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    平面向量经典习题-提高篇(18页).doc

    • 资源ID:36350597       资源大小:312.50KB        全文页数:18页
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    平面向量经典习题-提高篇(18页).doc

    -平面向量经典习题-提高篇-第 18 页平面向量:1. 已知向量a(1,2),b(2,0),若向量ab与向量c(1,2)共线,则实数等于()A2BC1 D答案C解析ab(,2)(2,0)(2,2),ab与c共线,2(2)20,1.2. (文)已知向量a(,1),b(0,1),c(k,),若a2b与c垂直,则k()A1 BC3 D1答案C解析a2b(,1)(0,2)(,3),a2b与c垂直,(a2b)·ck30,k3.(理)已知a(1,2),b(3,1),且ab与ab互相垂直,则实数的值为()A BC. D.答案C解析ab(4,1),ab(13,2),ab与ab垂直,(ab)·(ab)4(13)1×(2)6110,.3. 设非零向量a、b、c满足|a|b|c|,abc,则向量a、b间的夹角为()A150° B120°C60° D30°答案B解析如图,在ABCD中,|a|b|c|,cab,ABD为正三角形,BAD60°,a,b120°,故选B.(理)向量a,b满足|a|1,|ab|,a与b的夹角为60°,则|b|()A. B.C. D.答案A解析|ab|,|a|2|b|22a·b,|a|1,a,b60°,设|b|x,则1x2x,x>0,x.4. 若·20,则ABC必定是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形答案B解析·2·()·0,ABAC,ABC为直角三角形5. (文)若向量a(1,1),b(1,1),c(2,4),则用a,b表示c为()Aa3b Ba3bC3ab D3ab答案B解析设cab,则(2,4)(,),ca3b,故选B.(理)在平行四边形ABCD中,AC与BD交于O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若a,b,则等于()A.ab B.abC.ab D.ab答案B解析E为OD的中点,3,DFAB,|DF|AB|,|CF|AB|CD|,a()a(ba)ab.6. 若ABC的三边长分别为AB7,BC5,CA6,则·的值为()A19 B14C18 D19答案D解析据已知得cosB,故·|×|×(cosB)7×5×19.7. 若向量a(x1,2),b(4,y)相互垂直,则9x3y的最小值为()A12 B2C3 D6答案D解析a·b4(x1)2y0,2xy2,9x3y32x3y26,等号在x,y1时成立8. 若A,B,C是直线l上不同的三个点,若O不在l上,存在实数x使得x2x0,实数x为()A1 B0C. D.答案A解析x2x0,x2(x1)0,由向量共线的充要条件及A、B、C共线知,1xx21,x0或1,当x0时,0,与条件矛盾,x1.9. (文)已知P是边长为2的正ABC边BC上的动点,则·()()A最大值为8 B最小值为2C是定值6 D与P的位置有关答案C解析以BC的中点O为原点,直线BC为x轴建立如图坐标系,则B(1,0),C(1,0),A(0,),(1,)(1,)(0,2),设P(x,0),1x1,则(x,),·()(x,)·(0,2)6,故选C.(理)在ABC中,D为BC边中点,若A120°,·1,则|的最小值是()A. B.C. D.答案D解析A120°,·1,|·|·cos120°1,|·|2,|2|22|·|4,D为BC边的中点,(),|2(|2|22·)(|2|22)(42),|.10. 如图所示,点P是函数y2sin(x)(xR,>0)的图象的最高点,M,N是该图象与x轴的交点,若·0,则的值为()A. B.C4 D8答案B解析·0,PMPN,又P为函数图象的最高点,M、N是该图象与x轴的交点,PMPN,yP2,MN4,T8,.11. 如图,一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB,AD分别交于E、F两点,且交其对角线于K,其中,则的值为()A. B.C. D.答案A解析如图,取CD的三等分点M、N,BC的中点Q,则EFDGBMNQ,易知,.12. 已知向量a(2,3),b(1,2),若ma4b与a2b共线,则m的值为()A.B2C2 D答案C解析ma4b(2m4,3m8),a2b(4,1),由条件知(2m4)·(1)(3m8)×40,m2,故选C.13. 