2022年浙江省中考复习数学知识点汇总 .pdf

D C M N O A B P l y E 21、（ 2010 黄冈）已知抛物线2(0)yaxbxc a顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线54y作垂线，垂足为M，连 FM（如图） . （1）求字母a， b，c 的值；（2）在直线 x1 上有一点3(1, )4F，求以 PM 为底边的等腰三角形PFM 的 P 点的坐标， 并证明此时 PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使 PMPN 恒成立，若存在请求出 t 值，若不存在请说明理由. 解：（ 1）a 1，b2，c0 （2）过 P 作直线 x=1 的垂线，可求P的纵坐标为14，横坐标为1132.此时， MPMFPF1，故 MPF 为正三角形 . （3）不存在 .因为当t54，x1 时， PM 与 PN 不可能相等，同理，当t54，x1时， PM 与 PN 不可能相等 . 22、（ 2010 济南）如图所示，抛物线223yxx与 x 轴交于 A、B 两点，直线BD的函数表达式为33 3yx，抛物线的对称轴l 与直线 BD 交于点 C、与 x轴交于点E求 A、B、C 三个点的坐标点 P 为线段 AB 上的一个动点（与点A、点 B 不重合），以点A 为圆心、以AP 为半径的圆弧与线段AC 交于点 M，以点 B 为圆心、以BP 为半径的圆弧与线段BC 交于点 N，分别连接 AN、BM、 MN求证： AN=BM在点P 运动的过程中，四边形 AMNB 的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页x 解：令2230 xx，解得：121,3xx， A(1，0)， B(3，0) 223yxx=2(1)4x，抛物线的对称轴为直线x=1，将 x=1 代入33 3yx，得 y=23 ， C（1， 23 ）. 在 RtACE 中， tanCAE=3CEAE， CAE=60o，由抛物线的对称性可知 l是线段 AB的垂直平分线，AC=BC ， ABC 为等边三角形，AB= BC =AC = 4， ABC= ACB= 60o，又 AM=AP ，BN=BP ， BN = CM ， ABN BCM，AN=BM. 四边形AMNB 的面积有最小值设 AP=m ，四边形 AMNB 的面积为S，由可知AB= BC= 4， BN = CM=BP ，SABC=3442= 4 3 ，CM=BN= BP= 4m，CN=m ，过 M 作 MF BC,垂足为 F，则 MF=MC?sin60o =3(4)2m ，SCMN=12CN MF =12m ?3(4)2m =2334mm，S=SABCSCMN= 4 3 （2334mm）=23(2)3 34mm=2 时， S取得最小值33 . 23、（ 2010 济宁）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧） . 已知A点坐标为（0，3）. （1）求此抛物线的解析式；（2） 过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D， 如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与C有怎样的位置关系，并给出证明；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和PAC的最大面积 . （1）解：设抛物线为2(4)1ya x. 抛物线经过点A（0，3），23(04)1a.14a. 抛物线为2211(4)12344yxxx. (2) 答：l与C相交 . 证明：当21(4)104x时，12x，26x. B为（ 2， 0），C为（ 6，0）.223213AB. 设C与BD相切于点E，连接CE，则90BECAOB. 90ABD，90CBEABO. 又90BAOABO，BAOCBE.AOBBEC. CEBCOBAB.62213CE.8213CE. 抛物线的对称轴l为4x，C点到l的距离为2. 抛物线的对称轴l与C相交 .(3) 解：如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q. 可求出AC的解析式为132yx. 设P点的坐标为（m，21234mm），则Q点的坐标为（m，132m）. 2211133(23)2442PQmmmmm. 22113327()6(3)24244PACPAQPCQSSSmmm, AxyBOCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页当3m时，PAC的面积最大为274. 