大学课件概率论 第3章 随机向量及其分布2.ppt

二维连续型随机变量,例如，向一个靶面射击，考虑命中点的坐(X,Y)，就是一个二维的连续型随机变量。,类似于一维随机变量，较为便捷的办法应当是引入密度函数来研究其分布情况。,但是此时有X,Y两个随机变量，故其密度函数应该是某种“联合”的形式,可以根据定义直接求其联合分布函数，但是往往非常复杂。,若存在非负函数 f（x，y），使对任意实数x和y，二元随机变量(X,Y)的分布函数可表示成如下形式,则称(X,Y)是二元连续型随机变量。f（x，y）称为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数.,二维连续型随机变量的联合概率密度,定义,联合概率密度函数的性质,非负性,几何解释,.,.,随机事件的概率=曲顶柱体的体积,二维均匀分布,例：在某一分钟内的任何时刻,信号进入收音机是等可能的.若收到的两个独立的信号的时间间隔小于0.5秒,则信号将相互干扰. 试求一分钟内两信号相互干扰的概率.,解：设两信号进入收音机的时刻分别为X和Y,则由题设有(X,Y)服从均匀分布,即X和Y的联合分布密度为：,由题意，所求概率为：,二维正态分布,二维连续型随机变量的边缘密度,关于X的边缘概率密度为,关于Y的边缘概率密度为,设f(x,y)为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数。如果我们现在只想考察随机变量X或Y各自的情况，如何处理？,二维连续型随机变量的边缘分布,二维连续型随机变量的相互独立,定义 设（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，两个 边缘分布函数分别为FX(x),FY(y)，如果对于任意的x,y 都有F(x,y)= FX(x) FY(y)，则称随机变量X，Y相互独立。,对任意x,y都成立,对于连续型随机变量，该定义等价于,在实际问题或应用中，当X的取值与Y的取值互不影响时，我们就认为X与Y是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用., 在X与Y是相互独立的前提下，,边缘分布可确定联合分布！,实际意义,补充说明,例 设（X, Y）的联合密度为,求k值和两个边缘分布密度函数.,解:,由,得,当 时,关于X的边缘分布密度为,所以，关于X的边缘分布密度为,当 时,所以，关于Y的边缘分布密度为,当 时,当 时,关于Y的边缘分布密度为,例,已知二维随机向量（X，Y）的密度为,试确定k的数值，并求(X,Y)落在区域D=(x，y)|x2yx，0 x1的概率、边缘分布密度函数及独立性。,边缘分布密度和概率的计算,解:,(1)由概率密度性质，知,y=x,1,1,y=x2,连续型随机变量的条件分布,类似地，Y的条件分布函数及条件密度函数为,综上所述,则：,例,设(X,Y)的密度函数为,解：,例,设（X, Y) 的联合分布密度为,（1）求k值,（2）求关于X和Y的边缘密度,（3）求概率P(X+Y1/2),(2),均匀分布,解：,得,当 时,当 时,所以，关于X的边缘 分布密度函数为,续解 .,解：,当 时,当 时,所以，关于Y的边缘 分布密度函数为,解：（3）,例：如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布,分别积分，可得两个边缘密度函数为：,即其联合密度函数为：,即两个边缘分布分别服从正态分布,与相关系数 无关,可见，联合分布可以确定边缘分布， 但边缘分布不能确定联合分布。,解： 关于X的分布密度函数为,所以， .,同理可得 .,不同的联合分布，可 有相同的边缘分布。,可见，联合分布可以确定边缘分布， 但边缘分布不能确定联合分布。,