2022年二次函数之距离最小 .pdf

学习必备欢迎下载二次函数之最短路径问题例 1.( 广东 )已知二次函数y=x2-2mx+m2-1 （1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y 轴交于点C，顶点为 D，求 C、D 两点的坐标；（3）在（ 2）的条件下， x 轴上是否存在一点P，使得 PC+PD 最短？若 P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由例 2.（甘肃兰州）如图，Rt ABO 的两直角边OA 、OB 分别在 x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点， A、B 两点的坐标分别为(-3 ，0)、(0，4)，抛物线 y23x2bx c 经过点 B，且顶点在直线x52上(1)求抛物线对应的函数关系式；(2)若把ABO 沿 x 轴向右平移得到 DCE，点 A、B、O 的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点 D 是否在该抛物线上，并说明理由；(3)在 (2)的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P 使得PBD 的周长最小，求出P 点的坐标；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页学习必备欢迎下载例 3.如图，已知抛物线y= x2+bx+c与一直线相交于A（ 1，0） ，C（2，3）两点，与y 轴交于点 N ，其顶点为 D（1）抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）设点 M （3，m ） ，求使 MN+MD的值最小时m 的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点 B，E 为直线 AC 上的任意一点，过点E 作 EFBD 交抛物线于点 F，以 B，D，E，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若 P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求 APC 的面积的最大值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页学习必备欢迎下载例 4.（湖南郴州）已知抛物线y=ax2+bx+c经过 A（ 1，0） 、B（2，0） 、C（0，2）三点（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图一，点P 是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大？求出此时点P 的坐标；（3）如图二，设线段AC 的垂直平分线交x 轴于点 E，垂足为 D，M 为抛物线的顶点，那么在直线DE 上是否存在一点G，使CMG 的周长最小？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由例 5.（辽宁）如图16 ，在平面直角坐标系中，直线33yx与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线223(0)3yaxxc a经过ABC， ，三点（1）求过ABC， ，三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P，使ABP为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得MBF的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由A O x y B F C 图 16 A O x y B F C 图 16 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页学习必备欢迎下载例 6.(山西 )综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+3与 x 轴交于 A、B 两点，与y轴交于点 C，点 D 是该抛物线的顶点（1）求直线 AC 的解析式及B、D 两点的坐标；（2）点 P 是 x 轴上一个动点，过P 作直线 lAC 交抛物线于点Q，试探究：随着P 点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点 A、P、Q、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由（3）请在直线AC 上找一点 M ，使BDM 的周长最小，求出M 点的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页学习必备欢迎下载例 7.如图，在矩形OABC 中，已知 A、C 两点的坐标分别为A（4，0） 、C（0，2） ，D 为 OA 的中点设点 P 是AOC 平分线上的一个动点（不与点O 重合）（1）试证明：无论点P 运动到何处， PC 总与 PD 相等；（2）当点 P 运动到与点 B 的距离最小时，试确定过O、P、D 三点的抛物线的解析式；（3）设点 E是（ 2）中所确定抛物线的顶点，当点P 运动到何处时， PDE 的周长最小？求出此时点P 的坐标和PDE 的周长；（4）设点 N 是矩形 OABC 的对称中心， 是否存在点P，使CPN=90 ？若存在， 请直接写出点P 的坐标例 8.（德州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标是（ 4，0） ，并且 OA=OC=4OB，动点 P 在过 A，B，C 三点的抛物线上（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点 P 作 PE 垂直于 y 轴于点 E，交直线 AC 于点 D，过点 D 作 x 轴的垂线垂足为F，连接 EF，当线段 EF 的长度最短时，求出点P 的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页学习必备欢迎下载练习 :(烟台 )如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与M相交于 A、B、C、D 四点，其中 A、B 两点的坐标分别为（1，0） ， （0， 2） ，点 D 在 x 轴上且 AD 为M的直径点E是M与 y 轴的另一个交点，过劣弧上的点 F 作 FH AD 于点 H，且 FH=1.5 （1）求点 D 的坐标及该抛物线的表达式；（2）若点 P 是 x 轴上的一个动点，试求出PEF的周长最小时点P 的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使QCM 是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由例 10. 已知抛物线 y=ax2+bx+1经过点 A（1，3）和点 B（2，1） 。（1）求此抛物线解析式；（2）点 C、D 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，求四边形ABCD 周长的最小值，并写出C.D 两点的坐标；（3）在抛物线AB 段上存在一点E，使 ABE 的面积最大，求E点的坐标；请直接写出以A.B 和 E 为顶点的平行四边形的第四个顶点P 的坐标。