2022年二次函数的最值问题 .pdf

精品资料欢迎下载典型中考题（有关二次函数的最值）屠园实验周前猛一、选择题1 已知二次函数y=a（ x-1）2+b 有最小值 1，则 a 与 b 之间的大小关 ( ) A. ab D 不能确定答案： C 2当 2 xl时，二次函数 y=- （ x-m ）2+m2+1有最大值4，则实数m 的值为（）A、- 74B、3或-3C、2或-3D2或-3或- 74答案： C 当 2xl时，二次函数 y=- （x-m ）2+m2+1有最大值4，二次函数在2xl上可能的取值是x= 2或 x=1 或 x=m. 当 x=2 时，由y=- （x-m ）2+m2+1解得 m= - 74，2765yx416此时 ，它在 2xl的最大值是6516，与题意不符. 当 x=1 时，由y=- （x-m ）2+m2+1解得 m=2 ，此时 y=-（x-2）2+5 ，它在 2 xl的最大值是 4，与题意相符. 当 x= m 时，由4=- （x-m ）2+m2+1解得m=3，当 m=-3此时 y=- （x+3）2+4.它在 2xl的最大值是4，与题意相符；当m=3，y=- （x-3）2+4它在 2 xl在 x=1 处取得，最大值小于4，与题意不符 . 综上所述，实数m 的值为2或-3. 故选 C3 已知 0 x12，那么函数y=-2x2+8x-6 的最大值是（）A -10.5 B.2 C . -2.5 D. -6 答案： C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页精品资料欢迎下载解： y=-2x2+8x-6=-2（x-2）2+2该抛物线的对称轴是x=2，且在 x2 上 y 随 x 的增大而增大又 0 x12，当 x= 12时， y 取最大值， y最大=-2（12 -2）2+2=-2.5故选： C4、已知关于x 的函数. 下列结论： 存在函数，其图像经过（1,0）点； 函数图像与坐标轴总有三个不同的交点； 当时， 不是 y 随 x 的增大而增大就是y 随 x的增大而减小； 若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。真确的个数是（）A,1 个B、 2 个C 3 个D、4 个答案： B 分析：将（ 1，0）点代入函数，解出k 的值即可作出判断；首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；根据二次函数的增减性，即可作出判断；当 k=0 时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k0 时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断. 解 ： 真 ， 将 （ 1， 0） 代 入 可 得 ： 2k- （ 4k+1 ） -k+1=0 ，解 得 ： k=0 运 用 方 程 思 想 ； 假 ， 反 例 ： k=0 时 ， 只 有 两 个 交 点 运 用 举 反 例 的 方 法 ； 假 ， 如 k=1 ，b5-=2a4， 当 x 1 时 ， 先 减 后 增 ； 运 用 举 反 例 的 方 法 ； 真 ， 当 k=0 时 ， 函 数 无 最 大 、 最 小 值 ；k0时 ， y最=224ac-b24k +1=-4a8k， 当 k 0 时 ， 有 最 小 值 ， 最 小 值 为 负 ；当 k 0 时 ， 有 最 大 值 ， 最 大 值 为 正 运 用 分 类 讨 论 思 想 二、填空题：1、如图，已知；边长为4 的正方形截去一角成为五边形ABCDE ，其中AF=2， BF=l，在 AB上的一点P，使矩形PNDM 有最大面积，则矩形PNDM 的面积最大值是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页精品资料欢迎下载答案： 12 2、已知直角三角形两直角边的和等于8，两直角边各为时，这个直角三角形的面积最大，最大面积是答案： 4、4，8 解：设直角三角形得一直角边为x，则，另一边长为8-x ；设其面积为S. S= x(8-x)(0 x4 时， P（5， -2） ，当 m1 时， P（-3，-14） ，综上所述，符合条件的点P为（ 2，1）或（ 5，-2）或（ -3，-14） ；（3）如图，设D 点的横坐标为t（0t4） ，则 D 点的纵坐标为，过 D 作 y 轴的平行线交AC于 E，由题意可求得直线AC的解析式为，E点的坐标为，当 t=2 时， DAC的面积最大，D（2，1） 。