2022年中考数学专题复习相似图形 .pdf

学习必备欢迎下载20XX 年中考数学专题复习第二十七讲相似图形【基础知识回顾】一、 成比例线段：1、线段的比：如果选用同一长度的 两条线段，的长度分别为m、n 则这两条线段的比就是它们的比，即：ABCD=2、比例线段：四条线段a、b、c、d 如果ab=那么四条线段叫做同比例线段，简称3、比例的基本性质：ab=cd 4、平行线分线段成比例定理：将平行线截两条直线【名师提醒： 1、表示两条线段的比时，必须示用相同的，在用了相同的前提下，两条线段的比值与用的无关即比值没有2、 全分割：点 C 把线段 AB 分成两条， 线段 AC 和 BC （ACBC ） 如果那么称线段AB 被点 C 全分割 AC 与 AB 的比叫全比，即LACAB= 】二、相似三角形：1、定义：如果两个三角形的各角对应各边对应那么这两个三角形相似2、性质：相似三角形的对应角对应边相似三角形对应点的比、对应角平分线的比、对应的比都等于相似三角形周长的比等于面积的比等于1、 判定：基本定理：平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交，三角形与原三角形相似两边对应且夹角的两三角形相似两角的两三角形相似三组对应边的比的两三角形相似【名师提醒：1、全等是相似比为的特殊相似2、根据相似三角形的性质的特质和判定，要证四条线段的比相等相等一般要先证判定方法中最常用的是三组对应边成比例的两三角形相似多用在点三角形中】三、相似多边形：1、定义：各角对应各边对应的两个多边形叫做相似多边形2、性质：相似多边形对应角对应边相似多边形周长的比等于面积的比等于【名师提醒：相似多边形没有专门的判定方法，判定两多边形相似多用在矩形中，一般用定义进行判定】一、 位似：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 41 页学习必备欢迎下载1、定义：如果两个图形不仅是而且每组对应点所在直线都经过那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做这时相似比又称为2、性质：位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于【名师提醒：1、位似图形一定是图形，但反之不成立，利用位似变换可以将一个图形放大或2、在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比位r，那么位似图形对应点的坐标的比等于或】【典型例题解析】考点一：比例线段例 1 （2012?福州） 如图，已知ABC ， AB=AC=1 ， A=36 ， ABC的平分线BD 交AC 于点 D，则 AD 的长是，cosA 的值是 （结果保留根号）考点：黄金分割；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义分析：可以证明ABC BDC ，设 AD=x ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x 的值；过点 D 作 DEAB 于点 E，则 E 为 AB 中点，由余弦定义可求出cosA 的值解答：解：ABC ，AB=AC=1 ， A=36 ， ABC= ACB=1802A=72 BD 是 ABC 的平分线， ABD= DBC=12ABC=36 A=DBC=36 ，又 C=C ABC BDC ，ACBC=BCCD，设 AD=x ，则 BD=BC=x 则11xxx，解得： x=152（舍去）或152故 x=152如右图，过点D 作 DEAB 于点 E，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 41 页学习必备欢迎下载AD=BD ，E 为 AB 中点，即AE=12AB=12在 RtAED 中， cosA=125 12AEAD=514故答案是：152；514点评： ABC 、 BCD 均为黄金三角形，利用相似关系可以求出线段之间的数量关系；在求 cosA 时，注意构造直角三角形，从而可以利用三角函数定义求解对应训练2 （ 2012?孝感）如图，在ABC 中， AB=AC ， A=36 ，BD 平分 ABC 交 AC 于点 D，若 AC=2 ，则 AD 的长是（）A512B512C51D51考点：黄金分割分析： 根据两角对应相等，判定两个三角形相似再用相似三角形对应边的比相等进行计算求出 BD 的长解答：解：A= DBC=36 ， C 公共， ABC BDC ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 41 页学习必备欢迎下载且 AD=BD=BC 设 BD=x ，则 BC=x ，CD=2-x 由于BCACCDBC，22xxx整理得： x2+2x-4=0，解方程得： x=-15，x 为正数，x=-1+5故选 C点评： 本题考查的是相似三角形的判定与性质，先用两角对应相等判定两个三角形相似，再用相似三角形的性质对应边的比相等进行计算求出BD 的长考点二：相似三角形的性质及其应用例 2 （2012?