在ABC中,C90°,且CACB3,点M满足2,则·等于()A2B3C4D6答案B解析·()·()···|·|·cos45°×3×3×3.14. 在正三角形ABC中,D是BC上的点,AB3,BD1,则·_.答案解析由条件知,|3,60°,60°,··()··3×3×cos60°×3×3×cos60°.15. 已知向量a(3,4),b(2,1),则a在b方向上的投影等于_答案解析a在b方向上的投影为.16. 已知向量a与b的夹角为,且|a|1,|b|4,若(2ab)a,则实数_.答案1解析a,b,|a|1,|b|4,a·b|a|·|b|·cosa,b1×4×cos2,(2ab)a,a·(2ab)2|a|2a·b220,1.17. 已知:|1,|,·0,点C在AOB内,且AOC30°,设mn(m,nR),则_.答案3解析设m,n,则,AOC30°,|·cos30°|m|m,|·sin30°|n|n,两式相除得:,3.18. (文)设i、j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量,且2ij,4i3j,则OAB的面积等于_答案5解析由条件知,i21,j21,i·j0,·(2ij)·(4i3j)835,又·|·|·cos,5cos,cos,sin,SOAB|·|·sin,××5×5.(理)三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,能得出三角形ABC一定是锐角三角形的条件是_(只写序号)sinAcosA·<0b3,c3,B30°tanAtanBtanC>0.答案解析若A为锐角,则sinAcosA>1,sinAcosA,A为钝角,·<0,·>0,B为锐角,由B为锐角得不出ABC为锐角三角形;由正弦定理得,sinC,C60°或120°,c·sinB,3<<3,ABC有两解,故都不能得出ABC为锐角三角形由tanAtanBtanCtan(AB)(1tanAtanB)tanCtanC(1tanAtanB)tanCtanAtanBtanC>0,及A、B、C(0,),ABC知A、B、C均为锐角,ABC为锐角三角形19. 已知平面向量a(1,x),b(2x3,x)(1)若ab,求x的值(2)若ab,求|ab|.解析(1)若ab,则a·b(1,x)·(2x3,x)1×(2x3)x(x)0,整理得x22x30,解得x1或x3.(2)若ab,则有1×(x)x(2x3)0,则x(2x4)0,解得x0或x2,当x0时,a(1,0),b(3,0),|ab|(1,0)(3,0)|(2,0)|2,当x2时,a(1,2),b(1,2),|ab|(1,2)(1,2)|(2,4)|2.20. 已知向量a(sinx,1),b(cosx,),函数f(x)(ab)·a2.(1)求函数f(x)的最小正周期T;(2)将函数f(x)的图象向左平移上个单位后,再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的解析式及其对称中心坐标解析(1)f(x)(ab)·a2a2a·b2sin2x1sinxcosx2sin2xsin2xcos2xsin(2x),周期T.(2)向左平移个单位得,ysin2(x)sin(2x),横坐标伸长为原来的3倍得,g(x)sin(x),令xk得对称中心为(,0),kZ.21. (文)三角形的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,设向量m(ca,ba),n(ab,c),若mn.(1)求角B的大小;(2)若sinAsinC的取值范围解析(1)由mn知,即得b2a2c2ac,据余弦定理知cosB,得B.(2)sinAsinCsinAsin(AB)sinAsin(A)sinAsinAcosAsinAcosAsin(A),B,AC,A(0,),A(,),sin(A)(,1,sinAsinC的取值范围为(,(理)在钝角三角形ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,m(2bc,cosC),n(a,cosA),且mn.(1)求角A的大小;(2)求函数y2sin2Bcos(2B)的值域解析(1)由mn得(2bc)cosAacosC0,由正弦定理得2sinBcosAsinCcosAsinAcosC0,sin(AC)sinB,2sinBcosAsinB0,B、A(0,),sinB0,A.