巧用隔板法解排列组合题(3页).doc

-巧用隔板法解排列组合题-第 3 页巧用隔板法解排列组合题徐帮利 临沂市第二中学解决排列组合问题的方法很多,从解题形式来看,可分为直接法和间接法两种;根据具体问题情景又有：相邻问题“捆绑法”;不相邻问题“插空法”;特殊定位“优限法”(优先排列受限制的位置或元素);同元问题“隔板法”“隔板法”.“隔板法”适用于相同元素的分配问题,如投球进盒、名额或指标的分配、部分不定方程的整数解的组数等,解决时通常设计一个问题情景,构造一个隔板模型,将复杂的问题简单化,抽象的问题具体化,从而实现解题的目的.下举例述之.例1.某运输公司有7个车队,每个车队的车多于4辆,现从这7个车队中抽出10辆车,且每个车队至少抽1辆,组成一个运输队,则不同的抽法有（ ）种.解析:此题若使用其它方法,则需要分类,都比较麻烦,若用“隔板法”,则就轻而易举了.首先将10辆车排好,这样形成9个空,从这9个空中选6个,插入隔板,即将这10辆车分成7份,每一种插法对应一种抽法,故共有不同的抽法.所以选A.例2.方程共有多少组正整数解?解析:此题乍看上去,好象思路不太好找,那就只好列举了(麻烦啊！).殊不知,巧构隔板模型,即可化繁为简.将10个完全相同的小球排成一列,形成9个空,从中选3个,插入隔板,将球分成4份,每一种插法所得4份球的各份的数目,分别对应不同的整数解.例3将10个相同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒子中所放的球数不少于其编号数,问不同的放法有多少种?解析:由于条件要求每个盒子中所放的球数不少于其编号数,我们不妨先“找平了”,即先在第1,2,3个盒中各放0,1,2个球.问题即转化为求:将7个相同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒中至少1个球的不同放法.将7个小球排成一排,形成6个空,从中选2个,插入隔板,把球分成三组,放入对应的盒子里,每一种插法,对应一种放法,故共有不同的放法.强化训练:1.将10本完全相同的书,分给4名同学,每人至少一本,共有多少种不同的分法? 答案: .共有多少组正整数解？ 答案: