微分几何练习题库及参考答案(已修改)(18页).doc

-微分几何复习题与参考答案一、填空题1极限2设，求 0 3已知 ，则.4已知（为常向量），则5已知，（为常向量），则 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的_ 切线_和 密切平面_.7. 曲率恒等于零的曲线是_ 直线_ .8. 挠率恒等于零的曲线是_ 平面曲线_ .9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 .10. 曲线在t = 2处有，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 .11. 若在点处则为曲面的_ 正常_点. 12 已知，则13曲线在任意点的切向量为14曲线在点的切向量为15曲线在点的切向量为16设曲线，当时的切线方程为17设曲线，当时的切线方程为.18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是_F=M=0_ _.19. u曲线（v曲线）的正交轨线的微分方程是 _ Edu+Fdv0（Fdu+Gdv0）_.20. 在欧拉公式中，是 方向(d) 与u曲线 的夹角.21. 曲面的三个基本形式、高斯曲率、平均曲率之间的关系是 .22已知，其中，则23已知，其中，则24设为曲面的参数表示，如果，则称参数曲面是正则的；如果 是 一一对应的 ，则称曲面是简单曲面25如果曲线族和曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 正规坐标网 26平面的第一基本形式为，面积微元为27悬链面第一基本量是28曲面上坐标曲线，的交角的余弦值是.29正螺面的第一基本形式是30双曲抛物面的第一基本形式是31正螺面的平均曲率为 0 32方向是渐近方向的充要条件是33. 方向和共轭的充要条件是34.是主曲率的充要条件是35.是主方向的充要条件是36. 根据罗德里格斯定理，如果方向是主方向，则37旋转曲面中的极小曲面是平面 或悬链面38测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线在P点的测地曲率的绝对值等于(C)在P点的切平面P上的正投影曲线(C*)的曲率39之间的关系是40如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 41正交网时测地线的方程为42曲线是曲面的测地线，曲线(C)上任一点在其切平面的正投影曲线是 直线 .二、单项选择题1已知，则为（ A ）A. ； B. ； C. ； D. .2已知，为常数，则为（ C ）A. ； B. ； C. ； D. .其中为常向量3. 曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是（ D ）A切线与固定方向成固定角； B副法线与固定方向成固定角；C主法线与固定方向垂直； D副法线与固定方向垂直4. 曲面在每一点处的主方向（ A ）A至少有两个； B只有一个； C只有两个； D可能没有.5球面上的大圆不可能是球面上的（ D ）A测地线； B曲率线； C法截线； D渐近线.6. 已知，求为（ D ）A. ； B. ； C. ； D. .7圆柱螺线的切线与轴（ C ）. A. 平行； B. 垂直； C. 有固定夹角； D. 有固定夹角.8设平面曲线，s为自然参数，是曲线的基本向量叙述错误的是（ C ）A. 为单位向量； B. ； C. ； D. .9直线的曲率为（ B ）A. -1； B. 0； C. 1； D. 2.10关于平面曲线的曲率不正确的是（ D ）A. ； B. ，为的旋转角； C. ； D. .11对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（ D ）A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件； C. 既不充分也不必要条件； D. 充要条件.12下列论述不正确的是（ D ）A. 均为单位向量； B. ； C. ； D. .13对于空间曲线，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B ）A. 充分不必要条件；B.必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件；D.充要条件.14在点的切线与轴关系为（ D ）A. 垂直；B. 平行； C. 成的角；D. 