(2)y1cos2Bcos2Bsin2B1cos2Bsin2Bsin(2B)1,当角B为钝角时,角C为锐角,则<B<,<2B<,sin(2B)(,),y(,)当角B为锐角时,角C为钝角,则0<B<,<2B<,sin(2B)(,),y(,),综上,所求函数的值域为(,)22. 设函数f(x)a·b,其中向量a(2cosx,1),b(cosx,sin2x),xR.(1)若f(x)1且x,求x;(2)若函数y2sin2x的图象按向量c(m,n)(|m|<)平移后得到函数yf(x)的图象,求实数m、n的值解析(1)依题设,f(x)2cos2xsin2x12sin(2x)由12sin(2x)1,得sin(2x),x,2x,2x,即x.(2)函数y2sin2x的图象按向量c(m,n)平移后得到函数y2sin2(xm)n的图象,即函数yf(x)的图象由(1)得f(x)2sin2(x)1.|m|<,m,n1.23. 已知向量(2cosx1,cos2xsinx1),(cosx,1),f(x)·.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)当x0,时,求函数f(x)的最大值及取得最大值时的x值解析(1)(2cosx1,cos2xsinx1),(cosx,1),f(x)·(2cosx1)cosx(cos2xsinx1)2cos2xcosxcos2xsinx1cosxsinxsin(x),函数f(x)最小正周期T2.(2)x0,x,当x,即x时,f(x)sin(x)取到最大值.24. ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,向量m(1,1),n(cosBcosC,sinBsinC),且mn.(1)求A的大小;(2)现在给出下列三个条件:a1;2c(1)b0;B45°,试从中选择两个条件以确定ABC,求出所确定的ABC的面积(注:只需要选择一种方案答题,如果用多种方案答题,则按第一方案给分)解析(1)因为mn,所以cosBcosCsinBsinC0,即cosBcosCsinBsinC,所以cos(BC),因为ABC,所以cos(BC)cosA,所以cosA,A30°.(2)方案一:选择,可确定ABC,因为A30°,a1,2c(1)b0,由余弦定理得,12b2(b)22b·b·解得b,所以c,所以SABCbcsinA···,方案二:选择,可确定ABC,因为A30°,a1,B45°,C105°,又sin105°sin(45°60°)sin45°cos60°cos45°sin60°,由正弦定理c,所以SABCacsinB·1··.(注意:选择不能确定三角形)(理)如图,O方程为x2y24,点P在圆上,点D在x轴上,点M在DP延长线上,O交y轴于点N,且.(1)求点M的轨迹C的方程;(2)设F1(0,)、F2(0,),若过F1的直线交(1)中曲线C于A、B两点,求·的取值范围解析(1)设P(x0,y0),M(x,y),代入xy4得,1.(2)当直线AB的斜率不存在时,显然·4,当直线AB的斜率存在时,不妨设AB的方程为:ykx,由得,(94k2)x28kx160,不妨设A1(x1,y1),B(x2,y2),则,·(x1,y1)·(x2,y2)(x1,kx12)·(x2,kx22)(1k2)x1x22k(x1x2)2020204,k20,94k29,0<,4<·,综上所述,·的取值范围是(4,25. 在平面直角坐标系内,已知两点A(1,0)、B(1,0),若将动点P(x,y)的横坐标保持不变,纵坐标扩大到原来的倍后得到点Q(x,y),且满足·1.(1)求动点P所在曲线C的方程;(2)过点B作斜率为的直线l交曲线C于M、N两点,且0,又点H关于原点O的对称点为点G,试问M、G、N、H四点是否共圆?若共圆,求出圆心坐标和半径;若不共圆,请说明理由解析(1)设点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(x,y),依据题意得,(x1,y),(x1,y)·1,x212y21.动点P所在曲线C的方程是y21.(2)因直线l过点B,且斜率为k,l:y(x1),联立方程组,消去y得,2x22x10.设M(x1,y1)、N(x2,y2),y1y2(x11)(x21)(x1x2).由0得,(x1x2,y1y2),即H(1,),而点G与点H关于原点对称,G(1,),设线段MN、GH的中垂线分别为l1和l2,kGH,则有l1:y(x),l2:yx.联立方程组解得l1和l2的交点为O1(,)因此,可算得|O1H|,|O1M|.所以M、G、N、H四点共圆,且圆心坐标为O1(,),半径为.

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