2022年二次函数的知识点题型整理 .pdf
二次函数的知识点整理知识考点梳理考点一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果2( , ,0)yaxbxc a b ca是常数，那么y叫做x的二次函数。2( , ,0)yaxbxc a b ca是常数，叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于2bxa对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法五点法：（ 1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴（ 2）求抛物线2yaxbxc与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y轴的交点C，再找到点 C 的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C 及对称点D。由C、M、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点 A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。考点二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（ 1）一般式：2( , ,0)yaxbxc a b ca是常数，（ 2）顶点式：2()( , ,0)ya xhk a h ka是常数，（ 3） 交 点 式 ：当 抛 物 线2yaxbxc与x轴 有 交 点 时 ， 即 对 应 二 次 好 方 程20axbxc有 实 根1x和2x存 在 时 ， 根 据 二 次 三 项 式 的 分 解 因 式212()()axbxca xxxx， 二 次 函 数2yaxbxc可 转 化 为 两 根 式12()()ya xxxx。如果没有交点，则不能这样表示。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页考点三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当2bxa时，244acbya最值。 如果自变量的取值范围是12xxx， 那么，首先要看2ba是否在自变量取值范围12xxx内，若在此范围内， 则当2bxa时，244acbya最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在12xxx范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当2xx时，222yaxbxc最大，当1xx时，211yaxbxc最小；如果在此范围内，y 随 x 的增大而减小， 则当1xx时，211yaxbxc最大，当2xx时，222yaxbxc最小。考点四、二次函数的性质1、二次函数的图像与性质二次函数2( , ,0)yaxbxc a b ca是常数，a0 a0 y 0 x y 0 x （1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（ 2） 对 称 轴 是2bxa， 顶 点 坐 标 是（2ba，244acba）；（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（ 2） 对 称 轴 是2bxa， 顶 点 坐 标 是（2ba，244acba）；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页（3）在对称轴的左侧， 即当2bxa时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当2bxa时，y随x的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点， 当2bxa时，y有最小值，244acbya最小值（3） 在对称轴的左侧， 即当 x, ，或=” ）（黄埔 2010）20. 已知二次函数22yxbxc的图像经过点1,1与1,9. （1）求此函数的解析式；（2）用配方法求此函数图像的顶点坐标. （杨浦区） 20 （本题满分10 分）已知二次函数cbxaxy2的图像经过点（- 1，3） 、 （1，3）和（ 2，6） ，求这个二次函数的解析式，并写出它的图像的顶点坐标和对称轴精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页（卢湾区2011）已知抛物线24yaxaxc与y轴交于点0,3A，点B是抛物线上的点，且满足ABx轴，点 C 是抛物线的顶点. （1）求抛物线的对称轴及B点坐标；（2）若抛物线经过点2,0，求抛物线的表达式；（3）对（2）中的抛物线， 点D在线段AB上，若以点A、 C 、D为顶点的三角形与AOC相似，试求点D的坐标 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页（嘉定区2010）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(10,0)，点B在第二象限，10OB，cot3AOB（如图 11） ，一个二次函数2yaxb的图像经过点A、B（1）试确定点B的坐标；（2）求这个二次函数的解析式；（3）设这个二次函数图像的顶点为C，ABO绕着点O按顺时针方向旋转，点B落在y轴的正半轴上的点D，点A落在点E上，试求sinECD的值xy图 11 A B O 1 1 -1 -1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页（奉贤区2010） 24 （本题满分12 分，第（ 1）小题 6 分，第（ 2）小题 6 分）如图，已知抛物线与x轴交于点( 2 0)A，(4 0)B，与 y 轴交于点(0 8)C，（1）求抛物线的解析式及其顶点D 的坐标；（2）设直线CD 交x轴于点 E在线段 OB 的垂直平分线上是否存在点 P，使得点P 到直线 CD 的距离等于点P 到原点 O 的距离？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；A B C O x y 第 24 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页（闸北 2011）24 （本题满分12 分）小强在一次投篮训练中，从距地面高1.55 米处的 O 点投出一球向篮圈中心A 点投去，球的飞行路线为抛物线，当球达到离地面最大高度3.55 米时，球移动的水平距离为2 米现以 O 点为坐标原点，建立直角坐标系（如图13 所示） ，测得OA 与水平方向OC 的夹角为30o，A、两点相距1.5 米（ 1）求点 A 的坐标；（ 2）求篮球飞行路线所在抛物线的解析式；（ 3）判断小强这一投能否把球从O 点直接投入篮圈A 点（排除篮板球） ，如果能的，请说明理由；如果不能，那么前后移动多少米，就能使刚才那一投直接命中篮圈A 点了 (结果可保留根号) O CxyA(图 13) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页（徐汇区2011）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页（长宁区）22. （本题满分10 分）如图，在平面直角坐标系中，OBOA，且2OBOA，1,2A（1）分别过点A、B作x轴的垂线，垂足是C、D求证；ACOODB（2）求B点的坐标；（ 3）设过A、B、O三点的抛物线的对称轴为直线l，在直线l上求点P，使得A BPAB OSSxyBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页