此时，P点的坐标为（3，34）. 24、 （2010 晋江）已知：如图， 把矩形OCBA放置于直角坐标系中，3OC，2BC，取AB的中点M，连结MC，把MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到DAO. (1)试直接写出点D的坐标；(2)已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作xPQ轴于点Q，连结OP. 若以O、P、Q为顶点的三角形与DAO相似，试求出点P的坐标；试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得TBTO的值最大 . 解： (1) 依题意得：2,23D；(2) 3OC，2BC，2,3B. 抛物线经过原点，设抛物线的解析式为bxaxy20a又 抛 物 线 经 过 点2,3B与 点2,23DA O x B C M y A O x D B C M y E P T Q 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页22349,239baba解得：32,94ba抛物线的解析式为xxy32942.点P在抛物线上，设点xxxP3294,2. 1)若PQODAO， 则AOQODAPQ，22332942xxx， 解得：01x(舍去 )或16512x，点64153,1651P. 2)若OQPDAO，则AOPQDAOQ，23294232xxx， 解得：01x(舍去 )或292x，点6,29P. 存在点T，使得TOTB的值最大 . 抛物线xxy32942的对称轴为直线43x，设抛物线与x轴的另一个交点为E，则点0,23E.，点O、点E关于直线43x对称，TETO，要使得TBTO的值最大，即是使得TBTE的值最大，根据三角形两边之差小于第三边可知，当T、E、B三点在同一直线上时，TBTE的值最大 . 设过B、E两点的 直线解析式为bkxy0k，023,23bkbk解得：2,34bk直线BE的解析式为234xy. HQPEBMADC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页当43x时，124334y. 存在一点1,43T使得TOTB最大 . 25、 （2010）如图，在等边ABC中，线段AM为BC边上的中线 . 动点D在直线AM上时，以CD为一边且在CD的下方作等边CDE，连结BE. (1) 填空：_ACB度；(2) 当点D在线段AM上(点D不运动到点A)时，试求出BEAD的值；(3)若8AB，以点C为圆心，以5 为半径作C与直线BE相交于点P、Q两点，在点D运动的过程中(点D与点A重合除外 )，试求PQ的长 . 解： (1)60；(2)ABC与DEC都是等边三角形BCAC，CECD，60DCEACBBCEDCBDCBACDBCEACD，ACDBCESASBEAD，1BEAD.(3) 当 点D在 线 段AM上 （ 不 与 点A重 合 ） 时 ， 由 (2) 可 知ACDBCE， 则30CADCBE，作BECH于点H，则HQPQ2，连结CQ，则5CQ. EBMACDA B C 备用图 (1) A B C 备用图 (2) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页在CBHRt中，30CBH，8ABBC，则421830sinBCCH. 在CHQRt中，由勾股定理得：3452222CHCQHQ， 则62HQPQ当点D在线段AM的延长线上时，ABC与DEC都是等边三角形BCAC，CECD，60DCEACBDCEDCBDCBACBBCEACDACDBCESAS30CADCBE，同理可得：6PQ. 当点D在线段MA的延长线上时，ABC与DEC都是等边三角形BCAC，CECD，60DCEACB60ACEBCEACEACDBCEACDACDBCESASCADCBE，30CAM150CADCBE，30CBQ. 同理可得：6PQ，综上，PQ的长是 6. 26、（2010 莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线cbxaxy2交x轴于)0,6(),0 ,2(BA两点，交y轴于点)32,0(C.