小学数学知识点例题精讲《同余问题》学生版.pdf
11. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理1、定义：若两个整数 a、b 被自然数 m 除有相同的余数,那么称 a、b 对于模 m 同余,用式子表示为：ab ( mod m ),左边的式子叫做同余式.同余式读作：a 同余于 b,模 m.2、重要性质及推论：（1）若两个数 a,b 除以同一个数 m 得到的余数相同,则 a,b 的差一定能被 m 整除例如：17与11除以3的余数都是2,所以1711（）能被3整除（2）用式子表示为：如果有 ab ( mod m ),那么一定有 abmk,k 是整数,即 m|(ab)3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时,虽然可以用长除法去求得余数,但当被除位数较多时,计算是很麻烦的建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被 m 除的余数”,我们希望找到一个较简单的数 R,使得：N 与 R 对于除数 m 同余由于 R 是一个较简单的数,所以可以通过计算 R 被 m 除的余数来求得 N 被 m 除的余数 整数 N 被 2 或 5 除的余数等于 N 的个位数被 2 或 5 除的余数; 整数 N 被 4 或 25 除的余数等于 N 的末两位数被 4 或 25 除的余数; 整数 N 被 8 或 125 除的余数等于 N 的末三位数被 8 或 125 除的余数; 整数 N 被 3 或 9 除的余数等于其各位数字之和被 3 或 9 除的余数; 整数 N 被 11 除的余数等于 N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被 11 除的余数;（不够减的话先适当加 11 的倍数再减）; 整数 N 被 7,11 或 13 除的余数等于先将整数 N 从个位起从右往左每三位分一节,奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被 7,11 或 13 除的余数就是原数被 7,11 或 13 除的余数模块一、两个数的同余问题【例例 1】 1】 有一个整数,除 39,51,147 所得的余数都是 3,求这个数.例题精讲例题精讲知识点拨知识点拨教学目标教学目标5-5-3.5-5-3.同余问题同余问题2【例例 2】 2】 某个两位数加上 3 后被 3 除余 1,加上 4 后被 4 除余 1,加上 5 后被 5 除余 1,这个两位数是_. 【例例 3】 3】 有一个自然数,除 345 和 543 所得的余数相同,且商相差 33求这个数是多少?【例例 4】 4】 一个大于 10 的自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除 220 后所得的余数,则这个自然数是多少?【例例 5】 5】 两位自然数ab与ba除以 7 都余 1,并且ab,求abba【例例 6】 6】 现有糖果 254 粒,饼干 210 块和桔子 186 个.某幼儿园大班人数超过 40.每人分得一样多的糖果,一样多的饼干,也分得一样多的桔子.余下的糖果、饼干和桔子的数量的比是：1：3：2,这个大班有_名小朋友,每人分得糖果_粒,饼干_块,桔子_个.模块二、三个数的同余问题【例例 7】 7】 有一个大于 1 的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.【巩固巩固巩固】有一个整数,除 300、262、205 得到相同的余数.问这个整数是几?3【巩固巩固巩固】在除 13511,13903 及 14589 时能剩下相同余数的最大整数是_【巩固巩固巩固】140,225,293 被某大于 1 的自然数除,所得余数都相同.2002 除以这个自然数的余数是 .【巩固巩固巩固】三个数：23,51,72,各除以大于 1 的同一个自然数,得到同一个余数,则这个除数是 .【例例 8】 8】 学校新买来 118 个乒乓球,67 个乒乓球拍和 33 个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同请问学校共有多少个班?【例例 9】 9】 若 2836,4582,5164,6522 四个自然数都被同一个自然数相除,所得余数相同且为两位数,除数和余数的和为_【例例 10】 10】一个大于 1 的数去除 290,235,200 时,得余数分别为a,2a ,5a ,则这个自然数是多少?【巩固巩固巩固】有 3 个吉利数 888,518,666,用它们分别除以同一个自然数,所得的余数依次为 a,a+7,a+10,则这个自然数是_.4【例例 11】 11】一个自然数除 429、791、500 所得的余数分别是5a 、2a、a,求这个自然数和a的值. 【例例 12】 12】甲、乙、丙三数分别为 603,939,393某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的 2 倍,A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的 2 倍求A等于多少?【例例 13】 13】已知 60,154,200 被某自然数除所得的余数分别是1a ,2a,31a ,求该自然数的值【例例 14】 14】有一个自然数,它除以15、17、19所得到的商(1)与余数(0)之和都相等,这样的数最小可能是多少【例例 15】 15】三个不同的自然数的和为 2001,它们分别除以 19,23,31 所得的商相同,所得的余数也相同,这三个数是_,_,_.模块三、运用同余进行论证【例例 16】 16】在 33 的方格表中已如右图填入了 9 个质数.将表中同一行或同一列的 3 个数加上相同的自然数5称为一次操作.问：你能通过若干次操作使得表中 9 个数都变为相同的数吗?为什么?【例例 17】 17】一个三位数除以 17 和 19 都有余数,并且除以 17 后所得的商与余数的和等于它除以 19 后所得到的商与余数的和那么这样的三位数中最大数是多少,最小数是多少?【例例 18】 18】从 1,2,3,n 中,任取 57 个数,使这 57 个数必有两个数的差为 13,则 n 的最大值为多少? 【例例 19】 19】设21n 是质数,证明：21,22,2n被21n 除所得的余数各不相同