重庆） 已知 ABC DEF，ABC 的周长为3，DEF 的周长为1，则 ABC与 DEF 的面积之比为考点：相似三角形的性质专题：探究型分析：先根据相似三角形的性质求出其相似比，再根据面积的比等于相似比的平方进行解答即可解答：解：ABC DEF， ABC 的周长为3， DEF 的周长为1，三角形的相似比是3： 1， ABC 与 DEF 的面积之比为9：1故答案为： 9：1点评：本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方对应训练2 （ 2012?沈阳）已知ABC A B C，相似比为3：4， ABC 的周长为6，则 A B C的周长为考点：相似三角形的性质专题：应用题分析：根据相似三角形周长的比等于相似比计算即可得解解答：解：ABC ABC，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 41 页学习必备欢迎下载 ABC 的周长： ABC的周长 =3：4， ABC 的周长为6， ABC的周长 =643=8故答案为： 8点评： 本题主要考查了相似三角形周长的比等于相似比的性质，是基础题， 熟记性质是解题的关键考点三：相似三角形的判定方法及其应用例 3 （2012?徐州）如图，在正方形ABCD 中， E 是 CD 的中点，点F 在 BC 上，且 FC= 14BC图中相似三角形共有（）A1 对B2 对C3 对D4 对考点：相似三角形的判定；正方形的性质分析：首先由四边形ABCD 是正方形， 得出 D= C=90 ，AD=DC=CB ，又由 DE=CE ，FC= 14BC，证出 ADE ECF，然后根据相似三角形的对应边成比例与相似三角形的对应角相等，证明出AEF ADE ，则可得 AEF ADE ECF，进而可得出结论解答：解：图中相似三角形共有3 对理由如下：四边形 ABCD 是正方形， D=C=90 ，AD=DC=CB ，DE=CE ，FC=14BC，DE：CF=AD ：EC=2：1， ADE ECF，AE：EF=AD ：EC， DAE= CEF，AE：EF=AD ：DE，即 AD ： AE=DE ：EF， DAE+ AED=90 ， CEF+ AED=90 ， AEF=90 ， D=AEF， ADE AEF， AEF ADE ECF，即 ADE ECF， ADE AEF， AEF ECF故选 C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 41 页学习必备欢迎下载点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质此题难度适中，解题的关键是证明 ECF ADE ，在此基础上可证AEF ADE 例 4 16 （2012?资阳） （1）如图（1） ，正方形 AEGH 的顶点 E、H 在正方形ABCD 的边上，直接写出 HD ：GC：EB 的结果（不必写计算过程）；（2）将图（ 1）中的正方形AEGH 绕点 A 旋转一定角度，如图（2） ，求 HD：GC：EB；（3）把图（ 2）中的正方形都换成矩形，如图（3） ，且已知DA： AB=HA ：AE=m ：n，此时 HD ：GC： EB 的值与（ 2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性质分析： （1）首先连接AG ，由正方形AEGH 的顶点 E、H 在正方形ABCD 的边上，易证得GAE= CAB=45 ，AE=AH ， AB=AD ， 即 A， G， C 共线，继而可得 HD=BE ， GC= 2BE，即可求得 HD ：GC：EB 的值；（2）连接 AG、AC ，由 ADC 和 AHG 都是等腰直角三角形，易证得DAH CAG 与DAH BAE ，利用相似三角形的对应边成比例与正方形的性质，即可求得HD ：GC：EB 的值；（3）由矩形AEGH 的顶点 E、H 在矩形 ABCD 的边上，由DA： AB=HA ：AE=m ：n，易证得 ADC AHG ，DAH CAG， ADH ABE ，利用相似三角形的对应边成比例与勾股定理即可求得HD ：GC：EB 的值解答：解：（ 1）连接 AG ，正方形 AEGH 的顶点 E、H 在正方形ABCD 的边上， GAE= CAB=45 ，AE=AH，AB=AD，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 41 页学习必备欢迎下载A，G，C 共线， AB-AE=AD-AH，HD=BE ，AG=sin 45AE=2AE，AC=sin45AB=2AB ，GC=AC-AG=2AB-2AE=2（AB-AE ）=2BE，HD ：GC：EB=1：2：1。（2）连接 AG、 AC， ADC 和 AHG 都是等腰直角三角形，AD ：AC=AH ：AG=1 ：2， DAC= HAG=45 ， DAH= CAG， DAH CAG ，HD ：GC=AD ：AC=1 ：2， DAB= HAE=90 ， DAH= BAE，在 DAH 和 BAE 中，ADABDAHBAEAHAE， DAH BAE （SAS） ，HD=EB ，HD ：GC：EB=1：2：1；（3）有变化，连接 AG 、AC，矩形 AEGH 的顶点 E、H 在矩形 ABCD 的边上， DA ：AB=HA ：AE=m ：n， ADC= AHG=90 ， ADC AHG ，AD ：AC=AH ：AG=m ：22mn， DAC= HAG ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 41 页学习必备欢迎下载 DAH= CAG， DAH CAG ，HD ：GC=AD ：AC=m ：22mn， DAB= HAE=90 ， DAH= BAE，DA ：AB=HA ：AE=m ： n， ADH ABE ，DH ：BE=AD ：AB=m ：n，HD ：GC：EB=m：22mn： n点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质、 全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识此题综合性较强，难度较大， 注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用对应训练3. （2012?