分别是 _ 5.整式的加减为了搞好班会活动 ,李明和张强去购买一些水笔和软面抄作为奖品.他们首先购买了 15 本软面抄和 20 支水笔,经过预算 ,发现这么多奖品不够用 ,然后他们又去购买了 6 本软面抄和 5 支水笔 .问：他们两次共买了多少本软面抄和多少支水笔? 若设软面抄的单价为每本x 元,水笔的单价为每支y 元,则这次活动他们支出的总金额是多少元 ? 可根据购买的时间次序列出代数式,也可根据购买物品的种类列出代数式,再运用加法的交换律与结合律将同类项结合在一起,将它们合并起来 ,化简整个多项式,所的结果都为 (21x25y)元. 由此可得： 把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项 .合并同类项的法则：把同类项的系数相加 ,所得的结果作为系数 ,字母和字母指数保持不变. 例 1.找出多项式 3x2y4xy235x2y2xy25 种的同类项 ,并合并同类项 . 例 2.下列各题合并同类项的结果对不对?若不对 ,请改正 . (1)2x23x2=5x4；(2)3x2y=5xy；(3)7x23x2=4； (4)9a2b9ba2=0. 例 3.合并下列多项式中的同类项：(1) 2a2b3a2b0.5a2b；(2)a3a2bab2a2bab2b3；(3)5(xy)32(xy)42(xy)3(yx)4. 例 4.求多项式 3x24x2x2xx23x1 的值,其中 x=3. 试一试： 把 x3 直接代入例 4 这个多项式 ,可以求出它的值吗 ?与上面的解法比较一下 ,哪个解法更简便 ? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 38 页例 1化简下列各式：(1)8a+2b+（5ab） ；（2） （5a3b）3（a22b） (2)计算： 5xy23xy2（4xy22x2y）+2x2yxy2 5xy2 小结去括号是代数式变形中的一种常用方法,去括号时 ,特别是括号前面是 “ ” 号时,括号连同括号前面的 “ ” 号去掉 ,括号里的各项都改变符号去括号规律可以简单记为 “ ” 变“ ” 不变 ,要变全都变当括号前带有数字因数时,这个数字要乘以括号内的每一项 ,切勿漏乘某些项学生作总结后教师强调要求大家应熟记法则,并能根据法则进行去括号运算.去括号法则顺口溜：去括号,看符号：是 “+”号,不变号；是 “”号,全变号 . 不难发现 ,去括号和合并同类项是整式加减的基础.因此 ,整式加减的一般步骤可以总结为：（）如果有括号 ,那么先去括号 .（）如果有同类项 ,再合并同类项 . 例 1.求整式 x27x2 与2x2+4x1 的差. 练习：一个多项式加上5x24x3 与x23x,求这个多项式 . 例 2.计算： 2y3+(3xy2x2y)2(xy2y3). 例 3.化简求值 :(2x3xyz)2(x3y3+xyz)+(xyz2y3),其中 x=1,y=2,z=3. 复习题1.找出下列代数式中的单项式、多项式和整式. 3zyx,4xy,a1,22nm,x2+x+x1,0,xx212,m,2. 01105 2.指出下列单项式的系数、次数：ab,x2,53xy5,353zyx. 3.指出多项式 a3a2bab2+b31是几次几项式 ,最高次项、常数项各是什么? 4.化简,并将结果按 x 的降幂排列：(1)(2x45x24x+1)(3x35x23x)；(2) (x+21)(x1)；(3)3(21x22xy+y2)+ 21(2x2xy2y2). 5.化简、求值： 5ab23ab(4ab2+21ab)5ab2,其中 a=21,b=32. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 38 页6.一个多项式加上 2x3+4x2y+5y3后,得 x3x2y+3y3,求这个多项式 ,并求当 x=21,y=21时,这个多项式的值 . 7 如果 关于x的 两 个 多 项 式42142axx与35bxx的 次 数 相 同, 求3212342bbb的值. 第三章一元一次方程1. 一元一次方程1. 定义：方程：含有未知数的等式称为方程. 一元一次方程： 方程中只含一个未知数 （元）, 并且未知数的指数是1 （次）,未知数的系数不等于0, 这样的方程叫做一元一次方程. 如 312x, 658x. 解：解方程就是求出使方程等号左右两边相等的未知数的值, 这个值就是方程的解 . 2. 等式的性质：性质 1 等式两边加（或减）同一个不为0 的数, 结果仍相等 . 如果 ab, 那么 acbc. 性质 2 等式两边乘同一个数 , 或除以同一个不为0 的数, 结果仍相等 . 如果 ab, 那么 acbc . 如果 ab（0c）, 那么abcc. 3. 同解方程和方程的同解原理：(1) 如果方程的解都是方程解, 并且方程的解也都是方程的解, 那么这两个方程是同解方程. (2) 方程同解原理： 方程两边同时加上（或减去同一个数或同一个整式） ,所得的方程与原方程是同解方程. 