2022年二次函数知识点总结及典型例题和练习 .pdf

学习必备欢迎下载二次函数知识点总结及典型例题和练习（极好）知识点一：二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果)0,(2acbacbxaxy是常数，特别注意 a 不为零 ，那么 y 叫做 x 的二次函数。)0,(2acbacbxaxy是常数，叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx2对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法 -五点作图法 ：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线cbxaxy2与坐标轴的交点：当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点 C的对称点 D。 将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时， 描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点 D。 由 C、 M、D 三点可粗略 地画出二次函数的草图。 如果需要画出比较精确的图像， 可再描出一对对称点A、 B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。【例 1】 已知函数 y=x2-2x-3，（1）写出函数图象的顶点、 图象与坐标轴的交点， 以及图象与y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图；（2）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：（3）根据第（ 1）题的图象草图，说出 x 取哪些值时，y=0； y0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页学习必备欢迎下载知识点二：二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,(2acbacbxaxy是常数，（2） 交点式：当抛物线cbxaxy2与 x 轴有交点时，即对应的一元二次方程02cbxax有 实 根1x和2x存 在 时 ， 根 据 二 次 三 项 式 的 分 解 因 式)(212xxxxacbxax，二次函数cbxaxy2可转化为两根式)(21xxxxay。如果没有交点，则不能这样表示。（3）顶点式：)0,()(2akhakhxay是常数，当题目中告诉我们抛物线的顶点时，我们最好设顶点式，这样最简洁。【例 1】 抛物线cbxaxy2与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两点，且过（ -1，16） ，求抛物线的解析式。【例 2】 如图，抛物线cbxaxy2与 x 轴的一个交点 A 在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点） ，顶点 C 是矩形 DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则：（1）abc 0 （或或 =）（2）a 的取值范围是【例 3】 下列二次函数中，图象以直线x = 2 为对称轴，且经过点 (0，1)的是( ) Ay = (x - 2)2 + 1 By = (x + 2)2 + 1 Cy = (x - 2)2- 3 Dy = (x + 2)2 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页学习必备欢迎下载知识点三：二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值 （或最小值），即当abx2时，abacy442最值。如果自变量的取值范围是21xxx，那么，首先要看ab2是否在自变量取值范围21xxx内，若在此范围内，则当x=ab2时，abacy442最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21xxx范围内的增减性，如果在此范围内，y 随 x 的增大而增大，则当2xx时，cbxaxy222最大，当1xx时 ，cbxaxy121最小； 如果 在此 范 围 内 ， y 随 x 的 增 大 而 减小 ， 则 当1xx时，cbxaxy121最大，当2xx时，cbxaxy222最小。【例 1】 已知二次函数的图像（ 0 x3）如图所示 ,关于该函数在所给自变量取值范围内, 下列说法正确的是 ( ) A有最小值 0，有最大值 3 B有最小值 1,有最大值 0 C有最小值 1,有最大值 3 D有最小值 1,无最大值【例 2】 某宾馆有 50 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天l80 元时，房间会全部住满当每个房间每天的房价每增加10 元时，就会有一个房间空闲宾馆需对游客居住的每个房间每天支出 20 元的各种费用根据规定，每个房间每天的房价不得高于340 元设每个房间的房价每天增加 x 元(x 为 10 的正整数倍 )（1）设一天订住的房间数为y，直接写出 y 与 x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为w 元，求 w 与 x 的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大? 最大利润是多少元 ? O-1xy1 3 2 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页学习必备欢迎下载知识点四、二次函数的性质1、二次函数的性质函数二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数，图像a0 a0 时，抛物线开口向上a0 时，图像与 x 轴有两个交点；当=0 时，图像与 x 轴有一个交点；当0 时 y 值随 x 值增大而减小的是（） Ay = x2By = xC y = 34xDy = 1x【例 6】若二次函数 当l时， 随的增大而减小，则的取值范围是（）A=l Bl Cl Dl522xxy55661)3(22xy3x3x12)3(2xxky4k4k4k3k4k3k2()1yxmxyxmmmmm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页学习必备欢迎下载知识点五、二次函数图象的平移 对于抛物线 y=ax2+bx+c 的平移通常先将一般式转化成顶点式2ya xhk，再遵循 左加右减 ，上加下减 的的原则化为顶点式有两种方法：配方法，顶点坐标公式法。在用顶点坐标公式法求出顶点坐标后，在写顶点式时，要减去顶点的横坐标，加上顶点的纵坐标。