攀枝花）如图，ABC ADE且 ABC= ADE ， ACB= AED ，BC 、DE交于点 O则下列四个结论中，1=2； BC=DE ； ABD ACE； A、O、C、E 四点在同一个圆上，一定成立的有（）A1 个B2 个C3 个D4 个考点：相似三角形的判定；全等三角形的性质；圆周角定理分析：由 ABC ADE 且 ABC= ADE ， ACB= AED ，根据全等三角形的性质，即可求得 BC=DE ， BAC= DAE ， 继而可得 1=2， 则可判定正确； 由 ABC ADE ，可得 AB=AD ，AC=AE ，则可得AB： AC=AD ： AE，根据有两边对应成比例且夹角相等三角 形 相 似 ， 即 可 判 定 正 确 ； 易 证 得 AEF DCF与 AOF CEF， 继 而 可 得OAC+ OCE=180 ，即可判定A、O、C、E 四点在同一个圆上解答：解：ABC ADE 且 ABC= ADE ， ACB= AED ， BAC= DAE ，BC=DE ，故正确； BAC- DAC= DAE- DAC ，即 1=2，故正确； ABC ADE ，AB=AD ， AC=AE ，ABADACAE， 1=2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 41 页学习必备欢迎下载 ABD ACE ，故正确； ACB= AEF， AFE= OFC， AFE OFC，AFEFOACF， 2=FOC，即AFOFEFCF， AFO= EFC， AFO EFC， FAO= FEC， EAO+ ECO=2+FAO+ECO=FOC+FEC+ECO=180 ，A、O、C、E 四点在同一个圆上，故正确故选 D点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质以及四点共圆的知识此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意找到相似三角形是解此题的关键4. （2012?义乌市）在锐角ABC 中， AB=4 ，BC=5 ， ACB=45，将 ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转，得到A1BC1（1）如图 1，当点 C1在线段 CA 的延长线上时，求CC1A1的度数；（2）如图 2，连接 AA1，CC1若 ABA1的面积为 4，求 CBC1的面积；（3）如图 3，点 E 为线段 AB 中点，点P 是线段 AC 上的动点，在ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质专题：几何综合题分析： （1）由由旋转的性质可得：A1C1B= ACB=45，BC=BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得 CC1A1的度数；（2）由 ABC A1BC1，易证得 ABA1 CBC1，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得CBC1的面积；（3）由当P 在 AC 上运动至垂足点D， ABC 绕点 B 旋转，使点P 的对应点P1在线段精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 41 页学习必备欢迎下载AB 上时， EP1最小，当P 在 AC 上运动至点C， ABC 绕点 B 旋转，使点P 的对应点P1在线段 AB 的延长线上时，EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值与最小值解答：解：（ 1）由旋转的性质可得：A1C1B=ACB=45，BC=BC1， CC1B= C1CB=45 ，. （2 分） CC1A1= CC1B+A1C1B=45 +45 =90 （2） ABC A1BC1，BA=BA1，BC=BC1， ABC= A1BC1，11BABABCBC， ABC+ ABC1=A1BC1+ABC1， ABA1=CBC1， ABA1 CBC11122416()()525ABACBCSABSBC，SABA1=4，SCBC1=254；（3）如图1，过点 B 作 BDAC ，D 为垂足， ABC 为锐角三角形，点 D 在线段 AC 上，在 RtBCD 中， BD=BC sin45 =522，当 P 在 AC 上运动与AB 垂直的时候，ABC 绕点 B 旋转，使点P 的对应点P1在线段 AB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 41 页学习必备欢迎下载上时， EP1最小，最小值为：EP1=BP1-BE=BD-BE=522-2；当 P 在 AC 上运动至点C， ABC 绕点 B 旋转，使点P 的对应点P1在线段 AB 的延长线上时， EP1最大，最大值为：EP1=BC+BE=2+5=7 点评： 此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的应用此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系考点四：位似例 5 （ 2012?