4 如图，矩形ABCD中， AB=3，BC=4，线段 EF在对角线AC上， EGAD，FHBC，垂足分别是 G，H，且 EG+FH=EF （1）求线段EF的长；（2）设 EG=x ，AGE与CFH的面积和为S，写出 S关于 x 的函数关系式及自变量x 的取值范围，并求出S的最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页精品资料欢迎下载5如图，点 C 是线段 AB上的任意一点(C点不与 A、B点重合 )，分别以 AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE ，AE与 CD相交于点 M， BD与 CE相交于点N(1)求证： MNAB；(2)若 AB 的长为 l0cm，当点 C在线段 AB 上移动时，是否存在这样的一点C，使线段 MN 的长度最长 ?若存在，请确定C点的位置并求出MN 的长；若不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页精品资料欢迎下载（1）由题中条件可得ACE DCB ，进而得出 ACM DCN，即 CM=CN， MCN 是等边三角形，即可得出结论；（2）可先假设其存在，设AC=x ，MN=y，进而由平行线分线段成比例即可得出结论解答（1）证明：ACD与BCE是等边三角形，AC=CD ，CE=BC ， ACE= BCD ，在ACE与 DCB中，AC=CD ACE= BCD CE=BC ACE DCB （SAS ） ， CAE= BDC，在ACM 与DCN中， CAE= BDC AC=CD ACM=DCN ACM DCN，CM=CN，又 MCN=180 -60 -60 =60 ， MCN 是等边三角形， MNC= NCB=60 即 MN AB；（2）解：假设符合条件的点C存在，设AC=x ，MN=y，6、如图，在ABC中，A90，10BC, ABC的面积为25，点D为AB边上的任意一点 (D不与A、B重合) ， 过点D作DEBC， 交AC于点E 设xDE以DE为折线将ADE翻折，所得的DEA与梯形DBCE重叠部分的面积记为 y. （1） 用 x 表示?ADE 的面积 ; （2） 求出0 x5时 y 与 x 的函数关系式；（3） 求出5x10时 y 与 x 的函数关系式；（4） 当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页精品资料欢迎下载解:(1) DEBC ADE= B,AED= C ADE ABC 2)(BCDESSABCADE即241xSADE(2) BC=10 BC边所对的三角形的中位线长为5 当 05x时241xSyADE（3）x510 时，点 A 落在三角形的外部 , 其重叠部分为梯形SADE=SADE=241xDE边上的高 AH=AH=x21由已知求得 AF=5 AF=AA-AF=x-5 由AMN ADE知2DEAMNA)HAFA(SS2MNA)5(xS251043)5(41222xxxxy（4）在函数241xy中0 x5 当 x=5 时 y 最大为：425在函数2510432xxy中当3202abx时 y 最大为：325425325当320 x时，y 最大为：325CBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页精品资料欢迎下载7、如图，抛物线2212bxxy与 x 轴交于 A、B两点，与 Y轴交于 C点，且 A（1，0） 。（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标（2）判断 的形状，证明你的结论。（3）点（ m ，0）是轴上的一个动点，当 +的值最小时，求m的值解： （1）将 A（1，0）代入2212bxxy得23b，所以抛物线的解析式223212xxy配方得：825)23(212xy，所以顶点 D825,23（2）求出 AC=5，BC=20，而 AB=5 222ABBCAC，故为RT （3）作点 C关于 X轴的对称点 E（ 2，0） ，连接 DE交 X轴于点 M ，通过两点式可求得直线DE的解析式：21241xy，当y=0时，解得x=4124（4124，0）即 m=41248如图，直线 y=x+2与抛物线 y=ax2+bx+6（a0）相交于 A （12，52）和 B（4，m ） ，点 P是线段 AB上异于 A、B的动点，过点 P作 PC x 轴于点 D ，交抛物线于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的 