数值分析复化Simpson积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序(5页).doc

-数值分析第五次程序作业 PB09001057 孙琪【问题】分别编写用复化Simpson积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序；用如上程序计算积分： 取节点并分析误差；简单分析你得到的数据。【复化Simpson积分公式】Simpson法则：使用偶数个子区间上的复合Simpson法则：设n是偶数，则有将Simpson法则应用于每一个区间，得到复合Simpson法则：公式的误差项为：其中【复化梯形积分公式】梯形法则：对两个节点相应的积分法则称为梯形法则：如果划分区间a,b为：那么在每个区间上可应用梯形法则，此时节点未必是等距的，由此得到复合梯形法则：对等间距h=(b-a)/n及节点，复合梯形法则具有形式：误差项为： 【算法分析】复合Simpson法则和复合梯形法则的算法上述描述中都已介绍了，在此不多做叙述。【实验】通过Mathematica编写程序得到如下结果：1. 利用 复化Simpson积分公式得：可以看出，当节点数选取越来越多时，误差项越来越小，这从复合的Simpson公式很好看出来，因为在每一段小区间内，都是用Simpson法则去逼近，而每一段的误差都是由函数在该区间内4阶导数值和区间长度的4次方乘积决定的，当每一段小区间越来越小时，相应的每一段小区间内的逼近就会越来越好，从而整体的逼近效果就会越来越好。2. 利用 复化梯形积分公式得：可以看出，当节点数选取越来越多时，误差项越来越小，这从复合的梯形公式很好看出来，因为在每一段小区间内，都是用梯形法则去逼近，而每一段的误差都是由函数在该区间内2阶导数值和区间长度的2次方乘积决定的，当每一段小区间越来越小时，相应的每一段小区间内的逼近就会越来越好，从而整体的逼近效果就会越来越好。【分析】通过对上述两种法则的效果来看，复合Simpson法则的误差要比复合梯形法则收敛到0更快，说明复合Simpson法则逼近到原来的解更快，这主要是因为在每一段小区间内，复合Simpson法则利用得是Simpson法则，复合梯形法则利用得是梯形法则，前者的误差项要比后者的误差项小很多，因此造成了逼近速度的不一样。【程序】Mathematica程序为：复合Simpson法则：复合梯形法则：-第 5 页-