曲线与方程习题课1.ppt
2022年年8月月26日星期五日星期五让理想的雄鹰展翅高飞！让理想的雄鹰展翅高飞！1. 建系：建系：建立适当的直角坐标系建立适当的直角坐标系(如果已给出，本步如果已给出，本步骤省略骤省略);. 设点设点：设曲线上任意一点的坐标设曲线上任意一点的坐标(x,y);. 列式列式：根据曲线上点所适合的条件根据曲线上点所适合的条件,写出等式写出等式;4. 化简化简：用坐标用坐标x、y表示这个等式表示这个等式,并并化方程为最简化方程为最简形式形式;. 证明证明：验证化简后的方程的解为坐标的点都是曲验证化简后的方程的解为坐标的点都是曲 上的点上的点.（一般不要求证明，但要检验是否一般不要求证明，但要检验是否产生增解或漏解，产生增解或漏解，变为确定点的范围即可）变为确定点的范围即可）直接法直接法求曲线方程的一般步骤：求曲线方程的一般步骤：5.5.如果曲线（或轨迹）有如果曲线（或轨迹）有对称中心，对称中心，通常以通常以对称中心对称中心为原点为原点. .7.7.尽可能使曲线上的尽可能使曲线上的关键点在坐标轴上关键点在坐标轴上. .6.6.如果曲线（或轨迹）有如果曲线（或轨迹）有对称轴，对称轴，通常以通常以对称轴为坐对称轴为坐标轴标轴. .建立坐标系的要点：建立坐标系的要点：2.以已知以已知定直线定直线为坐标轴为坐标轴(x轴或轴或y轴轴);3.以已知线段所在直线为坐标轴以已知线段所在直线为坐标轴(x轴或轴或y轴轴)，以已知，以已知线段的线段的中点中点为原点为原点;4.以已知以已知互相垂直互相垂直的两定直线为坐标轴的两定直线为坐标轴;8.让尽量多的点在坐标轴上让尽量多的点在坐标轴上.1.以已知以已知定点定点为原点为原点;求曲线方程求曲线方程(轨迹方程轨迹方程)常见的方法（常见的方法（ 一 ）动点满足的几何条件本身就是几何量动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，的等量关系，只需把这种关系只需把这种关系“翻译翻译”成含成含x，y的等式的等式就得到曲线的轨迹方就得到曲线的轨迹方程程直接法直接法的的轨轨迹迹方方程程。求求顶顶点点，的的斜斜率率的的乘乘积积是是另另两两边边和和的的两两个个顶顶点点坐坐标标分分别别是是AACABCBABC94,),6, 0()6 , 0(. 2 )6( 136819436946,6),(2222 yyxxykkxykxykyxAABACABAC则则解：设解：设MPNO1O2例例1. 1.如图如图， O1与与 O2的半径都是的半径都是1，O1O2=4，过过动点动点P分别作分别作 O1、 O2的切线的切线PM、PN（M、N分别为切点分别为切点）使得使得 ，试建立适当的坐试建立适当的坐标系标系，求动点求动点P的轨迹方程的轨迹方程。2PMPNxMPNyO1O2O解：解： 以以O1O2的中点的中点O为坐标原点为坐标原点，其所在直线其所在直线为为x轴轴，如图建立平面直角坐标系如图建立平面直角坐标系。则则O1( (- -2，0) )，O2( (2，0) )222PMPN由条件知由条件知 ，而而 ，121OMO N221212(1)POPO 即即221221POPO设设P( (x，y) )，则，则( (x+2) )2+y2=2(x - -2) )2+y2-1化简得，化简得，x2 + y2 - -1 12x+3=0故动点故动点P的轨迹方程的轨迹方程是是 x2 + y2 - -1 12x+3=01已知已知A(1,0)，B(1,0)，动点，动点M满足满足|MA|MB|2，则点，则点M的轨迹方程是的轨迹方程是()Ay0(1x1) By0(x1)Cy0(x1) Dy0(|x|1)C x例例2 已知ABC底边BC的长为2,又知tanBtanC=t(t0).(t为常数).求顶点A的轨迹方程. B C A所求的轨迹方程为 tx2+y2=t yo变式变式：把tgBtgC=t(t0)改为C=2B呢？tanC=tan2B 22tan1tanBB解解：以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立如图直角系。则B(-1,0),C(1,0).设A(x,y).tan,tan( 1)1ABACyyBKCKxx 又tanBtanC=t(x 1)6.已知已知ABC中，中，A、B、C所对的边分别为所对的边分别为a、b、c，且，且acb成等差数列，成等差数列，|AB|2，求顶点，求顶点C的的轨迹方程轨迹方程.注意写出变量的取值范围（即注意检查曲线的完备性和纯粹性，以防“疏漏”和“不纯”）.,),(),(.