2022年习题答案复变函数与积分变换 .pdf

优秀学习资料欢迎下载第一章1-1(（1）3534,222ziz; (（2）7513,2922ziz; (（3）34,10ziz; (（4）1,1zz; 1-21,11xy. 1-321zz为实数的充要条件是222111zzzzzz即10zzzz. 1-4证明略1-5(（1）2cossin,1,2222iiiieiArgik; (（ 2）1cossin,1,1(21)iieArgk; (3) ,132, arg 1313233Argiiik; (4) 221cossin2sinsincos2sin2222iiie; (5) 1,2, arg4zizz. 1-6由设知，22111, arg2zzzz。所以，21ziz。故有312ab。1-7(（1）163i；(（2）8i；(（ 3）31313131,22222222iiiiii。1-812313,2,13zizzi。1-92cosn1-10 证明略精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载1-11 证明略1-12 (（1） a，b 连线的垂直平分线；(（2）2211416xy；(（3）等轴双曲线22xya，(（4）双曲线22xya1-13 略1-1422220,1,12xxyxy，无界的单连通区域。1-15 (（1）12w；（ （2）uv；（ （3）去掉原点（ 0,0）的直线0v(4) 1122w; （ （5）12u1-16 （ （1）123,22 ,8wiwiwi（ （2）0argw1-17 证明略1-18 证明略第二章2-1（ （1）在 z=0 点可微，0,000uvfixx（ （2）在直线23xy和直线23xy上可微，在可微点00,xy处，00200,6xyuvfzixxx。（ （3）-（ （6）略。2-22fii，伸缩率2fii，旋转角是2。 把过zi平行于实轴的正向，映为w平面上过1w点，且指向虚轴的正向。2-3（ （1） ， （ （2）均处处不解析。2-4证明略，22336uvfzixyi xyxx。2-5应用可微函数判别定理证明，下半平面的任一点都是fz的可微点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载2-6证明略2-7（ （1）322322333333fzxx yxyyix yxyyxc（ （2）221lnarctanlnn2yfzxyicziczcx2-8,uvCR不 满 足方 程2-9(（1）至 (（3）均正确。2-10 (（1）1121150, 1, 2,.2kzkik；(（2）112ln210, 1, 2,.4zkik，222ln210, 1, 2,.4zkik。2-11 (（1）1111cos1sin1ch1cos1sh1sin122eeieei；(（2）22sin6sh22 ch 1 sin 3i。2-12 (（1）12i；(（2）2；(（ 3）2R。2-13 (（1）92i(（2）95i。2-14 (（1）i；(（2）i。2-158。2-16不都为 0，例如112:12CzdziCz。2-17(（1）0；（2）0；（3）0；（4）0。2-18(（1）0；（2）0；（3）0；（4）。2-19考察函数2fzz。2-20由推广的柯西积分定理知，存在适当小的正数0，使对任一00,，有000Lzzzzfz dzfz dzfz dz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载2-21（ （1）0；（ （2）i；（ （3）1e；（ （4）41i；（ （5）0；（ （6）22i（ （7）1i ee2-22证明略2-23利用柯西公式。2-24(（1）0； (（2）6 i；(（3）12iee；（ （4）125ei；（ （5）0（1100nn或） ； （ （6）100100120100ninn。2-25由设可推出，fz在 L 上及其内恒不为0。2-26证明略2-27由最大模原理推出。2-28应用柯西不等式。2-29证明略2-30（ （1）1z; （ （2）x；（ （3）1z。2-31（ （1）1,1Rzi；（ （2）2,2Rz（ （3）,Rz（4) ,Reze2-32因为01kkkkz c z的收敛半径是0Rz，故级数的收敛半径0min,RrRz。2-33（ （1）3512, tan2315zzzzz；（ （2）1z，1231sin 1sin1cos1cos1sin125cos1sin16zzzz（ （3）1z，2331312!3!zzfzez。2-34（ （1）111,112kkkzfzz；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载1112,121kkkkzfzz；（ （2）,z12421sin121 !kkkzkz；（ （3）1,z21 3231122 422kkkkiizizi zk（ （4）1,zi31ln223izii zizizi第三章3-1( （ 1 ） 不 解 析 点 是, ,2ziziz。 它 们 的 解 析 领 域 分 别 是02, 02, 025,ziziz。在02zi内，1110111112452425 2kkkkkfzziiziiii，在02zi内1110111112452425 2kkkkkfzziiziiii，在025z内2210111111252222kkkkkfzzziii；(（2）在0zaab内1201111kkkkfzzaab zaab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载在0zbba内1201111kkkkfzzaba zbab(（3）在01z内1201kkkifzizzz在01zi内1012kkkfzikzizi(（4）在01z内，0111!1kkkfzkz3-2(（1）在011z内，01211kkfzzz在11z内101211kkfzzz在021z02122kkkfzzz在12z内01122kkkfzzz(（2）在01z内202!kkefzzk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载(（3）在0z内2101112!kkkfzkz（4）在0z内1201121 !kkkfzzk（5） 在02z内323111182kkkkfzk kzz在2z内14011212kkkkfzkkz在022z内33240111128222242kkkfzzzzz在22z内4022kkkfzz（6）在01z内2011kkfzzzz在1z内30kkfzz在011z内1011211kkkfzkzz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载在11z内30111kkkfzkz3-3（ 1）1z三级极点；（2）0, 1, 2,zkk，一级极点；（3）z=2 可去奇点；（4）z=0，本性奇点；（ 5）z=0，本性奇点；3-4（ 1）2zi，二级极点；（2）20, 1, 2,zk i k，一级极点；（3）z=0，可去奇点；（4）z=0，可去奇点；（5）z=0，本性奇点；（6）z=0，本性奇点；3-5（ 1）点不是孤立奇点；（2）点不是孤立奇点；（3）点不是孤立奇点；（4）点是一级级点；（5）点是一级级点；（5）点是可去奇点；（7）点是本性奇点。