数学建模按揭还款课程设计(20页).doc

-2015-2016第1学期数学建模课程设计题目 ：按揭还款姓名：XX学号：XXX班级：XX时间：2016年1月13日联系方式：XXX 摘 要随着人们生活水平的不断提高及社会制度的发展,消费观念正在发生深刻的变化。俗话说：“花明天的钱享今天的福”按揭还款的消费方式正是符合了人们当前的消费需求，于是按揭贷款购买住房、汽车、教育、旅游等大件商品已经被越来越多的百姓接受。目前按揭还贷有等额本息还贷法和等额本金还贷的还款方式。允许借贷人与贷款人在双方协商的基础上进行选择，但一笔借款合同只能允许选择一张还款方式，合同签订后，不得更改。本文根据银行购房贷款和我们的日常常识建立数学模型，推导出月均还贷总额、还款总额和利息负担总和的公式。并以一笔20万元、10年的房贷为例，利用已求出的公式，计算出10年内月均还款额和所花费的本息总额，制成图表，将等额本息还款法和等额本金还款法两种还款方式做一次比较。关键字：贷款;等额本息;等额本金;月均还款总额一 问题重述 银行目前有等额本息还款法和等额本金还款法两种还款方式，李先生准备向银行贷款20万元购房、计划10年还清. 所谓等额本息还款法，即每月以相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满还清；而等本不等息递减还款法（简称等额本金还款法），即每月偿还贷款本金相同，而利息随本金的减少而逐月递减，直至期满还清。现在我们需要帮助李先生通过建立数学模型分析一下，就两种还款方式，李先生应选择哪种还款方式比较划算. 1. 李先生每月应向银行还款的数目，10年到期后 李先生总共要向银行还款的数目。（贷款10年的年利率为5.94%） 2. 假如李先生计划8年还清贷款，李先生每月应向银行还款数目，8年到期后，李先生总共要向银行还款数目。 3. 假若李先生每月能够向银行还款1500元，就两种还款方式，李先生多少年才能还清贷款，总共需要还款的数目。 试利用多项式数据拟合，得到每个公司医疗费用变化函数，并绘出标出原始数据的拟合函数曲线。需给出三种不同阶数的多项式数据拟合，并分析拟合曲线与原始数据的拟合程度。二模型假设1假设在贷款期间银行利率保持不变； 2假设在贷款期间贷款人有能力偿还每月还贷款； 3假设在贷款期间贷款人能按时偿还每月贷款额，不会拖欠；4 . 假设在这段时间内不考虑经济波动情况。三问题分析目前有两种还款方式。等额本息还款法：每月以相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满还清，容易作出预算。还款初期利息占每月供款的大部分，随本金逐渐返还，还供款中本金比重增加。等额本息还款法更适合用于现期收入少，预期收入稳定或增加的借款人，或预算清晰的人士和收入稳定的人士。而等额本金还款法:每期还给银行相等的本金,但客户每月的利息负担就会不同. 利息负担应该是随本金逐期递减。借款人在开始还贷时,每月负担比等额本息要重。但随着时间推移,还款负担便会减轻。所以我们可知等额本金还款法适合目前收入较高的人群。四模型建立问题的参数问题参数约定如下：A : 客户向银行贷款的本金B : 客户平均每期应还的本金C : 客户应向银行还款的总额D : 客户的利息负担总和: 客户向银行贷款的月利率: 客户向银行贷款的年利率m : 贷款期n : 客户总的还款期数根据我们的日常生活常识，我们可以得到下面的关系：（1） （2） （3） 模型的建立1等额本息还款模型：（1）贷款期在1年以上：先假设银行贷给客户的本金是在某个月的1号一次到位的. 在本金到位后的下个月1号开始还钱，且设在还款期内年利率不变. 因为一年的年利率是，那么，平均到一个月就是（/12），也就是月利率， 即有关系式：设月均还款总额是x （元）（i=1n）是客户在第i期1号还款前还欠银行的金额 (i=1n) 是客户在第i期1 号还钱后欠银行的金额. 根据上面的分析，有第1期还款前欠银行的金额：第1期还款后欠银行的金额： 第2期还款前欠银行的金额： 第2期还款后欠银行的金额： 第i期还款前欠银行的金额：第i期还款后欠银行的金额： 第n期还款前欠银行的金额：第n期还款后欠银行的金额：因为第n期还款后，客户欠银行的金额就还清. 也就是说：，即： （2） 1年期的贷款，银行一般都是要求客户实行到期一次还本付息，利随本清. 因此，1年期的还款总额为：而利息负担总和为：2 等额本金还款模型：银行除了向客户介绍上面的等额本息还款法外，还介绍另一种还款方法：等额本金还款法（递减法）：每期还给银行相等的本金，但客户每月的利息负担就会不同. 利息负担应该是随本金逐期递减. 因此，客户每月除付给银行每期应付的本金外，还要付给银行没还的本金的利息. (1)假设贷款期在1年以上. 等额本金还款法：每期还给银行相等的本金，但客户每月的利息负担不同。利息负担随本金的偿还逐期递减。所以客户每期应付金额中包含固定本金和一定利息。设客户第i期应付的金额为 ( i = 1，2 ,n ) (单位：元)因此，客户第一期应付的金额为 ： 第二期应付的金额为 ：计算一下，如果选择等额本金还款法，那么，在第53期，应该还银行4450.00元，在第53期，应该还银行4433.33元，与等额本息每月4440.82元相当. 而在第120期（若年利率不变），应该还银行3333.33元，即最后一次只还本金。可以看出，等额本金还款法的还款金额是逐级递减的。而且对于每月4440元的收入，等额本息还款法还款会更合适. 那么，客户第n期应付的金额为 ：累计应付的还款总额为 ： 利息负担总和为 ： （2）1年期的贷款，银行都要求客户实行到期一次还本付息，利随本清. 因此，1年期的还款总额为：而利息负担总和为： 五模型求解问题参数约定如下：A : 客户向银行贷款的本金B : 客户平均每期应还的本金C : 客户应向银行还款的总额D : 客户的利息负担总和: 客户向银行贷款的月利率: 客户向银行贷款的年利率m : 贷款期n : 客户总的还款期数根据我们的日常生活常识，我们可以得到下面的关系：（1） （2） （3） 1等额本息还款模型（1）贷款期在1年以上：因为一年的年利率是，那么，平均到一个月就是（/12），也就是月利率， 即有关系式：设月均还款总额是x （元）（i=1n）是客户在第i期1号还款前还欠银行的金额 (i=1n) 是客户在第i期1 号还钱后欠银行的金额. 根据上面的分析，有第1期还款前欠银行的金额：第1期还款后欠银行的金额： 第2期还款前欠银行的金额： 第2期还款后欠银行的金额： 第i期还款前欠银行的金额：第i期还款后欠银行的金额： 第n期还款前欠银行的金额：第n期还款后欠银行的金额：因为第n期还款后，客户欠银行的金额就还清. 也就是说：，即： 解方程得：这就是月均还款总额的公式. 因此，客户总的还款总额就等于：利息负担总和等于：（2） 1年期的贷款，银行一般都是要求客户实行到期一次还本付息，利随本清. 因此，1年期的还款总额为：而利息负担总和为：2 等额本金还款模型的求解 (1)假设贷款期在1年以上. 设客户第i期应付的金额为 ( i = 1，2 ,n ) (单位：元)因此，客户第一期应付的金额为 ： 第二期应付的金额为 ：计算一下，如果选择等额本金还款法，那么，在第53期，应该还银行4450.00元，在第53期，应该还银行4433.33元，与等额本息每月4440.82元相当. 而在第120期（若年利率不变），应该还银行3333.33元，即最后一次只还本金。可以看出，等额本金还款法的还款金额是逐级递减的。而且对于每月4440元的收入，等额本息还款法还款会更合适. 那么，客户第n期应付的金额为 ：累计应付的还款总额为 ： 利息负担总和为 ： （2）1年期的贷款，银行都要求客户实行到期一次还本付息，利随本清. 因此，1年期的还款总额为：而利息负担总和为： 六模型分析与改进1 模型分析与检验:1. 李先生每月应向银行还款的数目，10年到期后 李先生总共要向银行还款的数目。（贷款10年的年利率为5.94%）(1)等额本息：利用上文模型求解得的公式可知总的还款期数 n=12m=12×10=120客户向银行贷款的月利率 =/12=0.495%月供金额（月均还款总额） （单位：元）客户总的还款总额就等于： 利息负担总和等于： (2)等额本金：月供金额（客户第n期应付的金额）客户每期应还的本金 所以月供金额如下： =2648.42 =2640.17 =2631.92 =2219.42 =2211.17 =1666.67累计应付的还款总额为 ： =258905.00利息负担总和为 ： =58905.00计算贷款20万的两种还款方式所得各项数据对比如下表：（年利率为5.94% 来计算 （单位：元）贷款期限（年）年利率（%）还款总额利息负担总和月均还款总额10（等额本息）5.94265726.6465726.242214.3910（等额本金）5.94258905.0058905.002648.42（第1期）比较（相差）-6821.646821.64-2. 假如李先生计划8年还清贷款，李先生每月应向银行还款数目，8年到期后，李先生总共要向银行还款数目。(1)等额本息：利用上文模型求解得的公式可知总的还款期数 n=12m=12×10=96客户向银行贷款的月利率 =/12=0.495%月供金额（月均还款总额） （单位：元）客户总的还款总额就等于： 利息负担总和等于： (2)等额本金：月供金额（客户第n期应付的金额）客户每期应还的本金 所以月供金额如下： =3063.02 =3052.71 =3042.39 =2578.33 =2083.33累计应付的还款总额为 ： =247025.00利息负担总和为 ： =47025.00计算贷款20万的两种还款方式所得各项数据对比如下表：（年利率为5.94% 来计算 （单位：元）贷款期限（年）年利率（%）还款总额利息负担总和月均还款总额8（等额本息）5.94251754.9151754.912622.458（等额本金）5.94247025.0047025.003062.02（第1期）比较（相差）-4729.914729.91-3. 