弹塑性力学-第6章 弹塑性平面问题(35页).doc

-第六章第七章第八章第九章 弹塑性力学-第6章 弹塑性平面问题-第 160 页第十章 弹塑性平面问题任何一个弹塑性体实际上都是空间(三维)物体，且一般的载荷严格说来也是空间力系。因此，所有弹塑性力学问题实际上都是空间问题，即所有的力学量都是坐标的函数。但是，当所考察的物体(结构)及其所承受的载荷具有某些特点时，则可将它们近似地看作平面(二维)问题，即所有的力学量都是两个坐标(如)的函数，从而使问题得简化，且所得解答又具有工程所要求的精度。由第二章知，弹塑性力学平面问题可分为平面应力问题和平面应变问题两种，本章主要讨论弹塑性平面问题求解的一般方法。6.1 弹性平面问题的基本方程由第二章己经知道，两类平面问题的基本未知量虽然是完全相同的，但非零的应力分量、应变分量和位移分量不是完全相同的。 无论是平面应力问题还是平面应变问题，由于在方向自成平衡，因此，两类问题的平衡方程均为 (6.1-1)由于只需要考虑面内的几何关系，因此，对于两类平面向题均有 (6.1-2)由式(6.1-2)可得到平面问题的变形协调方程为 (6.1-3) 两类平面问题的非零应力分量和应变分量不相同，因此，由广义虎克定律所得本构方程也必然不尽相同。(1) 平面应力问题 对于平面应力问题，因 ，根据广义虎克定律显然有。因此本构方程为 (6.1-4a)或 (6.1-4b)(2) 平面应变问题 对于平面应变问题，有，根据广义虎克定律，必有和。因此，本构关系为 (6.1-5a)或 (6.1-5b) 将上面两种平面问题的本构方程式进行比较可以看出，只要将平面应力问题本构方程式中的换为，换为，就可以得到平面应变问题的本构方程式。 如果采用应力法求解，还必须将平面问题的应变协调方程(6.1-3)式变换为用应力表示。(1) 平面应力问题的应变协调方程对于平面应力问题，将方程(6.1-1)式中的第一式对求导，第二式对求导，有将上式相加后，得因将式(6.1-3)中耐、用本构关系式(6.1-4a)入，而用上式代换，可得化简上式，得上式可进一步写为 (6.1-6)如果不计体力或为常体力，则上式可写为 (6.1-7a)或用拉普拉斯算符简写为 (6.1-7b)式(6.1-6)即为用应力表示的应变协调方程，通常称为纳维方程。(2) 平面应变问题的应变协调方程对于平面应变问题，因为平衡方程同样为(6.1-1)式，应力分量、也只是、的函数，因此应用由平面应力变换到平面应变的对应关系，则平面应变问题的应变协调方程可直接从(6.1-6)中得到，即 (6.1-8)注意到，当在平面应变问题中，如果不计体力或为常体力时，则(6.1-8)式也简化为(6.1-7)式，这时平面应力问题与平面应变问题的应变协调方程相同。 由以上可见，如果讨论的问题为域上的调和函数，则是在区域上直到二阶导数都是连续的连续函数。在这种情况下，平面应力和平面应变问题的应力分量，的分布是相同的，是是是说，他们在平面内应力场一致。 平面内周边上的应力边界条件为 (6.1-9a) 对于平面应变问题还有 (6.1-9b)对于平面应力问题由于方向无外力作用，又，所以该方向的边界条件自动满足。 从以上的讨论中不难发现，方程(6.1-1和(6.1-7)以及边界条件(6.1-9)中均不含材料常数。由此得出重要结论：对于全部边界为力边界的无(或常)体力的平面问题，无论什么材料，只要它们的几何条件、载荷条件相同，则不论其为平面应力或平面应变问题，他们在平面内的应力分布规律是相同的。这一结论，给实验模型的设计，尤其是光弹性实验提供了理论基础、并具有很大的灵活性。但需特别注意的是，以上两种情况的应力、应变和位移是不相同的。 由以上讨论可知，当边值问题属于第一类，即面力已知问题，则采用应力法求解时，其基本方程归结为(1) 当体力为常量时 (6.2-1a) (6.2-1b) (6.2-1c)(2) 当不计体力时 (6.2-2a) (6.2-2b) (6.2-1c) 由数学上可知，方程(6.2-1)是一组线性非齐次偏微分方程，它的解答应该包含两部分：任意一组特解和齐次方程(6.2-2a)的通解。 