3-6（ 1）在6z内，211666kkkkfzzzz点是一级极点；（2）在0z内31 11 13!5!fzzzzz点是一级极点；（3）在2z内1021kkkfzzz点是可去奇点；（4）在0z内22311112!kkfzzzzkz点是本性奇点。3-7（ 1）Res,00f；（2）Res,00f；（3）7Res,24f，1Res, 24f精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载（4）Res, Res,22aiaieef aifaiaiai；（5）4Res,2, Res,(12 ) 10, Res,(12 ) 105ff iifii；（6）Res,1f n；（7 ）Res,210, 1, 2,2kz tkkf zezkk；（8）212Res,2 ,0, 1, 2,kinkkkf zznzek（9）Res, 58 25, Res,08 25ff；（10）Res,01 8, Res, 21 8ff；（11）1Res, 112!1 !1 !nfnnn；（12）1Res,011 !nfn；（13）Res,01 6f；（14）Res,11f；（15）Res,05 6f；（16）Res,11f；（17）Res, 1cos1f。3-8（1）0n时，011Res,01!knnkfke，0n时，1Res,01nfe，Res, 11nfe；（2）0n时，01Res,01!knnkfk，0n时，Res,0f。3-9（ 1）0；（2）2 i；（3）2i；（4）01112!knnkike。3-10（1）83；（2）221a；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载（3）221aa； （4）3 2221a。3-11证明略3-12（1）44e；（2）48e；（3）24e；（4）234ee；（5）222mbmaaebeab ab；（6）23214mamaea。第四章（答案略）第五章5-1在映射2wz下，原区域被映成：以原点为中心，R 为半径的圆域2zR除去线段1,0后的那一部分区域。5-2在映射iwz下，原带域被映成带域0Re1, Im0ww。5-31wziiz。5-40wzzR。5-5所求映射是映射1ziz和映射11wzizi的迭合，即11wzz。5-6所求映射，或者是1wz，或者是1,11zawz。5-7若所求的映射是wazbczd， 根据实轴变实轴的要求知，a, b, c, d 必为实数。依据Im0w i可知22Im0aibadbccidcd。 于是，当 a, b, c, d 为实数，且0adbc时，上述的映射就是所求映射的一般形式。5-8所用映射的一般公式是, Im0izwez。由20fi知，2i。由20fi知，arg20,arg222fifi。所求映射22wi zizi。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载5-9把 G 映成域:1, 0arg2Dww。因为映射4wz是 G 内的单叶解析映射，所以是 G 内的保形映射。5-10不能。第一，映射wz在z平面上割破负实轴后才有意义；第二，根式映射wz有把角域缩小的作用，但是1z不是角域。5-11（1）映成角域：arg w。当0,2时，映像是w平面割破实半轴的区域；（2）映成区域：0, 0argww。当2时，映像是单位圆外1w去掉实正轴上的点后的那一部分区域。5-12（1）注意到3,3AiBi。并用映射1zzAzB把原象映成角域，选使得0,i映成1,0。于是映射1zzAzB就把原象映成以原点为顶点，正实轴为一边，夹角为3的角域。在用映射33133ziwzzi就把原象映为Im0w了；（ 2）22,22AiBi。映射12222zi zAzBi zizi把原象映为以原点为顶点，正实轴为一角边，夹角为4的角域，点22z映为点11z。再用映射4412222wzzizi就把所论区域映为Im0w了；（3）映射41zz把原象放大4 倍映成上半圆域4111:2 , Im0Gzz。再用映射4421122zzz把1G映成222: Re0, Im0Gzz，并把点10z映成21z。于是映射22wz就把2G映为Im0w。它们的迭合映射就把原象映成上半平面Im0w了；（4） 在映射1zz下， 原象被映成111:1, 0argGzz； 映射21111zwz；把1G映成w的上半平面Im0w；从而映射211zwz把原象映成w的上半平面Im0w；（5）所求映射为22izzwe。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载第六章6-11jAeGj。6-2 （1）304sincoscosf ttd，（2）021cossinf ttd6-3222G。6-411112f tutut。6-50cosf tt。6-6coscos2aGa。6-7 （1）241zF ss；（2）12F ss；（3）31F ss；（4）24zF ss；（5）22kF ssk；（6）22sF ssk。6-824134ssF sees；6-92111sLftes。6-10（1）211bsbsbLf tsse；（2）21cth12sLf ts了；（3) 1th2bsLfts。6-11（1）221232F ssss；（2）23451ssF ss；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载（3）22222saF ssa；（4）26236F ss；（5）531sF ses；（6）1F ss；（7）2224sF ss s。6-12（1）1sin 22f tt；（ 2）316t；（3）316tt e；（4）3tf te（5）2cos3sin3f ttt；（6）33122ttf tee；（7）231325ttf tee8）2212cos3sin33ttf tetet6-13th2AsLfts。6-141shLftss。6-15（1）1sinf tata；（2）22atbtcacbacfteteabbaab；（3）24211cos12f tattaa；（4）31shsin2f tatata；（5）shf ttt6-16（1）22tf tte； （2）11sinsin236fttt；（3）2 1chtf tt；（4）1sincos2tftettt。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页