（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线xy2交于点 D，作 D 与 x 轴相切， D 交y轴于点 E、F 两点，求劣弧EF 的长；（3）P 为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG 垂直于x轴，垂足为点G，试确定 P 点的位置，使得 PGA 的面积被直线AC 分为 12 两部分 . PQEBMADCPQEBMADC（第 26 题图）x y O A C B D E F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页解：（ 1）抛物线cbxaxy2经过点)0,2(A，)0,6(B，)320( ，C320636024ccbacba， 解得3233463cba.抛物线的解析式为：32334632xxy.（2）易知抛物线的对称轴是4x. 把 x=4 代入 y=2x 得 y=8，点 D 的坐标为（ 4,8） D 与 x 轴相切， D 的半径为8连结 DE、 DF，作 DM y轴，垂足为点M在 RtMFD 中， FD =8，MD=4 cosMDF =21 MDF =60， EDF =120劣弧 EF 的长为：3168180120（3）设直线AC 的解析式为y=kx+b. 直线 AC 经过点)32,0(),0 ,2(CA.3202bbk，解得323bk. 直线 AC 的解析式为：323xy.设点)0)(3233463,(2mmmmP，PG 交直线 AC 于 N，则点 N 坐标为)323,(mm. GNPNSSGNAPNA:. 若 PN GN=1 2，则 PGGN=32，PG=23GN.即32334632mm=）（32323m.解得： m1=3， m2=2（舍去） . 当 m=3 时，32334632mm=3215.x y O A C B D E F P G N M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页此时点 P 的坐标为)3215, 3(.若 PNGN=21，则 PGGN=31， PG=3GN.即32334632mm=）（3233m.解得：121m，22m（舍去） . 当121m时，32334632mm=342.此时点 P 的坐标为)342,12(.综上所述，当点P 坐标为)3215, 3(或)342,12(时，PGA 的面积被直线AC 分成 12 两部分 27、（ 2010 丽水）小刚上午7：30 从家里出发步行上学，途经少年宫时走了1200步，用时 10 分钟，到达学校的时间是7： 55为了估测路程等有关数据，小刚特意在学校的田径跑道上，按上学的步行速度，走完100 米用了 150 步(1)小刚上学步行的平均速度是多少米/分？小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间的路程分别是多少米？(2)下午 4：00，小刚从学校出发，以45 米/分的速度行走，按上学时的原路回家，在未到少年宫300 米处与同伴玩了半小时后，赶紧以110 米/分的速度回家，中途没有再停留问：小刚到家的时间是下午几时？小刚回家过程中，离家的路程s(米 )与时间t(分)之间的函数关系如图，请写出点B 的坐标，并求出线段CD 所在直线的函数解析式解： (1)小刚每 分钟走 1200 10=120(步)，每步走100 150=23(米)，所以小刚上学的步行速度是12023=80(米 /分)小刚家和少年宫之间的路程是80 10=800(米)少年宫和学校之间的路程是80 ( 25- 10)=1200( 米)(2)1200300800300306045110(分钟 )，所以小刚到家的时间是下午5：00小刚从学校出发，以45 米/分的速度行走到离少年宫300 米处时实际走了900 米，用时9002045分，此时小刚离家1 100 米，所以点B 的坐标是（ 20，1100）线段 CD 表示小刚与同伴玩了30 分钟后， 回家的这个时间段中离家的路程s(米)与行走时间 t(分)之间的函数关系，由路程与时间的关系得1100110(50)st，即线段 CD 所在直线的函数解析式是6600110st 2 分(线段 CD 所在直线的函数解析式也可以通过下面的方法求得：t(分) O s(米) A B C D (第 27 题) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页点 C 的坐标是（ 50，1100），点 D 的坐标是（ 60，0）设线段 CD 所在直线的函数解析式是sktb，将点 C，D 的坐标代入，得501100,600.kbkb解得110,6 600.kb所以线段 CD 所在直线的函数解析式是1106600st) 28、（ 2010 丽水） ABC 中， A=B=30 ，AB= 23 把 ABC 放在平面直角坐标系中，使 AB 的中点位于坐标原点O(如图 )， ABC 可以绕点O 作任意角度的旋转(1)当点 B 在第一象限，纵坐标是62时，求点B 的横坐标；(2)如果抛物线2yaxbxc (a0 )的对称轴经过点C，请你探究：当54a，12b，3 