构造法求数列通项(8页).doc

-构造法作为一种重要的数学方法，而不是一个数学概念，没有严格的定义。解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题按照这样的思维方式来寻求解题途径比较困难，甚至无从下手。在这种情况下，经常要求我们改变思维方向，换一个角度思考，以找到一条绕过障碍的新途径，从而使问题得解而构造法就是根据数学问题的条件或结论的特征，以问题中的数学元素为“元件”，数学关系为“框架”构造出新的数学对象或数学模型，从而使问题转化并得到简便解决的方法。它的特点是：创造性地使用已知条件，创造性地应用数学知识，极大限度地发散思维。本文主要淡淡构造法在高中数列问题的应用。 数列是高中很重要且有相当难度的一章内容，在近几年的高考中，一般有一道中档的填空题和一道压轴的解答题，所占分值较高。数列问题中的构造新数列在近几年高考题中经常出现，这类题目的难度及区分度往往很大，学生不容易掌握，有时甚至无从下手。下面来专门谈一谈构造法在研究数列中的灵活运用。一、型如(为常数且，)的数列，其本身并不是等差或等比数列，但经过适当的变形后，即可构造出一个新数列，利用这个数列可求其通项公式。 1 (为常数)，可构造等比数列求解2为等比数列，可构造等差数列、等比数列求解。如 (为常数) ，两边同除以，得，令，则可转化为的形式求解例2（1）已知数列an中，求通项来源:学科网ZXXK（2）已知数列满足，求通项3为等差数列，如型递推式，可构造等比数列求解例3已知数列满足，（），求法二、构造等比数列求解：例5已知数列满足，求数列的通项公式二、形如的复合数列，可先构造等差数列或等比数列，再用叠加法、叠乘法、迭代法等方法求解例6在数列中，求例7已知数列满足，（），求三、一些较为特殊的数列，可利用“取倒数”的方法构造等差数列或等比数列求解例8已知数列中，（），求例9已知数列，其中，且，求通项an来源:Z#xx#k.Com例10若数列中，是数列的前项之和，且，求数列的通项公式四、对某些特殊的数列，可利用特征方程构造等差数列或等比数列求解如满足（A，B，C，D为常数，且）的数列，可令特征方程为，变形为，若方程有二异根，则可令（为待定常数），则数列是首项为，公比为的等比数列；若方程有二重根，则可令（为待定常数），则数列是首项为，公差为的等差数列。然后代入的值可求得值，于是可求得例11已知数列满足，求数列的通项例12已知数列满足，求数列的通项五、其它特殊数列的特殊构造方法1通过取对数来构造新的数列求解例13若数列中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=例14数列中，求 3对于两个数列的复合问题，也可构造等差或等比数列求解。例15在数列、中，且，求、的通项公式注：1并不是任何数列都可以求出其通项的，能够求出通项的只是一些特殊的数列。例如数列1，1.4，1.41，1.414，就没有通项公式；2同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如数列1，1，1，1，其通项公式为，或；3数列是函数概念的继续和延伸，数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同，因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性。从上述各题构建新数列的过程中，可以看出对题设中递推式的观察、分析，并据其结构特点进行合理变形，是成功构造新数列的关键。构造新数列的目的是为了化繁为简、化未知为已知、化不熟悉为熟悉，这也是解答数学问题的共性之所在。由上所举众多例子，不言而喻，正是在问题按照定向、按照常规难以解决的情况下，我们才改变思维方向，创造解题条件。长此以往，这将有利于我们优化思维品质，提高思维能力；深刻理解概念，综合运用知识；发挥主观作用，激发学习兴趣，在中学数学课的教学中，引导学生运用构造法解题不仅能提高学生的解题能力，更重要的是通过这种解题方法的运用可丰富学生的想象力，培养他们的创造性思维能力高水平地掌握知识并能把知识广泛地运用到解决问题上来，使学生的思维由单一型转变为多角度，变得积极、灵活、自如-第 9 页-