导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案(16页).doc

-导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案-第 16 页导数及其应用 【考纲说明】1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】导 数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数导数的运算法则一、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x0+）f（x0），比值叫做函数y=f（x）在x0到x0+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f（x0）或y|。即f（x0）=。说明：（1）函数f（x）在点x0处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。（2）是自变量x在x0处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x0处的导数的步骤：（1）求函数的增量=f（x0+）f（x0）；（2）求平均变化率=；（3）取极限，得导数f(x0)=。二、导数的几何意义函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0）处的切线的斜率是f（x0）。相应地，切线方程为yy0=f/（x0）（xx0）。三、几种常见函数的导数 ; ; ; .四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ( 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：=（v0）。形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法则：y|x= y|u ·u|x五、导数应用1、单调区间：一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；2、极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3、最值：一般地，在区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值。求函数(x)在(a，b)内的极值；求函数(x)在区间端点的值(a)、(b)；将函数(x)的各极值与(a)、(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。4定积分(1)概念：设函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0<x1<<xi1<xi<xnb把区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上取任一点i（i1，2，n）作和式In(i)x（其中x为小区间长度），把n即x0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作：，即(i)x。这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。基本的积分公式：C； C（mQ， m1）；dxlnC；C；C；sinxC；cosxC（表中C均为常数）。(2)定积分的性质（k为常数）；（其中acb。(3)定积分求曲边梯形面积由三条直线xa，xb(a<b)，x轴及一条曲线yf(x) (f(x)0)围成的曲边梯的面积。如果图形由曲线y1f1(x)，y2f2(x)（不妨设f1(x)f2(x)0），及直线xa，xb（a<b）围成，那么所求图形的面积SS曲边梯形AMNBS曲边梯形DMNC。【经典例题】【例1】（2012广东）曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程： 。【解析】先对函数y=x3-x+3求导，得：y=3x2-1。代入点(1,3)求出斜率，k=2。设切线方程为y-3=2(x-1)，得切线方程为：y=2x+1。【例2】（2012辽宁）已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，-2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A的纵坐标为 。【解析】抛物线变形为：y=x2。求导y,=x。代入两点横坐标得出两切线的斜率分别为：4，-2。点P，Q两点坐标为(4,8)，(-2,2)。得出两切线为：y=4x-8，y=-2x-2。两直线交点为(1,-4)。所以交点的纵坐标为-4。【例3】（2011课标）已知函数f(x)=，曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为x+2y-3=0。(1) 求a，b的值；(2) 如果当x>0，且x1时，f(x)>，求k的取值范围。b=1f(x)=1【解析】(1)f,(x)=由于直线x+2y-3=0的斜率为，且过点(1,1)，=f,(1)=故 即 解得a=1，b=1。(2)由（1）知，所以。考虑函数，则。(i)设，由知，当时，。而，故当时，可得；当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.（1，）时，（k-1）（x2 +1）+2x>0,故h （x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。（iii）设k （x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0,与题设矛盾。综合得，k的取值范围为（-，0.【例4】（2012山东）已知函数f(x) = 是自然对数的底数），曲线y= f(x)在点（1，f(1)）处的切线与x轴平行。（）求k的值；（）求f(x)的单调区间；（）设g(x)=(x2+x) ,其中为f(x)的导函数，证明：对任意x0，。【解析】由f(x) = 可得，而，即，解得；（），令可得，当时，；当时，。于是在区间内为增函数；在内为减函数。当时， ，.当时，要证。只需证，然后构造函数即可证明。【例5】（2012北京）已知函数，其中.（）求函数的单调区间；（）若直线是曲线的切线，求实数的值；（）设，求在区间上的最大值.（其中为自然对数的底数）【解析】（），（），在区间和上，；在区间上，.