2022年中考数学专题几何三大变换问题之轴对称问题 .pdf

专题 20 几何三大变换问题之轴对称（折叠）问题轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。由一个平面图形变为另一个平面图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换。轴对称具有这样的重要性质：（ 1）成轴对称的两个图形全等；（ 2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。中考压轴题中轴对称 ( 折叠 ) 问题，包括有关三角形的轴对称性问题；有关四边形的轴对称性问题；有关圆的轴对称性问题；有关利用轴对称性求最值问题；有关平面解析几何中图形的轴对称性问题。一.有关三角形的轴对称性问题1.如图， AD是 ABC的角平分线，DE AB，DF AC ，垂足分别是点E，F，连接 EF，交 AD于点 G，求证：AD EF2.如图， 在 Rt ABC中， C=900， B=300，BC=2 3，点 D是 BC边上一动点（不与点B、C重合） ，过点 D作 DE BC交 AB边于点 E ，将 B沿直 线 DE翻折，点B落在射线 BC上的点 F处，当 AEF为等腰三角形时， BD的长为。FDCEAB名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 【答案】3。【考点】 翻折问题，轴对称的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，等腰三角形的判定，分类思想的应用。二. 有关四边形的轴对称性问题3.如图是33 菱形格，将其中两个格子涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕菱形 ABCD 的中心旋转能重合的图案都视为同一种，例中四幅图就视为同一种，则得到不同共有【】 A4 种 B5 种 C6 种 D 7 种【答案】 B。【考点】 利用旋转的轴对称设计图案。【分析】 根据轴对称的定义及题意要求画出所有图案后即可得出答案：得到的不同图案有：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - 共 5 个。故选B。4.如图， ABC中，已知 BAC=45 ， AD BC于 D，BD=2 ，DC=3 ，求 AD的长。小萍同学灵活运用了轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题。（1）分别以AB 、AC为对称轴，画出ABD 、 ACD的轴对称图形，D 、 C点的对称点分别为E、F，延长 EB 、FC相交于 G点，求证：四边形AEGF 是正方形；（2）设 AD=x ，利用勾股定理，建立关于x 的方程模型，求出x 的值。【答案】（ 1）由翻折变换可得E ADB 90， EB BD 2，CFCD 3， F ADC 90， AE AD ，AF AD ，再结合可得四边形AEGF为矩形，再有AE AFAD ，即可证得结论； （ 2）6 【解析】据勾股定理即可列方程求得结果. 在 RtBGC 中，2225)3()2(xx解得1621xx，（不合题意，舍去）ADx=6. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 考点：翻折变换，正方形的判定，勾股定理点评：解答本题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：翻折前后图形的对应边或对应角相等；有四个角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形. 5.菱形 ABCD 中， ABC=450，点 P是对角线BD上的任一点，点P关于直线AB 、AD 、CD 、BC的对称点分别是点E、F、G 、H， BE 与 DF相交于点M ，DG与 BH相交于点N，证明 : 四边形 BMDN 是正方形。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - 【答案】 四边形ABCD 是菱形， ABD= DBC= ADB =BDC 。 ABC=450，点 P关于直线AB 、AD 、CD 、BC的对称点分别是点E、F、G 、 H ， MBN= MDN=900， MBC= MDB=450。 BDM是等腰直角三角形。 BMD=900，BM=DM。四边形BMDN 是正方形。【考点】 菱形的性质，轴对称的性质，正方形的判定，等腰直角三角形的判定和性质。三. 有关圆的轴对称性问题6.如图， 已知 O的直径 CD为 4，弧 AC的度数为120，弧 BC的度数为30，在直径 CD上作出点 P，使 BP+AP的值最小，若BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为。【答案】62。【考点】 圆的综合题，轴对称（最短路线问题），弧、圆心角和圆周角的关系，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，配方法的应用。【分析】 如图，过 B点作弦 BE CD ，连接 AE交 CD于 P点，连接 PB ，则点 P 即为使 BP+AP的值最小的点。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - 7.已知 A ， B，C为 O上相邻的三个六等分点，点E在劣弧 AC上( 不与 A，B，C重合 ) ，EF为 O的直径，将 O沿 EF折叠，使点A与 A重合，点B与 B重合，连接EB ， EC，EA 。设 EB =b，EC=c，EA =p。