P点，使线段 PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求 PAC 为直角三角形时点P的坐标A B O C D E M X Y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页精品资料欢迎下载分 析 ：（ 1） 已 知 B（ 4， m） 在 直 线 y=x+2上 ， 可 求 得 m 的 值 ， 抛 物 线 图 象 上 的 A、 B两 点 坐 标 ，可 将 其 代 入 抛 物 线 的 解 析 式 中 ，通 过 联 立 方 程 组 即 可 求 得 待 定 系 数 的值 （ 2）要 弄 清 PC 的 长 ，实 际 是 直 线 AB 与 抛 物 线 函 数 值 的 差 可 设 出 P 点 横 坐 标 ，根 据 直 线 AB 和 抛 物 线 的 解 析 式 表 示 出 P、 C 的 纵 坐 标 ， 进 而 得 到 关 于 PC 与 P点 横 坐 标 的 函 数 关 系 式 ， 根 据 函 数 的 性 质 即 可 求 出 PC 的 最 大 值 （ 3） 当 PAC 为 直 角 三 角 形 时 ， 根 据 直 角 顶 点 的 不 同 ， 有 三 种 情 形 ， 需 要 分 类讨 论 ， 分 别 求 解 解 ： （ 1） B（ 4， m） 在 直 线 线 y=x+2上 ， m=4+2=6 ， B（ 4， 6） ， A（12，52） 、 B（ 4， 6） 在 抛 物 线 y=ax2+bx+6上 ，52=（12）2a+12b+6 ，6=16a+4b+6解 得 a=2 ， b=-8 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=2x2-8x+6 （ 2） 设 动 点 P 的 坐 标 为 （ n， n+2 ） ， 则 C 点 的 坐 标 为 （ n， 2n2-8n+6 ） ， PC= （ n+2 ） -（ 2n2-8n+6 ） ，=-2n2+9n-4 ，=-2 （ n-94）2+498， PC 0， 当 n=94时 ， 线 段 PC 最 大 且 为498（ 3） PAC 为 直 角 三 角 形 ，i） 若 点 P 为 直 角 顶 点 ， 则 APC=90 由 题 意 易 知 ， PC y 轴 ， APC=45 ， 因 此 这 种 情 形 不 存 在 ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页精品资料欢迎下载ii ） 若 点 A 为 直 角 顶 点 ， 则 PAC=90 如 答 图 3-1 ， 过 点 A（12，52） 作 AN x 轴 于 点 N ， 则 ON=12， AN=52过 点 A 作 AM 直 线 AB ，交x 轴 于 点 M ，则 由 题 意 易 知 ， AMN为 等 腰 直 角 三角 形 ， MN=AN=52， OM=ON+MN=+52=3， M （ 3， 0） 设 直 线 AM 的 解 析 式 为 ： y=kx+b ，则 ：12k+b=52， 3k+b=0 ， 解 得 k=-1 ， b=3 直 线 AM 的 解 析 式 为 ： y=-x+3 又 抛 物 线 的 解 析 式 为 ： y=2x2-8x+6 联 立 式 ， 解 得 ： x=3 或 x=12（ 与 点 A 重 合 ， 舍 去 ） C（ 3， 0） ， 即 点 C、 M 重 合 当 x=3 时 ， y=x+2=5， P1（ 3， 5） ；iii ） 若 点 C 为 直 角 顶 点 ， 则 ACP=90 y=2x2-8x+6=2 （ x-2 ）2-2， 抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 x=2 如 答 图 3-2 ， 作 点 A（12，52） 关 于 对 称 轴 x=2 的 对 称 点 C，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页精品资料欢迎下载则 点 C 在 抛 物 线 上 ， 且 C（72，52）当 x=72时 ， y=x+2=112， P2（72，112） 点 P1（ 3， 5） 、 P2（72，112）均 在 线 段 AB 上 ， 综 上 所 述 ， PAC 为 直 角 三 角 形 时 ， 点 P 的 坐 标 为 （ 3， 5） 或 （72，112） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页