所以，的单调递减区间是和，单调递增区间是.（）设切点坐标为，则 解得，. （），则解，得，所以，在区间上，为递减函数，在区间上，为递增函数.当，即时，在区间上，为递增函数，所以最大值为. 当，即时，在区间上，为递减函数，所以最大值为. 当，即时，的最大值为和中较大者；，解得，所以，时，最大值为，时，最大值为.综上所述，当时，最大值为，当时，的最大值为. 【例6】（2012重庆）已知函数在处取得极值为(1)求、b的值；(2)若有极大值28,求在上的最大值。【解析】()因 故 由于 在点 处取得极值 故有即 ,化简得解得 ()由()知 , 令，得当时,故在上为增函数；当 时, 故在 上为减函数 当时，故在 上为增函数。 由此可知在 处取得极大值， 在 处取得极小值由题设条件知得，此时,因此 上的最小值为。【例7】（2011安徽）设，其中为正实数（）当时，求的极值点；（）若为上的单调函数，求的取值范围。【解析】（1）f ' (x)=当a=时令f ' (x)=0解得x=或x=当x时，f ' (x)>0;当x时，f ' (x)<0;当x，f ' (x)>0,所以f(x)在x=处取得极大值，在x=处取得极小值。（2） 若为上的单调函数则f ' (x)恒大于等于零或f ' (x)恒小于等于零，因为a>0所以=（-2a）2-4a0，解得0<a1.【课堂练习】一、 选择题1.（2011全国）曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（ ）A B C D 12.（2010课标全国）曲线在点(-1,-1)处的切线方程为（ ）A y=2x+1B y=2x-1C y=-2x-3D y=-2x-23.（2012陕西）设函数f(x)=xex,则（ ）A x=1为f(x)的极大值 B x=1为f(x)的极小值 C x=-1为f(x)的极大值D x=-1为f(x)的极大值4.（2008广东理）设，若函数，有大于零的极值点，则（ ）A B. C. D. 5（2008江西、山西、天津理科）函数有（ ）A 极小值1，极大值1 B 极小值2，极大值3C 极小值2，极大值2 D 极小值1，极大值36.（2006湖南理科）设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0时,，.则不等式f(x)g(x)0的解集是（ ）A B C D 7. （2007海南、宁夏理）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）D .8. （2008湖北理）若f(x)=上是减函数，则b的取值范围是（ ）A.-1，+ B.（-1，+）. D.（-，-1）9（2005江西理科）已知函数的图像如右图所示（其中是函数，下面四个图象中的图象大致是 （ ） A B D（1） （2006江西、天津理科）右图中阴影部分的面积是（ ）A B C D 二、填空题：11.（2007湖北文）已知函数的图象在M（1，f（1）处的切线方程是+2，f(1)f(1)=_.12.（2007湖南理）函数在区间上的最小值是 .13.（2008全国卷理）设曲线在点处的切线与直线垂直，则 . 14.（2006湖北文）半径为r的圆的面积S(r)r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，)上的变量，则2r ，式可以用语言叙述为： 对于半径为R的球，若将R看作(0，)上的变量，请你写出类似于的式子： 式可以用语言叙述为： .三、解答题：15.（2005重庆文）某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量(吨)与每吨产品的价格(元/吨)之间的关系式为：,且生产x吨的成本为（元）。问该产每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入成本)。16.（2008重庆文）设函数若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求： （）a的值; （）函数f(x)的单调区间.17.（2008全国卷文、理）已知函数，（）讨论函数的单调区间；（）设函数在区间内是减函数，求的取值范围3. （2006浙江理）设曲线0）在点M（t, ）处的切线与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t）。 （）求切线的方程； （）求S（t）的最大值。19.（2007海南、宁夏文）设函数（）讨论的单调性； （）求在区间的最大值和最小值20.（2007安徽理）设a0，f (x)=x1ln2 x2a ln x（x>0）.（）令F（x）xf（x），讨论F（x）在（0.）内的单调性并求极值；（）求证：当x>1时，恒有x>ln2x2a ln x1.【课后作业】一、选择题1.（2005全国卷文）函数,已知在时取得极值,则=( ) A 2B 3C 4D 52(2008海南、宁夏文）设，若，则（ ）A B C D 3（2005广东）函数是减函数的区间为（ ）A B C D（0，2）4.（2008安徽文）设函数 则（ ）A 有最大值 B 有最小值 C 是增函数D 是减函数5（2007福建文、理）已知对任意实数x有f(x)=f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0时，f(x)>0，g(x)>0，则x<0时（ ）A f(x)>0，g(x)>0 B f(x)>0，g(x)<0C f(x)<0，g(x)>0 D f(x)<0，g(x)<06.（2008全国卷文）设曲线在点（1,）处的切线与直线平行,则( )A 1 B C D 7（2006浙江文）在区间上的最大值是（ ）A -2 B 0 C 2 D 4xyoAxyoDxyoCxyoB8（2005湖南文科）若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f /(x)的图象是（ ）9（2005全国卷理科）函数yxcosxsinx在下面哪个区间内是增函数（ ）A (，) B (，2)C (，)D (2，3)10. （2012重庆）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（A）函数有极大值和极小值 （B）函数有极大值和极小值 （C）函数有极大值和极小值 （D）函数有极大值和极小值二、填空题：11.（2007浙江文）曲线在点(1，一3)处的切线方程是 .12.（2006重庆文科）曲线在点（1，1）处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为 . 