成的角.15椭球面的参数表示为（ C ）A. ； B. ；C. ；D. .16曲面在点的切平面方程为（ B ）A. ； B. ；C. ； D. .17球面的第一基本形式为（ D ）A. ； B. ；C. ； D. .18正圆柱面的第一基本形式为（ C ）A. ； B. ； C ； D. .19在第一基本形式为的曲面上，方程为的曲线段的弧长为（ B ）A ； B ；C ； D 20设为正则曲面，则的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B ） A ； B ； C ； D 21高斯曲率为零的的曲面称为（ A ）A极小曲面； B球面； C常高斯曲率曲面； D平面 22曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（ A ） A ； B ； C； D 323当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（ B ） A ； B ； C ； D 24如果测地线同时为渐近线，则它必为（ A ） A 直线； B 平面曲线； C 抛物线； D 圆柱螺线三、判断题（正确打，错误打×）1. 向量函数具有固定长度，则. 2. 向量函数具有固定方向，则. 3. 向量函数关于t的旋转速度等于其微商的模. × 4. 曲线的曲率、挠率都为常数，则曲线是圆柱螺线. × 5. 若曲线的曲率、挠率都为非零常数，则曲线是圆柱螺线. 6. 圆柱面线是渐近线. 7. 两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例. ×8. 两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例. 9. 等距变换一定是保角变换. 10. 保角变换一定是等距变换. × 11. 空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定. × 12. 在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一 × 13. 若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线 14. 在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向 15. 高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量 × 16. 曲面上的直线一定是测地线 17. 微分方程表示曲面上曲线族. × 18. 二阶微分方程总表示曲面上两族曲线. × 19. 坐标曲线网是正交网的充要条件是，这里是第一基本量. 20. 高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面. 21. 连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. ×22. 球面上的圆一定是测地线. ×23. 球面上经线一定是测地线. 24. 测地曲率是曲面的内蕴量. 四、计算题1求旋轮线的一段的弧长解 旋轮线的切向量为，则在一段的弧长为： 2求曲线在原点的切向量、主法向量、副法向量解 由题意知 ， ，在原点，有 ，又 ，所以有.3圆柱螺线为，求基本向量； 求曲率k和挠率.解 ，又由公式由一般参数的曲率公式及挠率公式有，.4求正螺面的切平面和法线方程解 ，切平面方程为，法线方程为5求球面上任一点处的切平面与法线方程 解 ， ， 球面上任意点的切平面方程为即，法线方程为即6求圆柱螺线在点处的密切平面.解 所以曲线在原点的密切平面的方程为 即.7求旋转抛物面的第一基本形式解 参数表示为，8求正螺面的第一基本形式解 ，9计算正螺面的第一、第二基本量解 ，10计算抛物面的高斯曲率和平均曲率解 设抛物面的参数表示为，则， ， ， ， ，11. 计算正螺面的高斯曲率.解 直接计算知，12. 求曲面的渐近线.解 ，则， 所以，L=0， ，渐近线微分方程为，化简得， 渐近线为y=C1，x2y=C2 13. 求螺旋面上的曲率线.解 ， 曲率线的微分方程为: 或积分得两族曲率线方程:14. 求马鞍面在原点处沿任意方向的法曲率.解 ， ， ， .15. 求抛物面在(0,0)点的主曲率.解 曲面方程即 ，代入主曲率公式，所以两主曲率分别为 . 16. 求曲面在点(1,1)的主方向. 解 代入主方向方程，得,即在点(1,1)主方向.17. 求曲面上的椭圆点，双曲点和抛物点解 由 得 v>0时，是椭圆点；v<0时，是双曲点；v=0时，是抛物点.18. 求曲面上的抛物点的轨迹方程解 由 得 令 得u=0 或v=0 所以抛物点的轨迹方程为 或.19.求圆柱螺线自然参数表示.解 由得 弧长 曲线的自然参数表示为 20. 求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.解 设挠曲线为则主法线曲面为：则所以腰曲线是 21求位于正螺面上的圆柱螺线（=常数）的测地曲率解 因为正螺面的第一基本形式为，螺旋线是正螺面的v-曲线，由得由正交网的坐标曲线的测地曲率得五、证明题1. 设曲线：证明：证明 由伏雷内公式，得 两式作点积，得 2. 设曲线： 证明：证明 由伏雷内公式，得 3. 曲线G:是一般螺线，证明也是一般螺线（R是曲线G的曲率半径）证明 两边关于s微商，得由于是一般螺线，所以也是一般螺线. 4. 证明曲线是常数）是一般螺线证明 . 5曲面S上一条曲线(C), P是曲线(C)上的正常点，分别是曲线(C)在点P的曲率、法曲率与测地曲率，证明证明 测地曲率 (是主法向量与法向量的夹角) 法曲率6. 证明曲线的切向量与曲线的位置向量成定角证明 对曲线上任意一点，曲线的位置向量为，该点切线的切向量为：，则有：，故夹角为.