玉林）如图，正方形ABCD 的两边 BC，AB 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上， 正方形 A B C D与正方形ABCD 是以 AC 的中点 O 为中心的位似图形，已知 AC=32， 若点 A 的坐标为（1， 2） ， 则正方形ABCD与正方形ABCD 的相似比是 （）A16B13C12D23考点：位似变换；坐标与图形性质分析：延长AB交 BC 于点 E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比解答：解：在正方形ABCD 中， AC=32BC=AB=3 ，延长 AB交 BC 于点 E，点 A 的坐标为（ 1，2） ，OE=1，EC=A E=3-1=2，正方形 ABCD的边长为1，正方形 ABCD与正方形ABCD 的相似比是13故选 B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 41 页学习必备欢迎下载点评：本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长对应训练5 （ 2012?咸宁）如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形， O 为位似中心，相似比为 1：2，点 A 的坐标为（ 1，0） ，则 E 点的坐标为（）A （2，0）B （3 3,)2 2C(2,2)D(2, 2)考点：位似变换；坐标与图形性质分析：由题意可得OA： OD=1：2，又由点 A 的坐标为（ 1，0） ，即可求得OD 的长，又由正方形的性质，即可求得E 点的坐标解答： 解：正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形， O 为位似中心， 相似比为1：2，OA ：OD=1：2，点 A 的坐标为（ 1，0） ，即 OA=1 ，OD=2，四边形 ODEF 是正方形，DE=OD=2E 点的坐标为： （2，2） 故选 C点评： 此题考查了位似变换的性质与正方形的性质此题比较简单， 注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 41 页学习必备欢迎下载【聚焦山东中考】1 （2012?潍坊）已知矩形ABCD 中，AB=1 ，在 BC 上取一点E，沿 AE 将 ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上的 F 点，若四边形EFDC 与矩形 ABCD 相似，则 AD= （）A512B512C3D2 考点：相似多边形的性质；翻折变换（折叠问题）分析：可设AD=x ，根据四边形EFDC 与矩形 ABCD 相似，可得比例式，求解即可解答：解： AB=1 ，设 AD=x ，则 FD=x-1 ，FE=1，四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，EFADADAB，111xx，解得 x1=152，x2=152（负值舍去） ，经检验 x1=152是原方程的解故选 B点评：考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形 ABCD 相似得到比例式2 （2012?东营）如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点 O 在坐标原点，边OA 在 x 轴上， OC 在 y 轴上，如果矩形OA BC与矩形 OABC 关于点 O 位似，且矩形OA BC的面积等于矩形 OABC 面积的14，那么点B 的坐标是（）A （-2，3）B （2， -3）C （3，-2）或（ -2，3）D （-2，3）或（ 2，-3）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 41 页学习必备欢迎下载考点：相似多边形的性质；坐标与图形性质分析： 由矩形 OA BC与矩形 OABC 关于点 O 位似，且矩形 OA BC的面积等于矩形OABC面积的14，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得矩形OA BC与矩形OABC 的位似比为1： 2，又由点B 的坐标为（ -4，6） ，即可求得答案解答：解：矩形OA BC与矩形 OABC 关于点 O 位似，矩形 OA BC矩形 OABC ，矩形 OA BC的面积等于矩形OABC 面积的14，位似比为： 1：2，点 B 的坐标为（ -4，6） ，点 B 的坐标是：（-2，3）或（ 2，-3） 故选 D点评： 此题考查了位似图形的性质此题难度不大，注意位似图形是特殊的相似图形，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用，注意数形结合思想的应用3. （ 2012?