13（2007江苏）已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则 .14.（2008北京文）如图，函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f(f(0)= ; 函数f(x)在x=1处的导数f(1)= .三、解答题：15.（2005北京理科、文科）已知函数f(x)= x33x29xa. （I）求f(x)的单调递减区间；（II）若f(x)在区间2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值16.（2006安徽文）设函数，已知是奇函数。（）求、的值。 （）求的单调区间与极值。1. （2005福建文科）已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（1，f（1）处的切线方程为.（）求函数的解析式； （）求函数的单调区间.18.（2007重庆文）用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？19（2008全国卷文） 设，函数（）若是函数的极值点，求的值；（）若函数，在处取得最大值，求的取值范围20.（2008湖北文） 已知函数（m为常数，且m>0）有极大值9. （）求m的值； （）若斜率为-5的直线是曲线的切线，求此直线方程.【参考答案】【课堂练习】一、选择110AADBD DDCCC(2) 填空（1） 3 ； 12； 13. 2 ； 14. ,球的体积函数的导数等于球的表面积函数三、解答题15. 解：每月生产x吨时的利润为，故它就是最大值点，且最大值为：答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.16. 解：()因为, 所 即当因斜率最小的切线与平行，即该切线的斜率为-12，所以 解得()由()知 17解：（1） 求导：当时，, 在上递增当，求得两根为即在递增, 递减, 递增（2）要使f(x)在在区间内是减函数，当且仅当，在恒成立，由的图像可知，只需，即, 解得。a2。所以，的取值范围。18.解：（）因为 所以切线的斜率为故切线的方程为即。（）令y= 0得x=t+1, x=0得所以S（t）=从而当（0，1）时，>0, 当（1,+）时,<0,所以S(t)的最大值为S(1)=。19 解：的定义域为当时，；当时，；当时，从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少（）由（）知在区间的最小值为又所以在区间的最大值为20.（）解：根据求导法则得故 于是列表如下：x (0,2) 2 (2,+)F（x） - 0 +F(x) 极小值F（2） 故知F（x）在（0，2）内是减函数，在（2，+）内是增函数，所以，在x2处取得极小值F（2）2-2In2+2a.（）证明：由于是由上表知，对一切从而当所以当故当【课后作业】一、 选择1-10 DBDAB ACABD一、 填空11. ； 12. ；13. 32；14. 2 , -2 .三、解答题15. 解：（I） f (x)3x26x9令f (x)<0，解得x<1或x>3，所以函数f(x)的单调递减区间为（，1），（3，）（II）因为f(2)81218a=2a，f(2)81218a22a，所以f(2)>f(2)因为在（1，3）上f (x)>0，所以f(x)在1, 2上单调递增，又由于f(x)在2，1上单调递减，因此f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2，2上的最大值和最小值，于是有 22a20，解得 a2 故f(x)=x33x29x2，因此f(1)13927， 即函数f(x)在区间2，2上的最小值为716.解（），。从而是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；（）由（）知，从而，由此可知，和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。一、 解：()由的图象过点P（0，2）,d=2知,所以 ,(x)=3x2+2bx+c,由在(-1,(-1)处的切线方程是6x-y+7=0,知-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1, (-1)=6,即解得b=c=-3。故所求的解析式为f(x)=x3-3x2-3x+2,() (x)=3x2-6x-3,令3x2-6x-3=0即x2-2x-1=0,解得x1=1-,x2=1+,当x<1-或x>1+时, (x)>0;当1-<x<1+时, (x)<0f(x)=x3-3x2-3x+2在(1+,+)内是增函数,在(-, 1-)内是增函数,在(1-,1+)内是减函数.18.解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为.故长方体的体积为从而令V（x）0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.当0x1时，V（x）0；当1x时，V(x)0，故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。从而最大体积VV（x）9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。19解：（）因为是函数的极值点，所以，即，因此经验证，当时，是函数的极值点（）由题设，当在区间上的最大值为时，对一切都成立，即对一切都成立令，则由，可知在上单调递减，所以， 故a的取值范围是（2）当时，抛物线的对称轴为，当a<0时，有h(0)= -6<0, 所以h(x)在上单调递减，h(x) <0恒成立； 当a>0时,因为h(0)= -6<0,所以要使h(x)0在上恒成立,只需h(2) 0成立即可,解得a;综上，的取值范围为20.解：() f(x)3x2+2mxm2=(x+m)(3xm)=0,则x=m或x=m,当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(,m)m(m,)(,+)f(x)+00+f (x)极大值极小值从而可知，当x=m时，函数f(x)取得极大值9，即f(m)m3+m3+m3+1=9,m2.()由()知，f(x)=x3+2x24x+1,依题意知f(x)3x24x45，x1或x. 又f(1)6，f()，所以切线方程为y65(x1),或y5(x)，即5xy10，或135x27y230.