方程同解原理：方程两边同时乘以 （或除以） 同一个不为 0 的数, 所得的方程与原方程是同解方程. 方程同解原理：方程( )( )0f xg x与( )0fx或( )0g x是同解方程 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 38 页4. 解一元一次方程的一般步骤：(1) 去分母；(2) 去括号；(3) 移项；(4) 合并同类项 , 化为最简形式 axb ；(5) 方程两边同除以未知数的系数. 解一元一次方程没有固定的步骤, 去分母与去括号要因题而异, 灵活掌握 , 但是, 不管采取什么顺序 , 都要保证正确地运用各种运算法则以及同解原理, 使得到的方程与原方程同解 . 5. 一元一次方程 axb的解由,a b的值确定：(1) 当0a时, 方程有唯一的解bxa；(2) 当0ab时, 方程的解可为任意的有理数；(3) 当0a且0b时, 方程无解 . 例 1.利用等式的性质解一元一次方程：（1）33x； （2）54x； （3）5(1)10y； （4）352a. 例 2.检验下列各数是不是方程4323xx的解：（1）3x；（2）8x；（3）5y. 实践练习：1. 解方程： （1）3413x； （2）2153x； （3）31342xx. 2. 解方程：20071 2233420072008xxxx. 列简易方程解决问题例 3. 根据下列条件列方程（1）x的 5 倍比x的 2 倍大 12； （2）某数的23比它的相反数小5. 实践练习：1. 根据下列问题 , 列出方程 , 不必求解 . （1）把若干本书发给学生 . 如果每人发 4 本, 还剩下 2 本；如果每人发 5 本, 还差 5 本. 问共有多少学生 ? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 38 页（2） 某班 50 名学生准备集体去看电影 , 电影票中有 1.5 元的和 2 元的, 买电影票共花 88 元, 问这两种电影票应各买多少? 练习一1. 解方程： （1）199696 19xx； （2）7110.2510.0240.0180.012xxx. 2. 假设关于x的方程()()0a xab xb有无穷多个解 , 求 ab 的值. 3. 若关于x的方程(5)60ax的解是 2, 求a的值. 4. 若关于x的方程332xax的解是 4, 求22aa的值. 5. 某地电话拨号上网有两种收费方式, 用户可以任选其一 . （1）计时制： 0.05 元/ 分；（2）包月制： 50 元/ 月. 此外, 每一种上网方式都得加收通信费0.02 元/ 分, 问用户每月上网多少小时, 这两种收费方式所收费用一样?请列出方程 . 6. 小李去商店买练习本 , 回来后告诉同学：店主跟我说, 如果多买一些就给我8折优惠 , 我就买了 20本, 结果总共便宜了 1.60 元, 你猜原来每本价格是多少 ?你能列出方程吗 ? 例 4. 某大型商场三个季度共销售DVD 2800台, 第一个季度销售量是第二个季度的 2 倍, 第三个季度销售量是第一个季度的2 倍, 第一个季度这家商场销售DVD 多少台 ? 例 5. 某校高中一年级 434 名师生外出春游 , 已有 3 辆校车可乘坐 84 人, 还需租用 50 座的客车多少辆 ? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 38 页实践练习：1. 某工厂八月十五中秋节给工人发苹果, 如果每人分两箱 , 则剩余 20 箱, 如果每人分 3 箱, 则还缺 20 箱, 这个工厂有工人多少人 ? 2. 据某城市晚报报道 ,2004 年 2 月 16 日, 中国著名篮球明星姚明与麦当劳公司正式签约 , 姚明作为麦当劳的形象代言人, 三年共获酬金1400 万美元 ,若后一年的酬金是前一年的两倍, 并且不考虑税金 , 那么姚明第一年应得酬金为多少万美元 ? 例 6. 男女生有若干人 , 男生与女生数之比为4 : 3, 后来走了 12名女生 , 这时男生人数恰好是女生的2 倍, 求原来的男生和女生人数 . 实践练习：1. 已知:2:3: 4a b c,27abc, 求22abc的值. 2. 一个三位数的三个数字和是15, 十位数字是百位数字的2倍, 个位数字比十位数字的 2 倍还多 1, 求这个三位数 . 例 7. 甲、 乙两人骑自行车 , 同时从相距 45千米的两地相向而行 ,2 小时相遇 ,甲比乙每小时多走2.5 千米, 求甲、乙每小时各走多少千米? 实践练习：1. 一轮船在 A,B 两港口之间航行 , 顺水航行用 3 小时, 逆水航行比顺水航行多用 30 分钟, 轮船在静水中的速度是36 千米/ 小时, 问水流的速度是多少 ? 例 8. 宋宋班上有 40 位同学 , 他想在生日时请客 , 因此到超市花了17.5 元买果冻和巧克力共 40个, 若果冻每 20个 15 元, 巧克力每 30 个 10元, 求他买了多少个果冻 ? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 38 页实践练习：1. 