试探究b，c， p 三者的数量关系。【 答案】 如图 1，若点 E在弧 AB上，连接AB 、AC 、 BC ，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 由题意，点A 、 B、C为圆上的六等分点，AB=BC ，001360ACB3026。在等腰 ABC中，过顶点B作 BN AC于点 N，则 AC=2CN=2BC?co s ACB=2cos300?BC ，AC3BC。连接 AE、BE ，在 CE上取一点D，使 ED=EA ，连接 AD ，c = p +3b。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - ABC= CED ， ABC与 CED为顶角相等的两个等腰三角形。 ABC CED 。ACCDBCEC， ACB= DCE 。 ACB= ACD+ BCD ， DCE= BCE+ BCD ， ACD= BCE 。在 ACD与 BCE中，ACCDBCEC， ACD= BCE ， ACD BCE 。DAACEBBC。ACDAEB3EBBC。EA=ED+DA=EC+3EB。由折叠性质可知， p=EA =EA ，b=EB =EB ，c=EC 。p=c+3b。【考点】 圆 的综合题，折叠问题，圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，分类思想的应用。【分析】 分点 E在弧 AB上和点 E在弧 BC上两种情况讨论， 分别根据折叠的性质，综合应用圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义求解即可。四.有关利用轴对称性求最值问题8.如图，已知直线abc，且 a 与 b 之间的距离为3，且 b与 c 之间的距离为1，点 A到直线 a 的距离为 2，点 B到直线 c 的距离为 3，AB=2 30试在直线a 上找一点M ，在直线c 上找一点N，满足 MN a且 AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB= 【】名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - A12 B10 C 8 D6 【答案】 C。【考点】 轴对称的应用（最短线路问题），平行线之间的距离，平行四边形的判定和性质，勾股定理。【分析】 MN表示直线a 与直线 c 之间的距离，是定值，只要满足AM+NB 的值最小即可，如图，作点A关于直线a 的对称点A，连接AB 交直线 c 与点 N，过点 N作 NM 直线 a，连接 AM ，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - 9.已知抛物线：的顶点在坐标轴上（1）求的值；（2）时，抛物线向下平移个单位后与抛物线：关于轴对称，且过点，求的函数关系式；（3）时，抛物线的顶点为，且过点问在直线上是否存在一点使得的周长最小，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由【答案】解：当抛物线的顶点在轴上时解得或1 分当抛物线的顶点在轴上时2分综上或，3 分抛物线：过点，即4分解得（由题意，舍去）1n0n2, 121nn022nn3122nnn3 ,n1Cnxxy1221Cnc12b1a3-m1m1m01myC3-m1m0412mxCQQPMQ1x0, 1 yPMC03m1C3 ,n1Cycbxaxy21C0nnC0mm112xmxyC名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - 抛物线： 5 分【解析】略五. 有关平面解析几何中图形的轴对称性问题10.将矩形 OABC 置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（ 0，4） ，点 C的坐标为（ m ，0） （m 0） ，点 D（m ，1）在 BC上，将矩形 OABC 沿 AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E，当 ADE是等腰直角三角形时，m= ，点 E的坐标为；【答案】 3； （0，1） 。【考点】 折叠问题，矩形的性质，折叠的对称性质，正方形的判定和性质。xxy221C名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - 11.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（4，23） ，且与 y 轴交于点C（0，2） ，与x 轴交于 A ， B两点（点 A在点 B的左边）。（1）求抛物线的解析式及A ， B两点的坐标；（2）在（ 1）中抛物线的对称轴l 上是否存在一点P，使 AP+CP 的值最小？若存在，求AP+CP 的最小值，若不存在，请说明理由。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - （2）存在。如图，由（ 1）知：抛物线的对称轴l 为 x=4，因为 A、B两点关于l 对称，连接CB交 l 于点 P，则 AP=BP ，所以 AP+CP=BC 的值最小。B（6，0） ，C（0，2） ， OB=6 ，OC=2 。 BC=210。AP+CP=BC=210。AP+CP的最小值为210。【考点】 二次函数综合题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系 ，二次函数的性质，轴对称的应用（最矩线路问题），勾股定理。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -