数学模型第四版课后习题4—1答案(5页).doc
-某银行经理计划用一笔资金进行有价证劵的投资，可供购进的证劵以及其信用等级，到期年限，收益如表所示。按照规定，市政证劵的收益可以免税，其他证劵的收益需按50的税率纳税。除外还有以下限制：（1） 政府及代办机构的证劵总共至少要购进400万元。（2） 所购证劵的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；（3） 所购证劵的平均到期年限步超过5年。证劵名称证劵种类信用等级到期年限到期税前收益%A市政294.3B代办机构2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5(1) 若该经理有1000万元资金，应如何投资？(2) 如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理该如何操作？(3) 在1000万元资金情况下，若证劵A的税前收益增加为4.5%。投资应否改变？若证劵C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？问题分析：这个投资方案的目标是使获取的税后收益最大化，要做好决策应是用多少钱购买多少不同的证劵。此决策共受到四个条件的限制，资金总额必购证劵，信用等级，到期年限。按照题目将决策变量，目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来得到如下模型。基本模型：决策变量：设用x1万元购买A证劵，用x2万元购买B证劵，用x3万元购买C证劵，用x4万元购买D证劵，用x5万元购买E证劵。目标函数：设总到期税后收益为Z万元，则由给出收益率可算出Z=0.043 x1+0.054 x2+0.025 x3+0.022 x4+0.045 x5 约束条件：1.资金总额：所用投资金额不超过1000万元 。 即x1+ x2+ x3+ x4 +x5102.必购证劵政府及代办机构的证劵总共至少购进400万元即x2+ x3+ x443.信用等级：所购证劵的平均信用等级都不超过1.4，即4.到期年限：所购证劵的平均到期年限步超过5年，即5.非负约束x1 x2 x3 x4 x5为输入方便，将（3）（4）化简可得到该问题的基本模型 Max Z=0.043 x1+0.054 x2+0.025 x3+0.022 x4+0.045 x5 (1) x1 +x2+ x3+ x4 +x510 (2) x2+ x3+ x44 (3) 6x1+ 6x2-4x3-4x4 +36x510 (4) 4x1+10 x2- x3-2x4 -3x510 (5)x1 x2 x3 x4 x5模型求解：用LINGO软件求解输入：model:max=0.043 *x1+0.027* x2+0.025* x3+0.022* x4+0.045* x5 ; money x1+ x2+ x3+ x4 +x510;must x2+ x3+ x44;credit 6*x1+ 6*x2-4*x3-4*x4 +36*x50;time 4*x1+10*x2-x3-2*x4 -3*x50 ;end得到如下输出:Global optimal solution found.Objective value: 0.2983636Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 5Variable Value Reduced CostX1 2.181818 0.000000X2 0.000000 0.3181818E-02X3 7.363636 0.000000X4 0.000000 0.6363636E-03X5 0.4545455 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 0.2983636 1.000000MONEY 0.000000 0.2983636E-01MUST 3.363636 0.000000CREDIT 0.000000 0.6181818E-03TIME 0.000000 0.2363636E-02Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient RangesCurrent Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 0.4300000E-01 0.3500000E-02 0.1300000E-01 X2 0.2700000E-01 0.3018182E-01 INFINITY X3 0.2500000E-01 0.1733333E-01 0.5600000E-03 X4 0.2200000E-01 0.6363636E-03 INFINITY X5 0.4500000E-01 0.5200000E-01 0.1400000E-01 Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase DecreaseMONEY 10.00000 INFINITY 4.567901MUST 4.000000 3.363636 INFINITYCREDIT 0.0 105.7143 20.00000TIME 0.0 10.00000 12.00000最优解为x1=2.182,x2=0,x3=7.364,x4=0.454,x5=0;最优值为Z=0.298;即证劵A,C,E分别投资2.182百万元，7.364百万元，0.454百万元，最大税后收益为0.298百万元。结果分析：（1）由于输出结果中的影子价格可知资金每增加100万元，多获收益0.0298百万元。收差率为2.98%大于2.75%所以应进行投资，在上面约束条件的（2）右端约束改为小于11，lingo求解结果如下：Global optimal solution found.Objective value: 0.3282000Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 5 Variable Value Reduced Cost X1 2.400000 0.000000 X2 0.000000 0.3181818E-02 X3 8.100000 0.000000 X4 0.000000 0.6363636E-03 X5 0.5000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.3282000 1.000000 MONEY 0.000000 0.2983636E-01 MUST 4.100000 0.000000 CREDIT 0.000000 0.6181818E-03TIME 0.000000 0.2363636E-02由输出结果可知，A,C,E分别投资2.4百万元，8.1百万元，0.5百万元，最大收益为0.3282百万元（2）由第一个输出结果可知A的系数允许变化范围，A得税前收益可增加0.35% ，所以当证券A的税前收益增加到4.5%，不应改变投资方案,由C的系数变化范围可知C的税前收益可减少0.112% 。c最小可减少为4.88%，当C的税前收益减少为4.8%，应改变投资方案。评注：本题是在已知各收益率及条件基础下建立线性规划模型。用LINGO软件求解出收益最大化时的投资方案，而且利用其中影子价格和敏感性分析，可根据条件对投资方案进行调整。-第 5 页-