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页学习必备欢迎下载例 11. 如图 1，抛物线 y=ax2+bx+c（ a 0）的顶点为 C（l，4） ，交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 D，其中点 B 的坐标为（ 3，0） （ 1）求抛物线的解析式；（2）如图 2，过点 A 的直线与抛物线交于点E，交 y 轴于点 F，其中点 E 的横坐标为2，若直线 PQ 为抛物线的对称轴，点G 为直线PQ 上的一动点，则x 轴上是否存在一点H，使 D、G，H、F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 3，在抛物线上是否存在一点T，过点 T 作 x 轴的垂线，垂足为点M ，过点 M 作 MN BD ，交线段 AD 于点 N ，连接 MD ，使DNM BMD ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页学习必备欢迎下载例 12.已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（m2，0）和B（2m1，0） （点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x1（1）求抛物线解析式（2）直线 y kx 2(k 0) 与抛物线相交于两点 M（x1，y1） ，N(x2，y2)（x1x2） ，当|x1-x2|最小时，求抛物线与直线的交点M 和 N 的坐标（3）首尾顺次连接点O，B，P，C 构成多边形的周长为L若线段 OB 在 x 轴上移动， 求 L 最小值时点O，B 移动后的坐标及L 的最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页学习必备欢迎下载例 9.（衢州）如图，已知点A（-4 ，8）和点 B（2，n ）在抛物线y=ax2上（1）求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标，并在x 轴上找一点 Q，使得 AQ+QB最短，求出点Q 的坐标；（2）平移抛物线y=ax2，记平移后点A 的对应点为A，点 B 的对应点为B，点 C（-2 ，0）和点 D（-4 ，0）是 x 轴上的两个定点当抛物线向左平移到某个位置时，A C+CB 最短，求此时抛物线的函数解析式；当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A B CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页学习必备欢迎下载例 13.(重庆)如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线2333 34yxx交x轴于 A，B 两点（点 A 在点 B的左侧），交y轴于点 W，顶点为 C，抛物线的对称轴与x轴的交点为D。（1）求直线 BC 的解析式。（2）点 E（m ，0） ，F（m+2 ，0）为 x 轴上两点，其中4m2，EE，EE分别垂直于x 轴，交抛物线与点E，F，交 BC 于点 M ，N ，当MENF的值最大时，在y 轴上找一点R，使得RFRE值最大，请求出 R 点的坐标及RFRE的最大值。例 14. （自贡）如图，抛物线l 交 x 轴于点 A（ 3，0） 、B（1，0） ，交 y 轴于点 C（0，3） 将抛物线l 沿 y 轴翻折得抛物线l1（1）求 l1的解析式；（2）在 l1的对称轴上找出点P，使点 P 到点 A 的对称点 A1及 C 两点的距离差最大，并说出理由；例 15. 如图，已知直线y=1/2x+1与 y 轴交于点A，与x 轴交于点D ，抛物线y=1/2x2+bx+c与直线交于A、 E 两点，与x 轴交于B、 C 两点，且B 点坐标为（1， 0 ）（1 ）求该抛物线的解析式；（2 ）动点P 在 x 轴上移动，当PAE是直角三角形时，求点P 的坐标P；（3 ）在抛物线的对称轴上找一点M ，使 |AM-MC|的值最大，求出点M 的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页学习必备欢迎下载例 16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是直角梯形， BCAD ，BAD=90 ， BC 与 y 轴相交于点 M ，且 M 是 BC 的中点， A、B、D 三点的坐标分别是A（1 0，） ，B（1 2，） ，D（3，0） 连接 DM ，并把线段DM 沿 DA 方向平移到ON 若抛物线2yaxbxc经过点 D、M 、N （1）求抛物线的解析式（2）抛物线上是否存在点P，使得 PA=PC ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）设抛物线与x 轴的另一个交点为E，点 Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q 在什么位置时有|QE-QC| 最大？并求出最大值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页学习必备欢迎下载检测1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y=x2+bx+c经过 A（2，0）、B（4，0）两点，直线y12x+2交 y轴于点 C，且过点 D（8，m ）（1）求抛物线的解析式；（2）在 x 轴上找一点P，使 CP+DP 的值最小，求出点P 的坐标；（3） 将抛物线 y=x2+bx+c左右平移， 记平移后点 A 的对应点为A，点 B 的对应点为B，当四边形 A B DC的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形A B DC周长的最小值（4）设抛物线的顶点为Q，过点 C 作 x 轴的平行线L，点 M 在直线 L 上，且 MN x 轴，垂足为N，若DM+MN+NQ最小，直接写出此时点M,N 的坐标。2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=32x2+bx+c的图象与x 轴交于 A（-1 ，0）、B（3，0）两点，顶点为C（1）求此二次函数解析式；（2）点 D 为点 C 关于 x 轴的对称点，过点A 作直线 l：y=33x+33交 BD 于点 E，过点 B 作直线 BKAD交直线 l 于 K 点问：在四边形ABKD 的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页学习必备欢迎下载若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3） 在 （2） 的条件下，若 M 、 N 分别为直线 AD 和直线 l 上的两个动点， 连结 DN 、 NM 、 MK ， 求 DN+NM+MK和的最小值（4）设抛物线交y 轴于点 R，若点 K 在抛物线对称轴上，当 KB-KR 的值最大时，直接写出此时K 的坐标。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页