非齐次方程(6.2-1a)的特解可取为 (a)或取为 (b)或取为 (c)等形式。显然，这些特解都满足(6.2-1a)式。对于齐次方程式(6.2-2a)，如果引进一个函数，使得 (6.2-3)则将(6.2-3)式代人齐次方程(6.2-2a)式，可知恒满足。函数称为平面向题的应力函数，是英国天文学家艾里(Airy,G.B)于1862年首先提出的，因此也称它为艾里应力函数。 将(6.2-3)式与式(a)式相叠加，就得到(6.2-1a)式的全解为 (6.2-4)为使应力表达式同时满足协调方程、则应力函数还必须满足一定的条件。将(6.2-4)式代入(6.2-1b)，得将上式展开为 (6.2-5a)或采用双调和算子简写为 (6.2-5b)将(6.2-4)式代入(6.2-1c)式，得到相应的用应力函数表示的静力边界条件为 (6.2-6)综上所述，对于常体力下的平面问题，只要求解一个未知函数，即在给定边界条件(6.2-6)的情况下，求解方程(6.2-5)式。求出函数后，就可通过(6.2-4)式求出应力分量，最后可通过本构方程式求应变，通过几何方程式积分求位移。对于无体力的平面问题情况，协调方程式不变静力边界条件利用(6.2-3)式写为 (6.2-7)相应的应力分量为(6.2-3)式所示。 实际上，直接求解弹性力学问题往住是很困难的，因此有时不得不采用逆解法或半逆解怯等来求解。当用逆解法时，需先假定满足双调和方程(6.2-5)式的某种形式的应力函数，然后用式(6.2-3)或(6.2-4)求出应力分量，等，再根据边界条件式(6.2-6)或(6.2-7)来分析所得应力分量对应于什么样的面力。由此判定所选应力函数可以解什么样的问题。如用半逆解法则针对所要求的问题，假定部分或全部应力分量为某种形式的双调和函数，并引入足够多的待定参数，从而导出应力函数，然后分析所得应力函数是否满足应变协调方程，判断假定的以及由应力函数导出的应力分量是否满足边界条件。如不满足则应重新假定。 应当注意的是，双调和方程是四阶的或低于四阶的多项式都是双调和函数。但必须至少是二次和二次以上，以保证得出非零的应力解。例如，对于不计体力的弹性平问题，如取应力函数的一次式，尽管它满足双调和方程式(6.2-5)，但将其代入应力分量(6.2-3)式，得显然，这是一个无应力状态。由此得出，在应力函数中增添或除去和的一次式，并不影响应力分量。 不难验证，当应力函数取二次多项式时可得均匀应力状态，取三次多项式时得线性分布的应力场。.3 梁的弹性平面弯曲 在第五章采用材料力学初等理论介绍了梁的弹塑性纯弯曲，这节首先应用应力函数法讨论高为，宽为，跨长为作用，忽略自重时的平面弯曲。 图6.1 悬臂梁 对于图示悬臂梁，其边界条件为 (a)式(a)所列边界条件表示：悬臂梁自由端没有轴向水平力，顶部和底部没有载荷作用，及自由端的切应力之和应等于F。 (a)中第四式的负号是因此处切应力是作用在外法线方向与轴反向的平面内，切应力方向又与轴同向，根据第2章对切应力的正负号约定应为负。1)选择应力函数 由材料力学可知，悬臂梁任一截面上由产生的弯矩随作线性变化，而且截面上任一点的正应力与成比例，因此，可假定为 (b)式中为常数。将(b)式对积分两次，得 (c)式(c)中的和为的待定函数。将(c)式代入双调和方程(6.2-5a)可得 (d)因和仅为的函数，而上式中左边第二项又与无关，故要使上式成立时，必有对上面两式分别积分，得式中系积分常数。将它们代入式(c)，可得应力函数为 (6.3-1)将式(e)代入式(6.2-3)，可得应力分量为 (e)2)确定系数 根据边界条件式(a)中的第2式，有上式应对所有的都应成立，因而必有求解此方程组，得 (f) 根据边界条件式(a)中的第3式，并注意到式(e)和(f)，则有由上式可得 又依据边界条件式(a)的第4式，可得由上式可得式中为梁截面对中性轴的惯性矩。3)应力分量计算 至此，式(b),(e)中的所有常数均已确定，于是可得悬臂梁中的各应力分量为 (6.3-2)式(6.3-2)的结果与材料力学的结果完全一致。