2022年中考数学专题复习__动点型问题 .pdf

学习必备欢迎下载专题十动点型问题一、中考专题诠释所谓 “ 动点型问题 ” 是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. “ 动点型问题 ”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“ 动中求静 ”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“ 对称、动点的运动 ” 等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。 在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“ 动点 ” 探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。三、中考考点精讲考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.例 1 （ 2013?兰州）如图，动点P 从点 A 出发，沿线段AB 运动至点 B 后，立即按原路返回，点 P 在运动过程中速度不变，则以点B 为圆心，线段BP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 的函数图象大致为（）ABCD思路分析： 分析动点P 的运动过程，采用定量分析手段，求出S 与 t 的函数关系式，根据关系式可以得出结论解： 不妨设线段AB 长度为 1 个单位，点P 的运动速度为1 个单位，则：（1）当点 P 在 AB段运动时， PB=1-t ， S=（1-t）2（0t1） ；（2）当点 P 在 BA段运动时， PB=t-1 ， S=（t-1）2（1t 2） 综上，整个运动过程中，S 与 t 的函数关系式为：S=（ t-1）2（0t 2） ，这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线结合题中各选项，只有B 符合要求故选 B点评： 本题结合动点问题考查了二次函数的图象解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择对应训练1 （ 2013?白银）如图，O 的圆心在定角 （0 180 ）的角平分线上运动，且O精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载与 的两边相切，图中阴影部分的面积S 关于 O 的半径 r（r0）变化的函数图象大致是（）ABCD1C考点二：动态几何型题目点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。 ）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。（一）点动问题例 2 （2013?河北）如图，梯形 ABCD 中，ABDC ， DE AB， CFAB， 且 AE=EF=FB=5，DE=12 动点 P 从点 A 出发， 沿折线 AD-DC-CB 以每秒 1 个单位长的速度运动到点B 停止 设运动时间为t 秒， y=S EPF，则 y 与 t 的函数图象大致是（）ABCD思路分析： 分三段考虑，点P 在 AD 上运动，点P 在 DC 上运动，点P 在 BC 上运动，分别求出y 与 t 的函数表达式，继而可得出函数图象解： 在 RtADE 中， AD=2213AEDE，在 RtCFB 中， BC=2213BFCF，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载点 P 在 AD 上运动：过点 P 作 PM AB 于点 M，则 PM=APsin A=1213t，此时 y=12EFPM=3013t，为一次函数；点 P 在 DC 上运动， y=12EFDE=30 ；点 P 在 BC 上运动，过点P 作 PN AB 于点 N，则 PN=BPsin B=1213（AD+CD+BC-t ）=12(31)13t，则 y=12EFPN=30(31)13t，为一次函数综上可得选项A 的图象符合故选 A点评： 本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是分段讨论y 与 t 的函数关系式，当然在考试过程中，建议同学们直接判断是一次函数还是二次函数，不需要按部就班的解出解析式对应训练2 （ 2013?北京）如图，点P 是以 O 为圆心， AB 为直径的半圆上的动点，AB=2 设弦 AP的长为 x， APO 的面积为y， 则下列图象中， 能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（）ABCD2A （二）线动问题例 3 （2013?荆门）如右图所示，已知等腰梯形ABCD ，AD BC，若动直线l 垂直于 BC ，且向右平移， 设扫过的阴影部分的面积为S， BP 为 x， 则 S 关于 x 的函数图象大致是 （）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载ABCD思路分析： 分三段考虑，当直线l 经过 BA 段时，直线l 经过 AD 段时，直线l 经过DC 段时，分别观察出面积变化的情况，然后结合选项即可得出答案解： 当直线 l 经过 BA 段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；直线 l 经过 DC 段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变；直线 l 经过 DC 段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小；结合选项可得，A 选项的图象符合故选 A点评： 本题考查了动点问题的函数图象，类似此类问题， 有时候并不需要真正解出函数解析式，只要我们能判断面积增大的快慢就能选出答案对应训练3 （ 2013 ?永州）如图所示，在矩形ABCD 中，垂直于对角线BD 的直线 l，从点 B 开始沿着线段 BD 匀速平移到D设直线 l 被矩形所截线段EF 的长度为y，运动时间为t，则 y 关于 t 的函数的大致图象是（）ABCD3A （三）面动问题例 4 （ 2013?牡丹江）如图所示：边长分别为1 和 2 的两个正方形，其中一边在同一水平精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内去掉小正方形后的面积为s，那么 s 与 t 的大致图象应为（）ABCD思路分析： 根据题意，设小正方形运动的速度为V，分三个阶段；小正方形向右未完全穿入大正方形， 小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，小正方形穿出大正方形，分别求出 S，可得答案解： 根据题意，设小正方形运动的速度为V，分三个阶段；小正方形向右未完全穿入大正方形，S=2 2-Vt 1=4-Vt ，小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S=2 2-1 1=3 ，小正方形穿出大正方形，S=Vt1，分析选项可得，A 符合；故选 A点评： 解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段得变化情况，进而综合可得整体得变化情况对应训练4 （2013?衡阳）如图所示，半径为1 的圆和边长为3 的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S （阴影部分） ，则S与t的大致图象为（）ABCD4A 四、中考真题演6 （ 2013?