日照） 在菱形 ABCD 中，E 是 BC 边上的点， 连接 AE 交 BD 于点 F，若 EC=2BE ，则BFFD的值是（）A12B13C14D15考点：相似三角形的判定与性质；菱形的性质分析：根据菱形的对边平行且相等的性质，判断BEF DAF ，得出BFFD= BEAD，再根据 BE 与 BC 的数量关系求比值解答：解：如图，在菱形 ABCD 中， AD BC，且 AD=BC ， BEF DAF ，BFFD= BEAD，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 41 页学习必备欢迎下载又 EC=2BE ，BC=3BE ，即 AD=3BE ，BFFD= BEAD=13，故选 B点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质 关键是由平行线得出相似三角形，由菱形的性质得出线段的长度关系4.（2012?德州）为了测量被池塘隔开的A，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB BE， EFBE，AF 交 BE 于 D，C 在 BD 上有四位同学分别测量出以下四组数据： BC，ACB ； CD， ACB ， ADB ； EF，DE ，BD； DE，DC，BC能根据所测数据，求出A，B 间距离的有（）A1 组B2 组C3 组D4 组 F 考点：相似三角形的应用；解直角三角形的应用分析：根据三角形相似可知，要求出AB ，只需求出EF 即可所以借助于相似三角形的性质，根据EFFDABBD即可解答解答：解：此题比较综合，要多方面考虑，因为知道 ACB 和 BC 的长，所以可利用ACB 的正切来求AB 的长；可利用 ACB 和 ADB 的正切求出AB；，因为 ABD EFD 可利用EFFDABBD，求出 AB ；无法求出A，B 间距离故共有 3 组可以求出A，B 间距离故选 C点评：本题考查相似三角形的应用和解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出5 （ 2012?威海）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为（4，0） ， （8，2） ，（6，4） 已知 A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3） ， （2，5） ，若 ABC 与 A1B1C1位似，则 A1B1C1的第三个顶点的坐标为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 41 页学习必备欢迎下载考点：位似变换；坐标与图形性质分析：首先由题意可求得直线AC 、AB 、BC 的解析式与过点（1，3） ， （2，5）的直线的解析式，即可知过这两点的直线与直线AC 平行，则可分别从若A 的对应点为A1（1，3） ，C 的对应点为C1（2，5）与若C 的对应点为A1（1，3） ，A 的对应点为C1（2，5）去分析求解，即可求得答案解答：解：设直线AC 的解析式为：y=kx+b ， ABC 的顶点坐标分别为（4，0） ， （8，2） ， （6，4） ，4064kbkb，解得：28kb，直线 AC 的解析式为： y=2x-8 ，同理可得：直线AB 的解析式为： y=12x-2，直线 BC 的解析式为：y=-x+10 ， A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3） ， （2，5） ，过这两点的直线为：y=2x+1，过这两点的直线与直线AC 平行，若 A 的对应点为A1（1，3） ，C 的对应点为C1（2，5） ，则 B1C1BC ，B1A1BA ，设直线 B1C1的解析式为y=-x+a，直线 B1A1的解析式为y=12x+b，-2+a=5，12+b=3，解得： a=7，b=52，直线 B1C1的解析式为y=-x+7 ，直线 B1A1的解析式为y=12x+52，则直线 B1C1与直线 B1A1的交点为：（3，4） ；若 C 的对应点为A1（1，3） ，A 的对应点为C1（2，5） ，则 B1A1BC，B1C1BA ，设直线 B1C1的解析式为y=12x+c，直线 B1A1的解析式为y=-x+d ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 41 页学习必备欢迎下载12 2+c=5， -1+d=3，解得： c=4，d=4，直线 B1C1的解析式为y=12x+4，直线 B1A1的解析式为y=-x+4 ，则直线 B1C1与直线 B1A1的交点为：（0，4） A1B1C1的第三个顶点的坐标为（3， 4）或（ 0，4） 故答案为：（ 3，4）或（ 0，4） 点评：此题考查了位似图形的性质此题难度适中， 注意掌握位似图形的对应线段互相平行，注意掌握待定系数法求一次函数解析式的知识，注意分类讨论思想与数形结合思想的应用6 （2012?菏泽）如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，ABC 和 DEF 的顶点都在格点上， P1，P2，P3，P4， P5是 DEF 边上的 5 个格点，请按要求完成下列各题：（1）试证明三角形ABC 为直角三角形；（2）判断 ABC 和 DEF 是否相似，并说明理由；（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的 3 个格点并且与ABC 相似（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）考点：作图 相似变换；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定分析： （1）利用网格借助勾股定理得出AB=25，AC=5，BC=5 ，再利用勾股定理逆定理得出答案即可；（2）利用AB=25，AC=5，BC=5 以及 DE=42，DF=22，EF=210，利用三角形三边比值关系得出即可；（3）根据 P2P4 P5三边与 ABC 三边长度得出答案即可解答：解：（ 1）根据勾股定理，得AB=25，AC=5，BC=5 ；显然有 AB2+AC2=BC2，根据勾股定理的逆定理得ABC 为直角三角形；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 41 页学习必备欢迎下载（2） ABC 和 DEF 相似根据勾股定理，得AB=25，AC=5，BC=5，DE=42，DF=22，EF=21052 2ABACBCDEDFEF， ABC DEF（3）如图：连接P2P5，P2P4， P4P5，P2P5=10，P2P4=2，P4P5=22，AB=25，AC=5， BC=5，254524105P PP PP PBCABAC， ABC P2P4 P5点评：此题主要考查了相似三角形的判定以及勾股定理与逆定理应用，根据已知得出三角形各边长度是解题关键【备考真题过关】一、选择题1 （ 2012?凉山州）已知513ba，则abab的值是（）A23B32C94D49考点：比例的性质分析：先设出b=5k ，得出 a=13k，再把 a，b 的值代入即可求出答案解答：解：令a，b 分别等于13 和 5，513ba，a=13，abab=13541359；故选 D点评： 此题考查了比例的性质此题比较简单， 解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 41 页学习必备欢迎下载形2 （ 2012?天门）如图，ABC 为等边三角形，点E 在 BA 的延长线上，点D 在 BC 边上，且 ED=EC若 ABC 的边长为4，AE=2 ，则 BD 的长为（）A2 B3 C3D31考点：平行线分线段成比例；等腰三角形的性质；等边三角形的性质分析：延长BC 至 F 点，使得CF=BD ，证得 EBD EFC 后即可证得B=F，然后证得 ACEF，利用平行线分线段成比例定理证得CF=EA 后即可求得BD 的长解答：解：延长BC 至 F 点，使得CF=BD ，ED=EC EDB= ECF EBD EFC B=F ABC 是等边三角形， B=ACB ACB= F AC EF AE=CF=2 BD=AE=CF=2 故选 A点评：本题考查了等腰三角形及等边三角形的性质，解题的关键是正确的作出辅助线3 （2012?宁德）如图， 在矩形 ABCD 中，AB=2 ，BC=3 ，点 E、F、G、H 分别在矩形ABCD的各边上， EFAC HG，EHBDFG，则四边形EFGH 的周长是（）A10B13C2 10D2 13精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 41 页学习必备欢迎下载考点：平行线分线段成比例；勾股定理；矩形的性质分析： 根据矩形的对角线相等，利用勾股定理求出对角线的长度，然后根据平行线分线段成比例定理列式表示出EF、EH 的长度之和，再根据四边形EFGH 是平行四边形，即可得解解答：解：在矩形ABCD 中， AB=2，BC=3 ，根据勾股定理，AC=BD=22222313ABBC，EFAC HG，EFEBACAB，EHBD FG，EHAEBDAB，EFEHEBAEACBDABAB=1，EF+EH=AC=13，EFHG，EHFG，四边形 EFGH 是平行四边形，四边形 EFGH 的周长 =2（EF+EH ）=213故选 D点评： 本题考查了平行线分线段成比例定理，矩形的对角线相等，勾股定理，根据平行线分线段成比例定理求出EFEHACBD1 是解题的关键，也是本题的难点4 （ 2012?柳州）小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段AB 在乙图中的对应线段是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 41 页学习必备欢迎下载AFG BFH CEH DEF 考点：相似图形分析：观察图形，先找出对应顶点，再根据对应顶点的连线即为对应线段解答解答：解：由图可知，点A、E 是对应顶点，点 B、F 是对应顶点，点 D、H 是对应顶点，所以，甲图中的线段AB 在乙图中的对应线段是EF故选 D点评：本题考查了相似图形，根据对应点确定对应线段，所以确定出对应点是解题的关键5.（2012?