幂级数及泰勒展开习题解答(11页).doc

-幂级数及泰勒展开习题解答-第 11 页幂级数及泰勒展开一、求下列幂级数的收敛区间1. 解： 当时，因 ， 所以收敛，当时， 绝对收敛， 收敛区间为。 2. 解： 当时，为收敛的交错级数，当时， 发散， 收敛区间为。 3. 解：， 当时，通项不趋于零， 收敛区间为。 4. 解：故当，即时级数绝对收敛。当时， 发散，当时， 为收敛的交错级数， 收敛区间为。 5. 解：故当，即时级数绝对收敛。当时，因为所以 收敛，当时，因为当时 所以发散， 收敛区间为。 6. 解：故当，即时级数绝对收敛。 当时， 为收敛的交错级数，当时， 为收敛的交错级数， 收敛区间为。二、求下列幂级数的收敛区间并求和函数1. 解：故当时级数绝对收敛，当时，级数发散。当时， 为收敛的交错级数，当时， 为收敛的交错级数， 收敛区间为。令2. 解：故当时级数绝对收敛，当时，级数发散。当时， 发散，当时， 发散， 收敛区间为。令3. 解： 当时，发散；当时，发散， 收敛区间为。 令4. 解：故当时级数绝对收敛，当时，级数发散。当时， （通项不趋于零）发散， 收敛区间为。令故另解 三、求下列级数的和1. 也可以考虑利用幂级数2. 四、利用直接展开法将下列函数展开成幂级数1.解：故该级数的收敛区间为。再由因有界，是收敛级数的一般项，所以对任意的上式均成立。2. 解：由 故该级数的收敛区间为。再由因为绝对收敛级数的一般项，所以对任意的上式均成立。五、使用间接展开法将下列函数展开成幂级数常用幂级数展式：（1）（2）（3）（4）（6）（7）基本方法：代数法，即代换；利用幂级数性质. 对复杂函数可以先求导看是否为幂级数展式已知的简单函数，再积分可得原函数的幂级数展式。1解：由，令得2. 解：由，令得3. 解：由，及令得4. 解：时，均为收敛的交错级数。5. 解：由及，令得6. 解：由，得7. 解：六、在指定点处将下列函数展开成幂级数1. 解：由及，令得2. 解：。七、求函数在处的阶导数解：八、设有两条抛物线和，记它们的交点横坐标的绝对值为（1）求的表达式（2）求这两条抛物线所围成的图形的面积（3）求级数的和解：（1）;（2）;（3）由，得幂级数部分习题课常用幂级数展式：（1）（2）（3）（4）（6）（7）基本方法：代数法，即代换；利用幂级数性质. 对复杂函数可以先求导看是否为幂级数展式已知的简单函数，再积分可得原函数的幂级数展式。补充例题一、 把下列函数展成的幂级数1. 解：。2. 解：由及3. 解：由及4. 解：而 故二、 把下列函数在指定点展成幂级数1. 在处解：2. 在处解：故3. 在处解： 4. 在处解：由及三、 幂级数求和步骤：1. 求出给定级数的收敛区间； 2. 两种途径：适当变形逐项积分 常见函数之幂级数（几何级数等）逐项求导得和函数适当变形逐项求导常见函数之幂级数（几何级数等）逐项积分得和函数1解：由，可知，故收敛区间为，设，逐项积分得2. 解：由，得，进一步可确定收敛区间为：设，逐项求导得3. 解：由，可知，故收敛区间为，4. 解：由，得，进一步可确定收敛区间为：