由此可得出结沦：如果自由端部的切力按抛物线分布，在固定端是按线性分布，则这一解是精确解。如果不是这样，根据圣维南原理，这一解在梁内远离端部的截面仍是足够精确的，其所影响的范围大约只有截面尺寸大小的长度。需注意的是，式(6.3-1)中的系数并未求出，由上节已知，这主要是这3个系数与应力分量无关。因此，这几个系数确定与否无关紧要。4)变形计算 当应力求得后，变形计算则可根据应变位移几何关系和虎克定律进行。由式(6.3-2)可得 (g)将式(g)中的第1和第2式分别对积分，有 (h)将式(h)分别对微分，代入式(g)的第3式，并整理后可得上式两边分别与的函数，因此等式左、右两边应等于同一常数，即将上式积分后代入式(h)，可得位移的表达式为 (k)式中常数由阻止梁在面内作刚体运动所必需的三个约束条件来确定。下面分两种情况进行讨论。 (1)固定端处()的边界条件为： 这一边界条件相当于在固端处梁的轴线的切线保持水平，即将坐标点()的水平微线段固定，这与材料力学的处理方法相同。现将该边界条件代入位移表达式(k)，可得将这些系数代入式(k)，则位移为 (6.3-3)由该式可知，均是的非线性函数，这说明梁的任一截面变形后不再保持为平面，这与材料力学初等理论所得结果不同。如在固定端()处，由式(6.3-3)可得上式表明，由这种固定条件得到铅垂线元有一绕垂直于面平面的轴逆时针方向的转角(图6.2)。 梁轴线的铅垂位移由(6.3-3)式可得对于梁自由端()处的挠度， 由式(6.3-3)的第2式可得梁 这与材料力学的结果相同。 图6.2 固定端转角示意图(3) 固定端处()的边界条件为： 这表示固定端断面在()处的铅垂微线元固定不能转动，将该边界条件代入式(k)，可求得将这些系数代入式(k)，得到一组与(6.3-3)式不同的梁的位移为 (6.3-4) 实际上，由式(6.3-4)也得出均是的非线性函数。同样可得出在固定端()处的水平线元也有一绕垂直于面平面的轴逆时针方向的转角(如图6.3所示)。 由(6.3-4)式可得梁轴的铅垂位移为自由端的挠度度为 图6.3 固定端转角示意图显然，上式等号右边第二项是剪力对挠度的影响。而这部分与弯曲的影响之比，为如，则此比值为。所以当时，梁的挠度主要由于弯曲所引起。由此可见，在材料力学中得到的结果，对于细长梁是精确的。但是，必须指出，在高而短的梁中，以及在梁的高频振动和在波的传播问题中，切力效应是非常重要的。 由以上计算变形可见，在材料力学中，只是笼统地说梁端“固定”，没有规定具体的固定方式。在弹性理论中必须规定固定的方式，根据不同的固定方式，得出不同的位移公式。 现分析如作用，不计体力的两端简支梁。q 图6.4 受均布荷重简支梁1)选择应力函数设应力函数为 (a)将(a)式代入式(6.2-5)知，满足双调和方程。2)利用边界条件确定常数边界条件为 (b)和在处 (c) 根据式(6.2-3)及边界条件式(b)、(c)可得 (d)由此可解得系数为 (e)将(e)式代入(a)式，得应力函数 (f)3)应力分量计算 将式(f)代入式(6.2-3)，并注意梁的截面惯性矩，求得应力分量为 (g) 将式(g)的应力分量与材料力学对该问题的解答相比，可以看出： 1)式(g)中的表达式包括两项，第一项与材料力学解答相同，而第二项与无关，是对材料力学解答的修正。且当时，梁的端面有正应力，但端面上没有水平外力，所以的表达式只满足了两端弯矩为零的条件，但未能消除两端的正应力。然而这组附加的水平力，即修正项显然也构成平衡力系。根据圣维南原理，这组附加力的效应是局部的，在远离两端部分可认为材料力学的公式是精确的。因此，通常认为长而低的细长粱此项可忽略不计，但对高梁，即短粗梁这项有显著影响。如梁中间截面处，的最大值为上式括号中的第一项为主要应力，第二项反映修正应力。一般认为当时，材料力学公式不再适用。 2)材料力学对该问题剪应力的解答与本精确解完全吻合。 3) 材料力学假设梁的纵向纤维之间互不挤压力，因此，但本解答表明，除梁截面的下表面处外，其余部位，且无关，因此整个梁的纵向纤维之间均存在挤压力。 