铜仁地区）如图，六边形ABCDEF 六边形GHIJKL ，相似比为2：1，则下列结论正确的是（）A E=2 K BBC=2HI C六边形ABCDEF 的周长 =六边形 GHIJKL 的周长DS六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL考点：相似多边形的性质专题：探究型分析：根据相似多边形的性质对各选项进行逐一分析即可解答：解： A、六边形ABCDEF 六边形GHIJKL ， E=K，故本选项错误；B、六边形ABCDEF 六边形 GHIJKL ，相似比为2：1， BC=2HI ，故本选项正确；C、六边形ABCDEF 六边形GHIJKL ，相似比为2：1，六边形 ABCDEF 的周长 =六边形 GHIJKL 的周长 2，故本选项错误；D、六边形ABCDEF 六边形GHIJKL ，相似比为2：1，S六边形ABCDEF=4S六边形GHIJKL，故本选项错误故选 B点评： 本题考查的是相似多边形的性质，即两个相似多边形的对应角相等，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方6. （2012?荆州）下列4 4 的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与 ABC 相似的三角形所在的网格图形是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 41 页学习必备欢迎下载ABCD考点：相似三角形的判定专题：网格型分析：根据勾股定理求出ABC的三边，并求出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案解答：解：根据勾股定理，AB=2222=22，BC=2211=2，AC=221310，所以 ABC 的三边之比为2：22：10=1：2：5，A、三角形的三边分别为2，221310，2233=32，三边之比为2：10：32=2：5：3，故本选项错误；B、三角形的三边分别为2， 4，2224=25，三边之比为2：4：25=1：2：5，故本选项正确；C、三角形的三边分别为2，3，2223=13，三边之比为2：3：13，故本选项错误；D、三角形的三边分别为2212=5，2223=13，4，三边之比为5：13：4，故本选项错误故选 B点评：本题主要考查了相似三角形的判定与网格结构的知识，根据网格结构分别求出各三角形的三条边的长，并求出三边之比是解题的关键7. （2012?海南）如图，点D 在 ABC 的边 AC 上，要判定 ADB 与 ABC 相似，添加一个条件，不正确的是（）A ABD= C B ADB= ABC CABCBBDCDDADABABAC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 41 页学习必备欢迎下载考点：相似三角形的判定分析：由 A 是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A 与 B 正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D 正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用解答：解：A 是公共角，当 ABD= C 或 ADB= ABC 时， ADB ABC（有两角对应相等的三角形相似）；故 A 与 B 正确；当ADABABAC时， ADB ABC （两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似） ；故 D 正确；当ABCBBDCD时， A 不是夹角，故不能判定ADB 与 ABC 相似，故 C 错误故选 C点评： 此题考查了相似三角形的判定此题难度不大， 注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用8 （2012?遵义） 如图， 在 ABC 中，EFBC，12AEEB，S四边形BCFE=8，则 SABC=（）A9 B10 C12 D13 考点：相似三角形的判定与性质专题：计算题分析： 求出AEAB的值， 推出 AEF ABC ，得出19SAEFABCS，把 S四边形BCFE=8 代入求出即可解答：解：12AEEB，AEAB=11123，EFBC， AEF ABC ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 41 页学习必备欢迎下载211( )39SAEF ABCS，9SAEF=SABC，S四边形BCFE=8，9（SABC-8）=SABC，解得： SABC=9故选 A点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意： 相似三角形的面积比等于相似比的平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目9. （2012?宜宾）如图，在四边形ABCD 中， DCAB， CBAB ，AB=AD ，CD= 12AB ，点 E、F分别为 AB 、AD 的中点，则 AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为（）A17B16C15D14考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；三角形中位线定理分析：根据三角形的中位线求出EF= 12BD ， EFBD ，推出AEF ABD ，得出14S AEFABDS，求出112122DCBCSABBCCDBABDS，即可求出AEF 与多边形BCDFE 的面积之比解答：解：连接BD，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 41 页学