cbxaxy2沿 y 轴平移：向上（下）平移m（m0）个单位，cbxaxy2变成mcbxaxy2（或mcbxaxy2） 当然，对于抛物线的一般式平移时，也可以不把它化为顶点式cbxaxy2：向左（右）平移m（m0）个单位，cbxaxy2变成cmxbmxay)()(2（或cmxbmxay)()(2）【例 1】 将抛物线向左平移 2 个单位后，得到的抛物线的解析式是( ) ABCD【例 2】 将抛物线 y=x22x 向上平移 3 个单位,再向右平移 4 个单位等到的抛物线是 _. 【例 3】 抛物线可以由抛物线平移得到 ,则下列平移过程正确的是 ( ) A.先向左平移 2 个单位 ,再向上平移 3 个单位B.先向左平移 2 个单位 ,再向下平移 3 个单位C.先向右平移 2 个单位 ,再向下平移 3 个单位D.先向右平移 2 个单位 ,再向上平移 3 个单位【补】抛物线 y=2x2-3x-7 在 x 轴上截得的线段的长度为 _ 【公式】抛物线 y=ax2+bx+c 在 x 轴上截得的线段的长度为 _ 知识点六：抛物线cbxaxy2中， a、b、c 的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样 . （2） b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2，故：0b时，对称轴为 y 轴；0ab（即a、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；0ab（即a、b 异号）时，对称轴在y轴右侧 .口诀-左同，右异（a、b 同号，对称轴在 y 轴左侧）2yx2(2)yx22yx2(2)yx22yx2yx223yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页学习必备欢迎下载（3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与 y轴交点的位置 . 当0 x时，cy，抛物线cbxaxy2与 y 轴有且只有一个交点（ 0，c） ：0c，抛物线经过原点 ; 0c,与y轴交于正半轴；0c,与y轴交于负半轴 . 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0ab. 【例 1】 如图为抛物线的图像，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点， 且 OA=OC=1，则下列关系中正确的是 ( ) Aab=1 Bab=1 Cb2aDac0 Bb0 Cc0 Dabc0 【例 3】 如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）； （2）c1； （3）2ab0； （4）a+b+c0。你认为其中错误的有( ) A2 个B3 个C4 个D1 个【例 4】 如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 y 轴正半轴相交， 其顶点坐标为，下列结论：ac0；a+b=0；4acb2=4a；a+b+c0.其中正确的个数是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【例 5】 如图，是二次函数yax2bxc（a0 ）的图象的一部分， 给出下列命题：a+b+c=0；b2a； ax2+bx+c=0 的两根分别为 -3 和 1； a-2b+c0 其中正确的命题是（只要求填写正确命题的序号）【例 6】 如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（）Amn，khBmn ，kh Cmn，khDmn，kh2yaxbxc2yaxbxc240bac1,12精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页学习必备欢迎下载知识点七：中考二次函数压轴题中常用到的公式1、两点间距离公式：如图：点A 坐标为（ x1，y1） ，点 B 坐标为（ x2，y2） ，则 AB 间的距离，即线段 AB 的长度为221221yyxx（这实际上是根据 勾股定理 得出来的）2、 中点坐标公式：如图， 在平面直角坐标系中，、 两点的坐标分别为，中点的坐标为由，得，同理，所以的中点坐标为3、两平行直线的解析式分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，那么 k1=k2，也就是说当我们知道一条直线的 k 值，就一定能知道与它平行的另一条直线的k 值。4、两垂直直线的解析式分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，那么 k1 k2=-1，也就是说当我们知道一条直线的 k 值，就一定能知道与它垂直的另一条直线的k 值。 （对于这一条，只要能灵活运用就行，不需要理解 ）以上四条，我称它们为坐标系中的“ 四大金刚 ”【例 1】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x+3 与 x 轴交于 AB 两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是该抛物线的顶点（1）求直线 AC 的解析式及 BD 两点的坐标；（2）点 P 是 x 轴上一个动点，过 P 作直线 lAC 交抛物线于点 Q，试探究：随着 P 点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点 AP、Q、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由（3）请在直线 AC 上找一点 M，使 BDM 的周长最小，求出 M 点的坐标AB11()A xy，22()B xy，ABP()ppxy，12ppxxxx122pxxx122pyyyAB1212()22xxyy，1xpx2x12xx12yy1y2yPyA P B O yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页学习必备欢迎下载ADCEBOADCEBOADCEBO【例 2】 如图，已知抛物线y=x2+bx+c 与一直线相交于 A（1，0） ，C（2，3）两点，与 y 轴交于点 N其顶点为 D （1）求抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）设点 M（3，m） ，求使 MN+MD 的值最小时 m 的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点 B，E 为直线 AC 上的任意一点，过点E 作 EFBD交抛物线于点 F，以 B，D，E，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；（4）若 P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求 APC 的面积的最大值【例 3】 如图，抛物线423412xxy与 x 轴交于 A，B 两点（点 B 在点 A 的右边） ，与 y 轴交于 C，连接 BC，以 BC 为一边，点 O 为对称中心作菱形BDEC，点 P是 x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（ m，0） ，过 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q。