连云港） 如图， 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， 点 A、B 的坐标分别为 （8，0） 、 （0，6） 动点 Q 从点 O、动点 P 从点 A 同时出发，分别沿着OA 方向、 AB 方向均以1 个单位长度 /秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0t 5 ） 以 P 为圆心， PA 长为半径的 P 与 AB、OA 的另一个交点分别为C、D，连接 CD 、QC （1）求当 t 为何值时，点Q 与点 D 重合？（2）设 QCD 的面积为S，试求 S 与 t 之间的函数关系式，并求S 的最大值；（3）若 P 与线段 QC 只有一个交点，请直接写出t 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载6解：（1） A（8， 0） ，B（0， 6） ，OA=8 ， OB=6 ，AB=222286OAOB=10 ，cos BAO=45OAAB，sin BAO=35OBABAC 为 P 的直径， ACD 为直角三角形AD=AC?cos BAO=2t 45=85t当点 Q 与点 D 重合时， OQ+AD=OA ，即： t+85t=8，解得： t=4013t=4013（秒）时，点Q 与点 D 重合（2）在 RtACD 中， CD=AC?sin BAO=2t 3655t当 0t 4013时，DQ=OA-OQ-AD=8-t-85t=8-135tS=12DQ?CD=12（8-135t）?65t=-3925t2+245t-2ba=2013， 020134013，当 t=2013时， S 有最大值为4813；当4013t 5 时，DQ=OQ+AD-OA=t+85t-8=135t-8S=12DQ?CD=12（135t-8）?65t=3925t2-245t精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载-2ba=2013，20134013，所以 S 随 t 的增大而增大，当 t=5 时， S 有最大值为154813综上所述， S 的最大值为15（3）当 CQ 与 P 相切时，有CQ AB， BAO= QAC ， AOB= ACQ=90 ， ACQ AOB ，ACACOAAB，28810tt，解得 t=167所以， P 与线段 QC 只有一个交点，t 的取值范围为0t 167或4013t 5 9 （2013?遵义）如图，在RtABC 中， C=90 ，AC=4cm ，BC=3cm 动点 M，N 从点 C 同时出发，均以每秒1cm 的速度分别沿CA 、CB 向终点 A，B 移动，同时动点P 从点B 出发，以每秒2cm 的速度沿BA 向终点 A 移动，连接PM ，PN ，设移动时间为t（单位：秒， 0t2.5） （1）当 t 为何值时，以A，P，M 为顶点的三角形与ABC 相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC 的面积 S 有最小值？若存在，求S 的最小值；若不存在，请说明理由9解：如图，在 RtABC 中， C=90 ，AC=4cm ，BC=3cm 根据勾股定理，得22ACBC=5cm 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载（1）以 A， P，M 为顶点的三角形与ABC 相似，分两种情况：当 AMP ABC 时，APAMACAB，即52445tt，解得 t=32；当 APM ABC 时，AMAPACAB，即45245tt，解得 t=0（不合题意，舍去） ；综上所述，当t=32时，以 A、P、M 为顶点的三角形与ABC 相似；（2）存在某一时刻t，使四边形APNC 的面积 S 有最小值理由如下：假设存在某一时刻t，使四边形APNC 的面积 S 有最小值如图，过点P 作 PH BC 于点 H则 PH AC ，PHBPACBA，即245PHt，PH=85t，S=SABC-SBPH，=12 3 4-12 （3-t）?85t，=45（t-32）2+215（0t2.5 ） 450，S 有最小值当 t=32时， S最小值=215答：当 t=32时，四边形APNC 的面积 S 有最小值，其最小值是21510 （2013?苏州） 如图， 点 O 为矩形 ABCD 的对称中心， AB=10cm ，BC=12cm ，点 E、F、G 分别从 A、B、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E 的运动速度为1cm/s ，点 F 的运动速度为3cm/s ，点 G 的运动速度为1.5cm/s ，当点 F 到达点 C（即点 F与点 C 重合）时，三个点随之停止运动在运动过程中，EBF 关于直线EF 的对称图形是 EB F设点 E、F、 G 运动的时间为t（单位： s） （1）当 t= s 时，四边形EBFB 为正方形；（2）若以点E、B、F 为顶点的三角形与以点F，C，G 为顶点的三角形相似，求t 的值；（3）是否存在实数t，使得点B 与点 O 重合？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载10解： （1）若四边形EBFB 为正方形，则BE=BF ，即： 10-t=3t ，解得 t=2.5 ；（2）分两种情况，讨论如下：若 EBF FCG ，则有EBBFFCCG，即1031231.5tttt，解得： t=2.8 ；若 EBF GCF ，则有EBBFCGFC，即1031.5123tttt，解得： t=-14-269（不合题意，舍去）或t=-14+269当 t=2.8s 或 t=（-14+269）s 时，以点E、B、 F 为顶点的三角形与以点F，C，G 为顶点的三角形相似（3）假设存在实数t，使得点B 与点 O 重合如图，过点O 作 OM BC 于点 M，则在 RtOFM 中， OF=BF=3t ，FM=12BC-BF=6-3t ，OM=5 ，由勾股定理得：OM2+FM2=OF2，即： 52+（6-3t ）2=（3t）2解得： t=6136；过点 O 作 ON AB 于点 N，则在RtOEN 中， OE=BE=10-t ，EN=BE-BN=10-t-5=5-t，ON=6 ，由勾股定理得：ON2+EN2=OE2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载即： 62+（5-t）2=（10-t ）2解得： t=3.9 61363.9 ，不存在实数t，使得点B 与点 O 重合12 （2013?宁波）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（ 0，4） ，点 B 的坐标为（ 4，0） ，点 C 的坐标为（ -4，0） ，点 P 在射线 AB 上运动，连结CP 与 y 轴交于点 D，连结 BD过 P，D，B 三点作 Q 与 y 轴的另一个交点为E，延长 DQ 交 Q于点 F，连结 EF，BF（1）求直线 AB 的函数解析式；（2）当点 P 在线段 AB（不包括A，B 两点）上时求证： BDE= ADP ；设 DE=x ，DF=y 请求出y 关于 x 的函数解析式；（3）请你探究：点P 在运动过程中，是否存在以B，D，F 为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P 的坐标：如果不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页