2022年二次根式性质与运算 .pdf

学习必备欢迎下载一、二次根式的概念及性质二次根式的概念：形如a （0a）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号二 次 根 式 的 基 本 性 质 ： （ 1）0a（0a） 双 重 非 负 性 ； （ 2）2()aa （0a） ； （ 3）2 (0) (0)aaaaaa二、二次根式的乘除运算1、二次根式的乘法法则：abab（0a，0b）2、二次根式的除法法则：aabb（0a，0b）三、最简二次根式：1、最简二次根式：二次根式a（0a）中的a称为被开方数满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式（1）被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（3）分母中不含二次根式注意：二次根式的计算结果要写成最简根式的形式2、分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数 式 互 为 有 理 化 因 式 与互 为 有 理 化 因 式 ， 原 理 是 平 方 差 公 式22()()ab abab；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0四、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式合并同类二次根式：()axb xabx同类二次根式才可加减合并一、对二次根式定义的考察【例 1】 判下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2 、4 、33 、1x、(0)x x、0 、42 、1xy、xy （ x0 ，y?0 ） abab二次根式性质与运算新知学习基础演练精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页学习必备欢迎下载【练一练】 下列式子中，是二次根式的是（） A7B38CxDx 【例 2】 当 x 是多少时，31x在实数范围内有意义？【例 3】 当 x 是多少时，1231xx在实数范围内有意义？【练一练】 使式子2(6)x有意义的未知数x 有（）个A0 B1 C2 D无数【练一练】 某工厂要制作一批体积为13m 的产品包装盒， 其高为 02m，按设计需要， ?底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？【例 4】 解答下列 题目若110ab，求20112011ab的值【练一练】 已知 a、b 为实数，且52 2105aab，求 a、b 的值【练一练】 已知实数a 与非零实数x 满足等式：2221130 xaxxx，求2(2)a二、对二次根式性质的考察【例 5】 计算（1）23()4（2）2(34)（3）2(5)（4）23()2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页学习必备欢迎下载【练一练】 计算（1）2(2) (0)xx（2）22()a（ 3）22(21)aa（4）22(4129)xx【例 6】 在实数范围内分解下列因式: （1）25x（2）44x（3）223x【例 7】 先化简再求值：当a=9 时，求212aaa的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=2(1)(1)1aaaa；乙的解答为：原式=2(1)(1)2117aaaaa两种解答中， _的解答是错误的，错误的原因是_【练一练】 若 -3 x2 时，试化简222(3)1025xxxx【例 8】 如果93xyxy 成立，那么x，y 必须满足条件【例 9】 如果) 3(3xxxx，那么（） A0 xB3xC03xD x 为任意实数【练一练】 已知三角形一边长为cm2，这条边上的高为cm12，求该三角形的面积【例 10】把4324根号外的因式移进根号内，结果等于（） A11B11C44D44【练一练】 把下列各式中根号外的因式移到根号里面：（1）;1aa（2）11)1(yy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页学习必备欢迎下载【例 11】已知 a，b为实数，且01) 1(1bba，求20112011ab的值【练一练】 探究过程：观察下列各式及其验证过程（1）222233验证：3322222(22)22(21)22223332121333388验证：3322233(33)33(31)33338883131同理可得：4444151555552424，通过上述探究你能猜测出：21aaa=_（a0） ，并验证你的结论【练一练】 已知880ab， 求6.4 的值【例 12】已知9966xxxx，且 x 为偶数，求2254(1)1xxxx的值【练一练】33231()22nnnnmmmmm（m0，n0）三、最简二次根式的概念【例 13】下列各式中是最简二次根式的是（） Aa8B32bC2yxDyx23精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页学习必备欢迎下载【练一练】 把下列各式化成最简二次根式：（1）23（2）152（3）35a b（4）1123【例 14】计算： （1）182460 ；（2） 2 34 6aab ；（3）14822；【例 15】23 的有理化因式是；xy 的有理化因式是11xx的有理化因式是【例 16】把下列各式分母有理化：（1）2(1)24aa（2）2xyyxy（3）121（4）3 5233 523【练一练】 化简：abab【例 17】1abab【例 18】观察规律：32321,23231, 12121， ，求值（1）7221_； （2）10111_； （ 3）nn11_【练一练】 计算：473132xxxx_【例 19】把下列二次根式32,27,125, 4 45, 2 8,18,12,15 化简后，与2 的被开方数相同的有；与3 的被开方数相同的有；与5 的被开方数相同的有【例 20】若最简二次根式35a与3a是可以合并的二次根式，则_a【例 21】若最简二次根式22323m与221410nm是同类二次根式，求m、n 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页学习必备欢迎下载【练一练】 若4a bb与最简二次根式3ab 是同类二次根式，求a，b 的值【练一练】 已知最简根式27a baab与是同类二次根式，则满足条件的a，b 的值（）A不存在B有一组C有二组D多于二组【例 22】化简计算：（1）132 2（2）5()()8()ababab(0ab) 四、二次根式的加减【例 23】计算： （1） 3 34 3（2）1275【练一练】485127_【例 24】计算：（1）112 8183224（2）11243 4827【练一练】 计算 ：（1） 6 30.1248（2）33118182aba babab【例 25】如图，一架长为10m 的梯子 AB 斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m如果梯子的顶端下滑 1m，那么它的底端是否也下滑1m？CBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页学习必备欢迎下载五、二次根式的乘除【例 26】计算：（1）13221355（2）212121335六、二次根式的混合运算【例 27】计算：（1）2(3243)（2） (235)(235)（3）22(235)(235)（4）20112012(38)(38)【练一练】（1） (233 26)(23326)（2）33(3)a bababab（0,0ab）【例 28】解方程或不等式:（1）6171xx（2）22 2133xx【练一练】 已知1018222aaaa，求a的值【例 29】已知254245222xxxxy，则22yx= 【例 30】化简22111(1)nn，所得的结果为（）A1111nnB1111nnC1111nnD1111nn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页学习必备欢迎下载【例 31】计算：（1）6433 2(63)(32)（2）1014152110141521（3）1111335 33 5755 749474749（4）3 1510263 321852 31七、非负数性质的综合应用【例 32】若21(4)0 xy，则yx的值等于【例 33】如果23322yxx，则 2xy【例 34】当2x时，化简22212xxx【练一练】 已知0a，求22114()4()aaaa的值【例 35】已知实数 x ，y， z满足2114412034xyyzzz，求2()xzy 的值【练一练】 已知实数 a ，b， c 满足2122102abbccc，求()a bc【例 36】若21(2011)10 xyz，则()yxz的值等于精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页学习必备欢迎下载【例 37】已知22230abaaccabc，求3abc 的值【练一练】 若224250abab，求22abab的值【例 38】已知正数 a ，b，且满足22111abba，求证：221ab【题 1】 下列各式中，一定是二次根式的是（） A23B2)3 .0(C2Dx【题 2】 已知33x是二次根式，则x 应满足的条件是（） A x0 B x0C x 3 D x 3 【题 3】 若mm32有意义，则m【题 4】 计算下列各式：（1）2)23(（2）2)32(（3）2)53(（4）2)323(【题 5】 计算下列各式，使得结果的分母中不含有二次根式：（ 1）13_； （ 2）124_； （3）322_； （4）6xy_【题 6】 当 a_时，23a有意义；当x_时，31x有意义当 x_时，x1有意义；当x_时，x1的值为 1【题 7】 若 b0，化简5ab 的结果是 _【题 8】 在9 ，112, 8,273中，与3是同类二次根式的是课后作业精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页学习必备欢迎下载【题 9】 若32xyxy与最简根式64yxym是同类二次根式，则m= 【题 10】若 a，b 两数满足b0 a 且 b a，则下列各式有意义的是（） AbaBabCbaDab【题 11】等式2224xxx成立的条件是（）A2xB2xC22xD2x或2x【题 12】若3,4ab，则下列各式求值过程和结果都正确的是（）A222.()3( 34)21aaba abB2222222.3 ( 3)( 4)3 2515aabaabC22222223 ( 3)( 4)3 2515aabaabD22222223 ( 3)( 4)3 2515aabaab【题 13】计算（1）(32)(23)（2）78(21) (21)（3）533() 32aaaba bbb（4）48)832(3xxxx（5）(1)(1)(1)(1)xxxxxx【题 14】若最简二次根式22a babab与是同类根式，求2ba的值【题 15】已知 a 为实数，那么2a等于（）A aBaC1D0 【题 16】若 ab0，则等式531aabbb成立的条件是【题 17】当 x时，2243xxx有意义 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页学习必备欢迎下载【题 18】如果式子1(1)1aa根号外的因式移入根号内，化简的结果为（）A1aB1aC1aD1a【题 19】如果0a，0ab，化简22(4)(1)baab【题 20】计算：21(240.52)(6)38【题 21】计算：12(82 0.25)( 15072)83【题 22】11(27)( 1245)35【题 23】计算：11276323【题 24】计算：111122320112012精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页学习必备欢迎下载【题 25】(3 248)( 184 3)【题 26】 (236)(62 3)【题 27】 (433 2)(5027)【题 28】（1） (23)( 6)abb（2）335137( 16)()248aaaa【题 29】 (326)(623)【题 30】 (1)(1)(1)(1)xxxxxx【题 31】24ababab 【题 32】1(486)274精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页学习必备欢迎下载【题 33】 (2)()xxyyxy【题 34】111883221【题 35】20511235【题 36】222224242424nnnnnnnn【题 37】已知3327183aaa，求a的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页