由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角7证明：若和对一切线性相关，则曲线是直线证明 若和对一切线性相关，则存在不同时为0的使，则 又，故有.于是该曲线是直线8 证明圆柱螺线的主法线和z轴垂直相交证明 由题意有 ，由知.另一方面轴的方向向量为，而，故，即主法线与轴垂直9证明曲线的所有法平面皆通过坐标原点证明 由题意可得，则任意点的法平面为将点（0,0,0）代入上述方程有左边右边，故结论成立10证明曲线为平面曲线，并求出它所在的平面方程. 证明 ，所以曲线是平面曲线. 它所在的平面就是密切平面， 密切平面方程为， 化简得其所在的平面方程是2x+3y+19z270.11. 证明如果曲线的所有切线都经过一个定点，那么它是直线. 证明 设曲线方程，定点的向径为，则两边求微商，得 由于线性无关， k0曲线是直线. 12. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么它是平面曲线. 证明 取定点为坐标原点，曲线的方程为 ， 则曲面在任一点的密切平面方程为 因任一点的密切平面过定点，所以 , 即 所以 平行于固定平面， 所以 是平面曲线. 13. 若一条曲线的所有法平面包含非零常向量，证明曲线是直线或平面曲线. 证明 根据已知条件，得， 两边求导，得 ，由伏雷内公式得 ，)，则曲线是直线；) 又有可知 因是常向量，所以是常向量，于是 所以 ，所以曲线为平面曲线. 14. 设在两条挠曲线的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应的点的副法线互相平行，证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行.证明 , 由伏雷内公式得 进而 15. 证明挠曲线（）的主法线曲面是不可展曲面.证明 设挠曲线为，则挠率，其主法线曲面的方程是： 取，则所以, 所以挠曲线的主法线曲面不是可展曲面. 16. 证明挠曲线（）的副法线曲面是不可展曲面.证明 设挠曲线为，则挠率， 其副法线曲面的方程是： 取，则所以, ，所以挠曲线的副法线曲面不是可展曲面. 17. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.证明 设曲线则曲线的主法线曲面为 沿曲线（v0）所以主法向量与曲面的法向量夹角所以曲线是它的主法线曲面上的渐近线. 18. 证明二次锥面沿每一条直母线只有一个切平面.证明 为直纹面 , 所以，曲面可展，即沿每一条直母线只有一个切平面. 也可以用高斯曲率K=0证明. 19. 给出曲面上一条曲率线，设上每一处的副法向量和曲面在该点处的法向量成定角，求证是一平面曲线.证明设副法向量和曲面在该点处的法向量成定角，则两边求微商，得由于曲线是曲率线，所以，进而，由伏雷内公式得时，是一平面曲线 ，即，又因为是曲率线，所以即是常向量，所以是平面曲线. 20求证正螺面上的坐标曲线（即曲线族曲线族）互相垂直证明 设正螺面的参数表示是，则 ，故正螺面上的坐标曲线互相垂直21. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.证明 由欧拉公式所以常数. 22. 如果曲面上非直线的测地线均为平面曲线，则必是曲率线.证明 因为曲线是非直线的测地线，所以沿此曲线有从而又因为曲线是平面曲线，所以进一步.由罗德里格斯定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线. 23. 证明在曲面上曲线族x=常数，y =常数构成共轭网.证明 曲面的向量表示为 x=常数,y=常数是两族坐标曲线. ,.因为,所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族 x=常数, y=常数构成共轭网. 24证明马鞍面上所有点都是双曲点证明 参数表示为，则， ，故马鞍面上所有点都是双曲点25如果曲面上某点的第一与第二基本形式成比例，即与方向无关，则称该点是曲面的脐点；如果曲面上所有点都是脐点，则称曲面是全脐的试证球面是全脐的证明 设球面的参数表示为，则，故球面是全脐的26证明平面是全脐的证明 设平面的参数表示为，则，故平面是全脐的27证明曲面的所有点为抛物点证明 曲面的参数表示为，则， ， ， ， ， ， 曲面的所有点为抛物点28求证正螺面是极小曲面证明 ，故正螺面是极小曲面29. 圆柱面上的纬线是测地线证明 由 纬线是u-线，此时 所以，纬线是测地线30证明极小曲面上的点都是双曲点或平点证明 ， ， 当时， 极小曲面的点都是平点；当时，极小曲面的点都是双曲点31. 证明 (1)如果测地线同时是渐近线，则它是直线；(2)如果测地线同时是曲率线，则它一定是平面曲线.证明 (1) 因为曲线是测地线，所以 曲线又是渐近线，所以，而 所以k=0，故所给曲线是直线. (2) 证法1因曲线是测地线，所以沿此曲线有所以又曲线是曲率线，所以 所以所以故所给曲线是平面曲线. 证法2 因所给曲线既是测地线又为曲率线，所以沿此曲线有 而，所以从而，又，所以，故所给曲线是平面曲线. -第 17 页-