梁中应力分布如图6.5所示。 图6.5 简支梁截面应力分布示意图4)位移计算 对于位移计算，其方法和步骤与悬臂梁的位移计算相同，即利用本构方程和几何方程，并假定梁中间截面的形心的水平位移等于零，而垂向位移为，经积分后可得 (h)由上面的位移表达式可以看出： (1)由位移的表达式可知，梁的中性层并不在梁截面的中间层。在中间层处有水平位移 (k)由式(g)知，当时，因此沿方向引起拉伸应变将上式积分，并注意当时，则得式(k)。 (2)由位移可得梁轴线()的挠曲线方程为 (m)假设在梁中心轴线的两端()处，垂向位移，则得上式右端括弧中的第一项所反映的挠度与材料力学根据平面假设而得出的结果相一致，括弧中的第二项反映剪应力的影响。 (3)将式(m)对求二阶导致，得挠曲线的曲率方程式由该式可知，曲率并不与成正比，方括号半的第二项是对材料力学近似曲率公式的修正。 必须指出的是，应用式(g)也能解答梁两端固定的问题，为此，须取适当的支座反力矩，并使粱的二端都满足或的条件。 应注意，用多项式求解仅对低粱适用，对于高梁，两端的平衡力系要影响到跨度中部的应力。因此，须用其他形式的应力函数，例如三角级数的形式。6.4 用三角级数求解弹性平面问题前面一节是用代数多项式为应力函数求解弹性梁平面问题，对于一端受集中力悬臂梁的弯曲，用三次多项式为应力函数；对于受连续均布载荷的单跨粱，用五次多项式。增高多项式的幂次，可以求解受载荷更复杂的问题。但是整多项式只限于求解梁上载荷的分布是连续的，而且分布规律能用代数整函数表示的一些简单问题。如果载荷分布不是连续的，而且分布规律不能用代数整函数表示(图6.6)，则可以用三角级数求解这类问题。载荷函数可展开为三角级数，应力函数也可以用三角级数表示。下面讨论用三角级数求解弹性平面问题。 图6.6 受非连续分布载荷深梁示意图 对于图6.6所示梁，取应力函数为 (a)式中，是任意整数。将式(a)代入双调和方程(6.2-5a)，得常微分方程 (b)该常系数线性微分方程的通解为 (c)将(c)式代入(a)式，得应力函数 (d)当不计体力时，由相应的应力分量为 (6.4-1)由于为任意整数，因此可得无穷多个函数，又因双调和方程(6.2-5a)是线性的，所以无穷多个函数之和也是双调和方程(6.2-5a)的解，即 (6.4-2a)不难证明，如取应力函数为 (6.4-2b)也能满足双调和函数。因此，式(e)和(f)之和也能满足双调和函数，所以应力函数可表示为如下级数形式 (6.4-2c) 式(6.4-1)中的系数，和需根据边界条件确定。这时应力边界条件必须展开为无穷级数的形式 (6.4-3) 由数学分析知，将一函数在区域展开成富里叶(Fourier)级数(6.4-3)时，其系数(称作富里叶系数)为 (6.4-4) 如果在梁的边界上作用有均布载荷，则富里叶系数为 (6.4-5)这样，对于该边界有 (6.4-6)例6.1 设一简支梁的中部上、下两表面，在范围内对称地作用均布载荷(如图6.7所示)。如此梁的厚度为1个单位，不计体力，试求其应力分量。 解：首先将载荷展开为富里叶级数，最普遍的情况下，上部边界()和下部边界()的载荷分别表示为 图6.7 局部受均布载荷简支粱 (d)注意载荷实际作用区域为 (e)式中表示整个梁的均匀分布载荷，式(e)中的全部系数均可(6.4-4)中的富里叶系数的公式求出。由图6.7可知，所示载荷对称于轴，是的偶函数，故式(d)的展开式只含及余弦项，其中 (f)而系数可由载荷展开式 (g)运用通常求富里叶系数的办法，两边乘以，并在区间积分，有由此可得由于为任意整数，所以可换成，于是得同理也可得。将代入上式可得 (h)由于常数的存在，该问题可理解为上、下分别作用均布载荷，再加上后面的三角级数所表示的载荷。于是，可以分别计算每一部分载荷所产生的应力，然后再叠加。