（1）求点 A、B、C 的坐标；（2）当点 P在线段 OB 上运动时，直线l 分别交 BD、BC 于点 M、N。试探究 m 为何值时，四边形 CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由。（3）当点 P 在线段 EB 上运动时，是否存在点Q，使 BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出Q 点坐标；若不存在，请说明理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页学习必备欢迎下载【练 习】1、平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m， 距地面均为 1m， 学生丙、 丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、25 m 处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是15 m，则学生丁的身高为 (建立的平面直角坐标系如右图所示)( ) A15 m B1625 mC166 m D167 m 2、已知函数22113513xxyxx，则使 y=k 成立的 x 值恰好有三个，则k 的值为（）A0 B1 C2 D3 3. 二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则反比例函数ayx与一次函数ybxc在同一坐标系中的大致图象是（）. 4. 如图，已知二次函数cbxxy2的图象经过点 （1， 0） ， （1， 2） ，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是xyO11（1,-2）cbxxy2- 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页学习必备欢迎下载5. 在平面直角坐标系中，将抛物线223yxx绕着它与 y 轴的交点旋转 180 ，所得抛物线的解析式是（） A2(1)2yxB2(1)4yxC2(1)2yxD2(1)4yx6. 已知二次函数cbxaxy2的图像如图， 其对称轴1x，给出下列结果acb420abc02ba0cba0cba，则正确的结论是（）A B C D 7抛物线2yaxbxc上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如上表：从上表可知，下列说法中正确的是 （填写序号）抛物线与x轴的一个交点为（ 3,0） ； 函数2yaxbxc的最大值为 6；抛物线的对称轴是12x；在对称轴左侧，y随x增大而增大8. 如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A 的坐标是（ 2，4） ，过点 A 作 ABy 轴，垂足为 B，连结 OA(1)求OAB 的面积； (2)若抛物线22yxxc经过点 A求 c 的值；将抛物线向下平移m 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在OAB 的内部（不包括 OAB 的边界） ，求 m 的取值范围（直接写出答案即可） x 2 1 0 1 2 y 0 4 6 6 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页学习必备欢迎下载9、“ 已知函数cbxxy221的图象经过点 A（c，2） ，） ，这个二次函数图象的对称轴是 x=3。” 题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。10、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是直角梯形， BCAD，BAD= 90 ，BC 与y 轴相交于点 M，且 M 是 BC 的中点， A、B、D 三点的坐标分别是A（-1，0） ，B( -1，2)，D( 3，0)，连接 DM，并把线段 DM 沿 DA 方向平移到 ON，若抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 D、M、N（1）求抛物线的解析式（2）抛物线上是否存在点P使得 PA= PC若存在，求出点P 的坐标；若不存在请说明理由。（3）设抛物线与 x 轴的另 个交点为 E点 Q 是抛物线的对称轴上的 个动点，当点 Q 在什么位置时有QEQC最大？并求出最大值。A B C D O E N M x y 图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页学习必备欢迎下载11、如图，抛物线 y=21x2+bx2 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A（一 1，0）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；判断 ABC 的形状，证明你的结论；点 M(m，0)是 x 轴上的一个动点，当CM+DM 的值最小时，求 m 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页学习必备欢迎下载12、在平面直角坐标系中，如图1，将 n 个边长为 1 的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边 OA和 OC 分别落在 x 轴和 y 轴的正半轴上。设抛物线y=ax2+bx+c(a0)过矩形顶点 B、C. （1）当 n1时，如果 a=1，试求 b 的值；（2）当 n2 时，如图 2，在矩形 OABC上方作一边长为1 的正方形 EFMN，使 EF 在线段 CB 上，如果 M，N 两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；（3）将矩形 OABC 绕点 O 顺时针旋转，使得点B 落到 x 轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点 O，试求出当 n=3 时 a 的值；直接写出 a关于 n 的关系式 . NMFEyxCBAO图 1 图 2 图 3 yxCBAOCD = 1.1 厘yxCBAOyx O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页