的轨迹的轨迹列，求点列，求点成公差小于零的等差数成公差小于零的等差数使使且点且点已知两点已知两点PNPNMPNPMMNMPPNM01017分清轨迹与轨迹方程的区别3. 在三角形在三角形ABC中，若中，若|BC|=4，BC边上的边上的中线中线AD的长为的长为3，求点，求点A的轨迹方程的轨迹方程.设设A(x，y)，又，又D(0，0)，所以，所以22|3ADxy化简得化简得 :x2+y2=9 (y0)这就是所求的轨迹方程这就是所求的轨迹方程.解解:取取B、C所在直线为所在直线为x轴，线段轴，线段BC的中垂线的中垂线为为y轴，建立直角坐标系轴，建立直角坐标系.例例2.点点A(3,0)为圆为圆x2+y2=1外一点外一点,P为圆上任意一点为圆上任意一点,若若AP的中点为的中点为M,当当P在圆上运动时在圆上运动时,求点求点M的轨的轨迹方程迹方程.分析分析:利用中点坐标公式利用中点坐标公式,把把P点的坐标用点的坐标用M的坐标的坐标表示表示,代入圆的方程即可代入圆的方程即可.00002200002222,Mx,y ,Px ,y,23,23,x ,yxy1,2,2 .312x34y1,().24:xxxxyyyyxy 由题意 设点的坐标为点 的坐标为则又在圆上解求曲线方程求曲线方程(轨迹方程轨迹方程)常见的方法（二）常见的方法（二）相关点法相关点法特征特征: :所求所求( (从从) )动点随已知曲线上的动点随已知曲线上的( (主主) )动点的动点的变化而变化变化而变化方法方法: :用用从动点从动点的坐标的坐标(x,y)(x,y)表示表示主动点主动点的坐标的坐标(x(x0 0,y,y0 0), ),然后代入已知曲线方程，即的从动点轨迹方程然后代入已知曲线方程，即的从动点轨迹方程. .1.动点动点M在曲线在曲线x2y21上移动，上移动，M和定点和定点B(3,0)连线的中点为连线的中点为P，求，求P点的轨迹方程点的轨迹方程2.2.已知定点已知定点A(6,0),A(6,0),曲线曲线C:xC:x2 2+y+y2 2=4=4上的动点上的动点B,B,点点MM满足满足 , ,求点求点MM的轨迹方程的轨迹方程. .xyA(6,0)A(6,0)OOB BMM12AMMB 相关点法相关点法3已知已知ABC，A(2,0)，B(0，2)，第三，第三个顶点个顶点C在曲线在曲线y3x21上移动，求上移动，求ABC的重心的轨迹方程的重心的轨迹方程 【互动探究】3设定点 M(3,4)，动点 N 在圆 x2y24 上运动，以 OM，ON 为两边作平行四边形 MONP，求点 P 的轨迹4.如图，过圆如图，过圆O：x2+y2=4与与y轴正半轴交点轴正半轴交点A作此圆的作此圆的切线切线l，M为为l上任一点，过上任一点，过M作圆作圆O的另一条切线，切点的另一条切线，切点为为Q，求，求MAQ垂心垂心P的轨迹方程。的轨迹方程。解：解：连连OQ，则由，则由OQMQ，APMQ得得OQAP同理，同理，OAPQ又又OA=OQ OAPQ为菱形为菱形 |PA|=|OA|=2设设P(x，y)，Q(x0，y0)，则，则又又x02+y02=4 x2+(y-2)2=4（x0）002xxyy例例4 4 如图,过点A(-3,0)的直线l与曲线C：x2+2y2=4交于A,B两点.作平行四边形OBPC，求点P的轨迹。 AoxyBCPG解法一解法一：利用韦达定理解法二解法二：点差法 连PO交CB于G.设P(x,y), G(x0,y0), C(x1,y1),B(x2,y2),则x12+2y12=4x22+2y22=4作差，得(x2-x1) (x2+x1)+ (y2-y1) (y2+y1)=0即x0+y0k=0又k=003yx 解得，x0=2231kk231kky0=x=2261kk261kky=因此消去k,得(x+3)2+y2=9故所求轨迹为(-3,0)为圆心，3为半径的圆.?3、参数法、参数法 ABQPxyoG变式变式：已知圆：x2+y2=r2,定点A(a,0),其中a，r0.P,B是圆上两点，作矩形PABQ，求点Q的轨迹。设P(x1,y1),B(x2,y2),则222112222201201222xyrxyrxaxxxyyyy又ABPA, 所以0AB AP x1x2+y1y2=a(x1+x2)-a2=ax即(x1-a,y1) (x2-a,y2)=0,(x,y)(1)(2)(3)(4)(5)(3)2+(4)2, 得 (x+a)2+y2=2r2+2(x1x2+y1y2)结合（5），得点Q的坐标满足方程x2+y2=2r2-a22ra若，表示原点；讨论：讨论：若2ra,表示原点为圆心，222ra为半径的圆；2ra若，无轨迹。解解：连PB,AQ交于点G。设Q(x,y),G(x0,y0),则则x+a=2x0,y=2y0.