对于上、下面作用均布压缩载荷，相应的应力分量为 (i)而，这些载荷所产生的应力分量，可依据应力函数表达式(6.4-2b)和(6.2-3)求得，即 (j)式中，各个常数可由边界条件确定(参见式(g)，即 (k) 将式(k)中的式(1)，式(3)代入式(j)，并注意到双曲函数的关系式，则可得 (m)将式(k)中的式(2)、(4)代入式(j),并与式(k)联立求解，并注意，得 (n) 由于已经求得，所以式(j)中的常数可全部确定，将式(n)代入式(j)，即得相应的应力分量，再加上式(i)中由均布载荷而产生的应力，即得梁总的应力分量计算式。如的表达式为其余应力分量由读者自行导出。如果在该梁上的分布载荷作用范围不断缩小，即随着这短段的缩小达到极限情况，就得到梁受两个相向集中压力的情形(图6.8a)，在这种情况下的应力沿方向的分布曲线如图6.8b所示，由该图可见，随的增大而迅速衰减。这一计算实例，可以说明圣维南原理对此也是是正确的。 图6.8 分布曲线6.5 极坐标系下的基本方程对于圆形或部分圆形(扇形，楔形等)的物体，用极坐标求解比较方便。在极坐标系中，平面内任一点的位置，用径向坐标及周向坐标来表示(如图6.9)。极坐标系与直角坐标系之间的关系为 (6.5-1a) (6.5-1b) 下面推导极坐标平面问题的基本微分方程。 图6.9 极坐标与直角坐标间的关系 在变形物体中，用两个同心柱面和两个径向平面截割出微小单元体(见图6.10)。设单元体厚度为1个单位。沿方向的正应力称为径向正应力，用表示；沿方向的正应力称为周向正应力或切向正应力，用表示； 图6.10 微元应力分量剪应力用及表示。根据剪应力互等定律，。各应力分量的正负号规定和直角坐标系中相同，只是方向对应方向、方向对应方向。图中的应力分量都是正值。径向和周向的体力分量分别用及表示。 将单元体所受的力投影到通过其中心的径向轴上，可建立出单元体径向平衡方程为在上式中，因为是小量，因此可取，并略去高阶微量后可得采用同样的方法，可以列出单元体在周向的平衡方程。则可得极坐标系下的平衡方程为 (6.5-2) 类似的还可写出柱坐标系()下和球坐标系()下的平衡方程。 (1)柱坐标系下的平衡微分方方程 (6.5-3) (2) 球坐标系下的平衡微分方方程 (6.5-4) 极坐标系下的几何方程，在第三章中巳导出，即 (6.5-5)极坐标系和直角坐标系都是正交坐标系，因此，在弹灶状态下，极坐标下的本构方程与直角坐标具有同样的形式。只要将下标分别改写为即可。于是对于平面应力问题 (6.5-6) 对于平面应变问题 (6.5-7)采用类似推导直角坐标系应变协调方程的方法，不难从式(6.5-5)消除位移分量，得出以应变分量表示的极坐标中的应变协调方程，即 (6.5-8)在直角坐标系中，当体力为常量或不计体力时，平面问题的协调方程式(参见(6.1-7b)式)为注意到 (为不变量)，这样在极坐标系中，平面问题应力形式的协调方程式为 (6.5-9)式中为极坐标下的拉普拉斯算子，即 (6.5-10) 为了得到在极坐标系中，用应力函数表示的应变协调方程，可直接由直角坐标系应变协调方程经坐标变换得到。 由式(6.5-1)，可得注意，此处的应力函数既是和的函数，通过坐标变换，也是和的函数，它对和的一阶及二阶导数分别为 (a)将式(a)相加后得于是得极坐标系下的应变协调方程为 (6.5-11)极坐标系下的应力分量的表达式，也可由坐标转换的方法求得。由图6.10可见，当把ox轴和oy轴分别转到和的方向，此时，则应力分量，分别成为，。于是，不计体力时，可由式(a)得到极坐标系中的应力分量表达式为 (6.5-12)容易证明，当体力不计时，这些应力分量满足平衡微分方程(6.5-2)式。由以上可知，当体力可以不计时，用极坐标求解平面问题，只须从应变方程(6.5-11)解出应力函数，然后由式(6.5-12)求出应力分量，并使其满足位移边界条件和应力边界条件。 如果所研究的问题的物体和外载荷均对称于经过物体中心，且垂直于平面的轴线，此时，应力和位移均与无关，仅与有关，这类问题称为轴对称问题。因此，轴对称问题只有正应力和，而剪应力因对称性均为零。 (1)应力函数与应力分量 根据轴对称问题的情况，应力函数也应与元关，所以式(6.5-11)可简化为将上式展开，并注意到仅是的函数，因此偏于数可用常导数代替，得 (b)应力表达式(6.5-12)成为 (6.5-13)方程式(a)是变系数常微分方程，如令，则，根据复合求导法则，则这方程可简化为常系数常微分方程，即上述方程的解为将代入上式可得由(6.5-13)式，得应力分量的表达式 (6.5-14) 由上式可知，如在坐标原点没有孔，常数和必须等于零，否则当时应力将变为无限大。因此，如在坐标原点没有孔，而且没有体积力，唯一可能的应力对称分布是和均为常数。对于平面物体，则在平面内必为各方向均匀受拉或均匀受压状态。如果原点处有孔，则问题有各种解答，这将在下一节中予以讨论。 (2)轴对称问题的位移 当沿方向没有约束时，则属平面应力问题。此时，将式(6.5-14)代入式(6.5-6)，并利用式(6.5-5)，得 (c)对上式中的第一式直接积分可得 (d)再由式(c)的第二式解出，并将(d)式代入后，有积分上式，得 (e)将式(d)和式(e)代入式(c)中的第三式，并分离变量，则可得此方程左边为的函数，而右边为的函数，因此两边必为同一常数，于有是 (f)式(f)中的第一式经简单分析可得其通解为 (g)将式(f)中的第二式先对求导一次，然后再积分求得 (h)于是由式(f)的第二式和式(h)，可得 (i)将式(g)、(h)、(i)均代入和的表达式(e)和(d)中，则得 (6.5-15)式中可由应力边界条件和位移边界条件确定。在应力轴对称时，如果约束条件也是轴对称的，则位移也应该是轴对称的。即各点无环向位移()，即，仅有径向位移 (6.5-16)对于平面应变问题，以上公式(6.5-15)和(6.5-16)也适用，仅需将式中的和分别用和即可。6.6 厚壁圆筒在内外压力下的弹塑性分析工程上一般把圆筒分为厚壁筒和薄壁筒。当外径与内径之比小于时可按薄壁圆筒进行分析，当大于1.2时则按厚壁圆筒进行分析。厚壁圆筒是弹塑性力学问题中最简单的问题之一，即应力和应变只与一个坐标有关，而且在塑性阶段考虑材料的不可压缩性后，可以得到封闭形式的解答，本节讨论的受内外压力作用的厚壁圆筒，属于这类问题。此外还有整球形容器等。 设图6.11所示厚壁圆筒为理想弹塑性材料，外径为2b，内径为2a，受到内压为，外压为作用。并设圆筒的长度比圆筒的直径足够大，以致可以认为离两端足够远处的应力和应变分布沿筒长方向没有差异。由对称性可知，原来的任一横截面变形后仍保持平曲(如图6.11)。因而，应力与应变的分布对称于圆筒的中心轴线。显然这是一轴对称问题，则应力即为式(6.5-14)。式中的三个常数由边界条件确定，即 (a)图6.11 厚壁圆筒 将式(a)代入(6.5-14)式，显然后两个条件自然满足，而由前两式可得 (b)式(b)两个方程不能决定三个常数，补充的条件应从位移方面去找，现从环向位移的表达式(6.5-15)中的第二式 (c)其中一项是多值的，但环向位移应是单值的，即要求。于是可知，必有，从而由(b)式可得 (d)将(d)式代入(6.5-14)式和(6.5-15)式第一式，则得正应力分量和位移为 (6.6-1)由上式可见，厚壁圆筒内任何一点的应力和之和为常值。如果厚壁圆筒两端自由，则，而常数，任何横截面变形时保持为平面，因此这个问题属平面应力问题，其位移由(6.5-16)式确定。 当，即在筒内边缘，由(6.6-1)式，有 (6.6-2) 当，即在筒外边缘，由(6.6-1)式，有 (6.6-3) 当厚壁圆筒仅受内压，此时因，所以(6.6-1)式简化为 (6.6-4)由式(6.6-4)可见，因，所以周向受拉，径向受压，应力分布如图6.12所示。根据屈雷斯加屈服条件，由(6.6-4)式可得内壁()处，()达到最大值时，即，可求得弹性极限内压力为 (6.6-5)图6.12 受内压厚壁圆筒的应力分布 显然，当时，。由此可知，在无限空间物体内圆柱形孔洞受内压时(如压力隧道)，其壁表面开始屈服时的压力值与孔径无关。如果采用米塞斯屈服条件式(4.4-8)，注意到当两端全自由时，因，和由广义虎克定律有，则可得当筒内边