一个人用 540 卢布买了两种布料共138 俄尺, 其中蓝布料每俄尺3 卢布,黑布料每俄尺 5 卢布, 两种布料各买了多少俄尺 ? 2. 某单位开展植树活动 , 由一人植树要 80 小时完成 , 现由一部分人先植树5小时, 由于单位有紧急事情 , 再增加 2人, 且必须在 4小时之内完成植树任务 , 这些人的工作效率相同 , 那么先安排了多少人植树? 练习二1. 甲、乙两站间的距离为365 千米, 一列慢车从甲站开往乙站, 每小时行驶65千米；慢车行驶1 小时后 , 另有一列快车从乙站开往甲站, 每小时行驶85 千米,快车行驶了几小时后与慢车相遇? 2. 某种商品因换季准备打折出售, 如果按定价的七五折出售将赔25 元, 而按定价的九折出售将赚20 元, 问这种商品的定价是多少 ? 3. 聪聪到希望书店帮同学们买书, 售货员主动告诉他 , 如果用 20 元钱办 “希望书店会员卡”, 将享受八折优惠 , 请问在这次买书中 , 聪聪在什么情况下 , 办会员卡与不办会员卡一样 ?当聪聪买标价共计200 元的书时 , 怎么做合算 , 办会员卡还是不办会员卡 ? 4. 有一列数为1,4,7, , 它的第n个数是多少 ?在这列数中取出三个连续数, 其和为 48, 问这三个数分别是多少 ? 5. 若4y是关于 y 的方程85()3ymym的解 , 解关于x的方程(32)m50m. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 38 页6. 当m取什么整数时 , 关于x的方程1514()2323mxx的解是正整数 ? 7. 某制衣厂接受一批服装订货任务, 按计划天数进行生产, 如果每天平均生产20 套服装 , 就比订货任务少生产100套；如果每天生产 23 套衣服 , 就可以超过订货任务 20 套, 问这批服装的订货任务是多少套?原计划多少天完成 ? 8. 这里有一杯水 , 第一次倒出一半后又倒出10 毫升；第二次倒出剩下的一半后又倒出 10 毫升, 这时杯子空了 , 问杯子里原来有多少毫升水? 2. 一元一次方程复习代数方程在初中代数中占有很重要的地位,而一元一次方程是代数方程中最基础的部分 ,高次方程及方程组往往化为一元一次方程组来求解.因此 ,掌握好这部分内容 ,有助于我们学习一些复杂的方程. 一. 方程及一元一次方程的概念 1.含有未知数的等式叫做方程. 2.只含有一个未知数 , 并且未知数的次数是1 的整式方程叫做一元一次方程. 【例 1】判断下列那些式子是方程 , 那些是一元一次方程 . (1) 5367xyx; (2) 47x; (3) 53x; (4) 22x; (5) 2620 xx; (6) axb(,a b是常数 ); (7) 123; (8) 210 x; (9) 0y. _ 是方程 ,_是一元一次方程 . 【例 2】(1) 已知1237mx是一元一次方程 , 则m_. (2) 已知2(1)20mmx是一元一次方程 , 则m_. (3) 若 关 于x的 方 程232( 28)6nmxx是 一 元 一 次 方 程 , 则m_,n_. 【思考 1】已知22(1)(1)80mxmx是关于x的一元一次方程 , 则m_. 【思考 2】在关于x的方程axb中, 解的情况 : 当a_时, 方程有唯一解 ; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 38 页当a_时, 方程无解 ; 当a_, b_时, 方程有无数个解 . 【例 3】已知2235xx, 则代数式2466xx_. 【思考 3】下列说法正确的是 _. (1) 如果ab, 那么acbc; (2) 如果acbc, 那么ab; (3) 如果abcc, 那么acbc; (4) 如果acbc, 那么abcc. 二. 解一元一次方程去括号去分母移项合并同类项系数化1 【例 4】解下列一元一次方程 : (1) 4(1)2(1)3(1)(1)xxxx; (2) 223146xx; (3) 2121116518615xxxx; (4)3 2(1)212 3 5xx; (5) 11 14(2)68197 53x(6)0.10.2130.020.5xx. 【例 5】有四个数 , 其中三个数之和分别为22,20,17,25, 求此四个数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 38 页【例6】已知22abcabc,则22abc_. 【例 7】若关于x的方程40kx的解是整数 , 则k_. 1. 解方程： 24517332xxxx2. 解方程：1131121132xxxx3. 解方程：2 93 1123 22 4xx4 解关于x的方程：0axbab5. 解关于x的方程：1mxnx6. 解关于x的方程：2421mxmx7. 已知关于x的方程 2153a xa xb有无数多个解 , 试求 ab、的值. 8 已知关于x的方程 32215a xbx有无数多个解 , 试求 ab、的值. 9. 已知方程32axxb 有两个不同的解 , 试求19