55c时， A，B 两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；设 b=-2am，是否存在这样的m 的值， 使 A，B 两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由解： (1)点 O 是 AB 的中点，132OBAB设点 B 的横坐标是x(x0)，则2226()( 3)2x，解得162x，262x(舍去 ) 点 B 的横坐标是62(2)当54a，12b，3 55c时，得2513 5425yxx () 25513 5()4520yx以下分两种情况讨论情况 1：设点 C 在第一象限 (如图甲 )，则点 C 的横坐标为55，3tan30313OCOB由此，可求得点C 的坐标为 (55，2 55)，点 A 的坐标为 (2 155，155)，A，B 两点关于原点对称，点 B 的坐标为 (2 155，155)将点 A 的横坐标代入()式右边，计算得155，即等于点A 的纵O y x C B A (第 28 题) 1 1 - 1 - 1 O y x C B A (甲) 1 1 - 1 - 1 O y x C B A (乙) 1 1 - 1 - 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页坐标；将点 B 的横坐标代入( )式右边，计算得155，即等于点B 的纵坐标在这种情况下，A，B 两点都在抛物线上情况 2：设点 C 在第四象限 (如图乙 )，则点 C 的坐标为 (55，-2 55)，点 A 的坐标为 (2 155，155)，点 B 的坐标为 (2 155，155)经计算， A，B 两点都不在这条抛物线上(情况 2 另解：经判断，如果A，B 两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上所以A，B 两点不可能都在这条抛物线上) 存在 m 的值是 1 或- 1(22()ya xmamc ，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以 - 1m1当 m= 1时，点 C 在 x 轴上，此时A，B 两点都在y 轴上因此当m= 1 时， A，B 两点不可能同时在这条抛物线上) 29、（2010 龙岩）如图，抛物线交x轴于点 A （2，0），点 B（4，0），交 y 轴于点 C（0，4）（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）若直线yx交抛物线于M，N 两点，交抛物线的对称轴于点E，连接 BC，EB，EC试判断 EBC 的形状，并加以证明；（3）设 P 为直线 MN 上的动点，过P 作 PFED 交直线 MN 下方的抛物线于点F问：在直线 MN 上是否存在点P，使得以 P、E、D、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 P 及相应的点F 的坐标；若不存在，请说明理由（1）解：（法一）设所求的抛物线解析式2yaxbxc (0)a 点 A、B、C 均在此抛物线上42016404abcabcc1214abc 所求的抛物线解析式为2142yxx顶点 D 的坐标为（ 1，92）（法二）设所求的抛物线解析式(2)(4)ya xx 点 C 在此抛物线上，(02)(04)4a，12a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页 所求的抛物线解析式为1(2)(4)2yxx即2142yxx， 顶点 D 的坐标为（ 1，92）（2） EBC 的形状为等腰三角形证明：（法一） 直线 MN 的函数解析式为yx ON 是 BOC 的平分线 B、C 两点的坐标分别为（4，0），（ 0，4） CO=BO=4，MN 是 BC 的垂直平分线 CE=BE，即 ECB 是等腰三角形。（法二） 直线 MN 的函数解析式为yx ON 是 BOC 的平分线，COE = BOE B、C 两点的坐标分别为（4，0）、（ 0，4） CO=BO=4，又 CE=BE， COE BOE CE=BE即 ECB 是等腰三角形（法三） 点 E 是抛物线的对称轴1x和直线yx的交点 E 点的坐标为（1，1） 利用勾股定理可求得CE=2231 =10BE=2231=10 CE=BE ，即 ECB 是等腰三角形（3）解：存在 PFED 要使以 P、E、D、F 为顶点的四边形是平行四边形，只要使PF=ED 点 E 是抛物线的对称轴1x和直线yx的交点 E 点的坐标为（1， 1） ED971()22，点 P 是直线yx上的动点 设 P 点的坐标为（k,k）则直线 PF 