假若李先生每月能够向银行还款1500元，就两种还款方式，李先生多少年才能还清贷款，总共需要还款的数目。 用逆向思维 等额本息：等额本息每个月还贷的金额是一定的，李先生每月能够向银行还款1500元也x就意味着x=1500可根据逆推出 需偿还的期数n： =218偿还总额C： C=nx =2181500 =327720.46等额本金：在等额本金的还贷法中每月还贷数是依次递减的，而贷款人每月只能还贷1500故贷款人每月最多能还贷1500即第一个月的还款金额为1500.（x1=1500）同理可由 可由上式推出 需偿还的期数n ： =390偿还总额C： =392094.402 模型评价:模型的优点：（1）采用的数学模型有成熟的理论基础，可信度较高。（2）本文建立的模型与实际紧密联系，考虑现实情况的多样性，从而使模型更贴近实际，更实用。（3）本文用数学工具，严密对模型求解，具有科学性。（4）为了更贴近实际，在静态模型的的基础上，考虑未来现金折现对模型进行改进，加以验证。（5）借助图表，比较形象直观，从多方面对结果进行验证。模型缺点：（1）模型复杂因素较多，不能对其进行全面考虑。（2）利率的精确度不同可能造成一定误差（3）经济社会中随机因素较多，使模型不能将其准确反应出来模型的改进：（1）考虑通货膨胀等市场经济中的因素（2）考虑国家政策、重大事件比如加息对人们还贷行为的影响（3）对利率有更准确的计算方法（4）考虑不同人群的消费观念和收入水平七建模心得数学建模，对于我们计算机院的学生来说还是比较陌生的，在数学模型之前我们还未曾学习过这门课程，但通过这周的建模使我们知道了什么叫做数学建模。在学习之中，锻炼了我们的能力，获益非浅。真正用到了数学的理论知识去解决我们在实际生活上的一些问题。从最初的“建模”简介，我们了解到数学在实际生活中的应用之广、之深、之切。小到日常的衣食住行，大到科技进步，人类生存。庞大的数学知识体系良好地规范我们的生活，与我们每个人都息息相关，并随着科技的进步，数学与我们的关系也越来越密切。终于明白了，为什么数学是真正的科学工具，是人类发展进步的基础学科，它既能规范现在，又能预测未来。在这次实践中，我选择的是关于购房按揭还贷 ，可以说是一个小模型，里面所用到的知识和方法也是比较容易的。在分配到相应题目之后，我就开始着手行动，经过三天的努力模型基本建成，从最开始的一无所知到最后的完成数学建模报告，这都告诉我只要用心努力去干一件事一定可以成功。也让我明白在今后的学习生活中，我们应当将理论与实践相结合，努力提高自己的数学专业水平。 参考文献：1龚晓岚 哈尔滨工业大学出版社2012年1月1日。2姜启源 谢金星 叶俊，数学模型，北京：高等教育出版社，2011年.3堵秀凤 张剑 张宏民 北京航空航天大学出版社，2011年3月。4姜启源 高等教育出版社2003年.附录：#include<stdio.h>void main()int year;float A,B,T,W,Q,sum=0;printf("请输入贷款的金额：");scanf("%f",&A);printf("请输入年利率：");scanf("%f",&B); printf("请输入还款期限：");scanf("%d",&year);T=A/(year*12);printf("等额本金还款法结果如下：");for(int i=1;i<=year*12;i+)W=(A-T*(i-1)*B/12;Q=T+W;printf("第%d个月，还款金额：%fn",i,Q);sum=sum+Q;sum=sum-A;printf("累计利息：%fn",sum);#include<stdio.h>#include<math.h>void main()int year;float A,B,T,W,Q;printf("请输入贷款的金额：");scanf("%f",&A);printf("请输入年利率：");scanf("%f",&B);    printf("请输入还款期限：");scanf("%d",&year);T=A*B/12*pow(1+B/12),year*12)/(pow(1+B/12),year*12)-1);Q=T-A/(year*12);W=Q*120;printf("等额本金还款法结果如下：");    printf("每月还款金额：%fn",T);printf("每月还的利息：%fn",Q);printf("累计总利息：%fn",W);-第 20 页-