的函数解析式为x=k 点 F 是抛物线和直线PF 的交点 F 的坐标为21( ,4)2kkk PF=2211(4)422kkkk217422k1k当1k时，点 P 的坐标为（ 1，1）， F 的坐标为（ 1，92）此时 PF 与 ED 重合，不存在以P、F、D、E 为顶点的平行四边形当1k时，点 P 的坐标为（1，1）， F 的坐标为（1，52）此时，四边形PFDE 是平行四边形 30、（ 2010 龙岩）如图，将直角边长为2 的等腰直角三角形ABC 绕其直角顶点C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页顺时针旋转角（ 0 90 ），得 A1B1C，A1C 交 AB 于点 D，A1B1分别交于BC、AB 于点 E、F，连接 AB1（1）求证： ADCA1DF ；（2）若 =30 ，求 AB1A1的度数；（3）如图， 当 =45时，将 A1B1C 沿 CA 方向平移得 A2B2C2，A2C2交 AB 于点 G，B2C2交 BC 于点 H，设 CC2=x（0 x2 ）， ABC 与 A2B2C2的重叠部分面积为S，试求 S与x的函数关系式解：（ 1）证明：如图，根据旋转变换的性质易知CAD = FA1D ， 1=2 ， ADC A1DF （2）解：（法一） CA=CA1=CB=CB1=2 点 A、A1、B、B1均在以 C 为圆心半径为2 的圆上， AB1A1=12130152（法二）如图， AC=B1C， 4=3，30， A1CB1=90 ACB1=120，4=11802ACB=30 AB1A1=CB1A14=4530=15（法三）如图， AC=B1C， 4=3，CAB=CB1A1 CAB3=CB1A14，即B1AB=AB1A1 5=B1AB+AB1A1， 5=2AB1A1 ADC A1DF 5=， AB1A1=1151522（3）解： A1B1C 在平移的过程中，易证得AC2G、 HB2E、 A2FG、 C2HC、FBE 均是等腰直角三角形，四边形AC2B2F 是平行四边形 AB=22ACBC=2 图图备用图（第 30 题图）图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页 当 =45 时， CE=CD=12AB=1 情形：当0 x1 时（如图所示）， A2B2C2与 ABC 的重叠部分为五边形C2HEFG （法一）S五边形 C2HEFG=S平行四边形AC2B2FSRtAC2GSRtHB2E C2C=x CH=x，AC2=2x ，B2E=HE =1x AG=C2G=22AC2=22(2)122xxS平行四边形AC2B2F=AC2CE=（2x ） 1=2xSRtAC2G=12AG2=2212121(1)22224xxxSRtHB2E=12B2E2=22111(1)222xxxS五边形 C2HEFG=22121112()()22422xxxxx=2322142xx（法二）S五边形 C2HEFG=SRtA2B2C2SRtA2FGSRtHB2E C2C=x AC2=2x ，B2E=1x C2G=22AC2=22(2)122xxA2G=A2C2C2G =222(1)2122xxSRtA2B2C2=12A222C=122(2) =1 SRtA2FG=12A2G2=2212322221(21)22224xxxSRtHB2E =12B2E2=22111(1)222xxxS五边形 C2HEFG=2232 2221111()()22422xxxx=2322142xx图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页（法三）S五边形 C2HEFG=SRtABCSRtAC2GSRtC2HCSRtFBE C2C=x AC2=2x ，CH= x ，BE=21 AG=C2G=22AC2=22(2)122xxSRtABC=12A2C=122(2) =1 SRt AC2G =12AG2=2212121(1)22224xxxSRtC2HC =12C2C2=212xSRtFBE=12BE2=2132 2(21)22S五边形 C2HEFG=2212113221()22422xxx=2322142xx情形：当1x2 时（如图所示），A2B2C2与 ABC 的重叠部分为直角梯形C2B2FG （法一）S直角梯形C2B2FG=S平行四边形C2B2FASRtAC2G=AC2CE12AG2=21212()224xxx=2121(1)2422xx（法二）S直角梯形C2B2FG=SRtA2B2C2SRtA2FG=232 22211()224xx=2121(1)2422xx图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页